嘗試教學(xué)研究新路徑　踐行數(shù)學(xué)教育新要求

【摘 要】為進一步改進和提高數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量，新課標(biāo)指明了方向，新教材提供了示范，但在一線的實際教學(xué)中與國家的要求還存在著一定的距離.通過課堂轉(zhuǎn)型，作業(yè)創(chuàng)新研究，重視數(shù)學(xué)語言教學(xué)等途徑，進行嘗試與實踐，不斷達成或提高教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】研究性學(xué)習(xí)課堂;作業(yè)多樣化;數(shù)學(xué)語言教學(xué)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，已成為目前數(shù)學(xué)教育教學(xué)的首要任務(wù).但是在有關(guān)培訓(xùn)的講座中，聽到最多的還是一些“新說法”；在有關(guān)新著作、有的中學(xué)數(shù)學(xué)期刊文章中，看到的是一些“晦澀難懂”的指教；在教學(xué)一線的實踐中，“標(biāo)語、口號”不少，實際做的卻不盡人意或是另外一回事.

當(dāng)下越來越多的老師正在成為別人研究成果的消費者或模仿者，拿來主義者，而非產(chǎn)品的生產(chǎn)者.如與外地區(qū)學(xué)校聯(lián)考就是其中一例，外地的試卷是其階段性針對該地區(qū)的學(xué)生實際而命制的，而并非針對我們的學(xué)生實際.雖然本不想這樣做，但如果不嘗試實踐教學(xué)研究新路徑又能怎么樣呢？此方法不靈了，再想個新辦法.我們總是在不斷提口號、訂制度、搞活動中前進.

新課標(biāo)、新教材、新高考呼喚新教學(xué)，我們要做教學(xué)變革的踐行者.教師要與時俱進，但也不要指望觀摩一節(jié)課、聽一次講座、參加一個教研活動、讀幾篇教研文章就會使自己的教科研水平一下子提高多少.而首先要靜下心來研究備好每一節(jié)課，上好每一天的課，改好每一次的作業(yè)，再是記下自己覺得有益的事、問題以及處理問題的數(shù)學(xué)思想方法等，不斷實踐，日積月累.

嘗試研究新途徑，本人也沒有什么特別與眾不同的做法，事實上多年來的實踐證明也不會有什么“高效、奇效”的方法，如果有那也是曇花一現(xiàn).只是在繼承我國傳統(tǒng)的因材施教、啟發(fā)式教學(xué)上“依標(biāo)施教”“交流式”教學(xué)，側(cè)重于教與學(xué)的某個方面做了一點思考和實踐.

1 努力將課堂轉(zhuǎn)型為師生共同參與探討研究性學(xué)習(xí)的新型課堂

北師大顧明遠教授指出，教育的本質(zhì)在某種意義上來講就是培養(yǎng)學(xué)生的思維，而課堂是培養(yǎng)學(xué)生思維的最好場所.培養(yǎng)學(xué)生思維，提高教育質(zhì)量，從課堂教育入手.教學(xué)的主陣地在課堂，我們要努力將課堂轉(zhuǎn)型成研究性學(xué)習(xí)的課堂，與學(xué)生同步分析、思考、探索，守正創(chuàng)新.這就需要對教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式和課堂結(jié)構(gòu)的設(shè)計進行新的嘗試和實踐，減少有套路、老問題的分析講解，多增加一些研究性學(xué)習(xí)問題的討論，增加課堂教學(xué)的“開放度”，少“習(xí)題化”課堂.

如專題或微專題是研究性學(xué)習(xí)課堂的常見教學(xué)設(shè)計：（1）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面如空間想象的設(shè)計；（2）數(shù)學(xué)思想方法方面如類比的設(shè)計；（3）數(shù)學(xué)基本技能方面如問題串（問題鏈）的設(shè)計；（4）數(shù)學(xué)思維能力方面如概念教學(xué)的設(shè)計等.這當(dāng)中有交集，僅是聚焦于某個方面.

案例1（1） 正弦定理的引入（片段1：“退而求其次”）［1］.

下面的問題盡量讓學(xué)生說或?qū)懀ㄔ诤诎遄笥覍?yīng)圖形下方分別板書）.

邊角關(guān)系（探索）：任何三角形中：C>Ac>a，b<cB<C（大角對大邊，小邊對小角）.

直角三角形中： sinA=a/c，sinB=b/c，sinC=1=c/c（或?qū)懗蒩=csinA，b=csinB）.

cosA=b/c，cosB=a/c，cosC=0．tanA=a/b，tanB=b/a（鼓勵學(xué)生，充分地讓學(xué)生說、寫）.

注 課前不要求學(xué)生預(yù)習(xí)，課上也不允許學(xué)生翻看教科書（在蘇教版新教材中也沒有上述內(nèi)容）．老師接著在黑板右邊斜三角形（圖1）的下方寫上一個醒目的“？”（觸及課題）．

教師提出問題：直角三角形中邊角關(guān)系的結(jié)論在斜三角形中都不能直接的成立，那么能否退而求其次，其中間接的關(guān)系有成立的嗎？如從sinA=a/c，sinB=b/c，能得出a/sinA=b/sinB，即asinB=bsinA等等？自然過渡，引出正弦定理.

設(shè)問（循序漸進）：在圖1中能找到asinB，bsinA；csinB，bsinC的幾何意義嗎？讓學(xué)生思考并上黑板嘗試畫出（添加輔助線——高線）．這里教學(xué)重點得到了體現(xiàn)，難點得到了突破．

（片段2：“向量實數(shù)化”）

我們知道要使向量a=OA“變成”實數(shù)，可以通過數(shù)量積“自乘”a2=OA2∈R，或者“它乘”a·j=OA·j∈R來實現(xiàn).

在△ABC中，因為AB=AC+CB，所以

①AB2=（AC+CB）2，展開即得余弦定理c2=a2+b2－2abcosC；

②AB2=AC·AB+CB·AB，得c2=bccosA+accosB，即射影定理c=bcosA+acosB；

③若j是與AB平行的單位向量，則AB·j=AC·j+CB·j，即c=bcosA+acosB；

若j是與AB垂直的單位向量，則由AB·j=AC·j+CB·j，可得0=bcos（90°－A）+acos（90°+B），0=bsinA－asinB，即正弦定理a/sinA=b/sinB；

若j是滿足〈AB，j〉=θ的單位向量，則可得ccosθ=bcos（A+θ）+acos（B－θ）.上述分別是θ=0或θ=π，和θ=π/2的特殊情形.

案例1（2） 異面直線所成角的定義（片段）［2］.

在圖2中，我們知道AB與A1D1，AB與A1C1都是異面直線，再用兩根棒針在空中旋轉(zhuǎn)演示，試問它們在空間的位置有什么區(qū)別呢？如何用數(shù)學(xué)語言合情合理地刻畫（度量）不同位置情形的兩條異面直線呢？能否類比初中相交直線進行描述？自然引出兩條異面直線a與b所成的“角”的概念．

讓我們用聯(lián)系運動變化的觀點，來研究圖3中兩個圖．?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì)往往沒有寫在教材上，需要我們自己去體會和領(lǐng)悟．將兩條異面直線“回歸”（平移）共面，滲透空間問題平面化的思想，再用平面幾何知識刻畫度量（這比教材中從空間任取一點O，引兩條異面直線的平行線定義來的自然）：

（1）由等角定理可知，角的大小與O點的位置選擇無關(guān)．為了方便，通常將O點取在其中一條直線上（如有關(guān)線段的中點、端點等）；（2）如果所成的角為90°，則稱異面直線a與b垂直，記作a⊥b，并且得到一個很常用的結(jié)論：a⊥b，b∥ca⊥c；（3）兩條異面直線所成角的范圍為0，π/2．

案例2 函數(shù)單調(diào)性的呈現(xiàn)方式與拓展應(yīng)用.

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為A，區(qū)間IA.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f（x1）<（>）f（x2），那么稱y=f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增（減），I稱為y=f（x）的增（減）區(qū)間.

2 從課堂研究到作業(yè)研究，彰顯作業(yè)的作用，放大作業(yè)的功能

經(jīng)典的課堂案例我們欣賞、學(xué)習(xí)、研討過不少，但是作為教與學(xué)之間不可缺少的重要紐帶——作業(yè)，長期以來卻被“遺忘”一邊，重視、研究、利用的程度不夠.如今在新課程、“雙減”背景下得以彰顯，它的功能與力量逐漸放大.

目前數(shù)學(xué)作業(yè)存在的問題：作業(yè)的隨意性太大，缺乏目標(biāo)意識；作業(yè)脫離學(xué)情，不注意難度或難易把握不住；作業(yè)沒有試做的習(xí)慣，更不去認真推敲；作業(yè)缺乏改編創(chuàng)新，抄襲陳題；作業(yè)不能及時批閱、反饋（糾正）和鞏固等．

嘗試有效的改進方法，本人也沒有什么特別與眾不同的做法，只是在傳統(tǒng)做法的基礎(chǔ)上做了一點改良．布置一些課堂上與學(xué)生一起學(xué)習(xí)、共同研究或探索過的問題（主要是例題、練習(xí)題等）的改編題、引申題等．盡可能體現(xiàn)一定的層次性，盡量少一刀切．根據(jù)教學(xué)內(nèi)容及課堂教學(xué)的實際，作業(yè)的布置靈活多樣．

在課后讓學(xué)生做什么樣的習(xí)題，做多少才能達到“精煉高效”上本人傾注了很多時間．凡交給學(xué)生練的都事先做一遍，將不適當(dāng)?shù)牧?xí)題（比較偏、怪、難、繁的，陳舊的、重復(fù)的、以后做簡便的等）毫不猶豫的刪掉，教師不事先做一遍是體會不到的．

案例5 （1）去掉本節(jié)課學(xué)案后面作業(yè)［3］（或配套資料××頁練習(xí)）中的××條、××條（以減輕學(xué)生的課業(yè)負擔(dān)）；（2）將某一題的某個條件或某一題的某一小問改為……，或?qū)⒄n上講的某一問題再增加一小問……；（3）有時會根據(jù)課堂觀察、基于課堂真實的學(xué)情，將課堂上的例題或課本上典型的習(xí)題或優(yōu)秀的高考試題進行改編等，另外適當(dāng)補充一兩條；

（4）概念多的課或?qū)嵺`性、內(nèi)容研究性較強的課就要求交一自選作業(yè)或數(shù)學(xué)小文章，如建議學(xué)生通過學(xué)校圖書館查閱有關(guān)資料摘抄或上網(wǎng)下載與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的信息整理等．現(xiàn)實一點，學(xué)生能夠做到．

盡量做到少留作業(yè)，難度根據(jù)學(xué)生的反映不斷變化，學(xué)生很喜歡，每次布置練習(xí)時，他們都會熱切的期待．我們要做一名“作業(yè)設(shè)計師”，提供一些值得同行相互學(xué)習(xí)、借鑒和推廣的“作業(yè)范例”，如研究如何設(shè)計情境題、開放性探索性試題、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良試題、糾錯題，或是課堂問題的延續(xù)等等，每周盡可能高質(zhì)量地設(shè)計1-2次．

案例6 “直線與方程”的一次作業(yè)：判斷下列命題真假，如果是假命題，說明理由.

1．平面上任意一條直線都既有傾斜角α，又有斜率k．

2．若兩條直線的傾斜角相等，則它們的斜率相等；反之，若兩條直線的斜率相等，則它們的傾斜角相等．

3．經(jīng)過兩點P1（－2，a）與P2（b，3）連線的斜率k=3－a/b+2．

4．直線xsinθ－ycosθ+1=0的傾斜角為θ．

5．直線l過點P（1，3）且到點Q（2，1）的距離為1，則l的方程為3x+4y－15=0．

6．已知集合A=（x，y）y－3/x－2=4－3/3－2，B={（x，y）|y=x+1}，則A=B．

7．過點（4，3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是x+y－7=0．

8．直線l1：（a+2）x+（1－a）y－3=0與l2：（a－1）x+y+2=0垂直的充要條件是a=-1.

9．設(shè)直線l的方程為（m2－2m－3）x+（2m2+m－1）y－2m+6=0（m≠－1），

坐標(biāo)原點到直線（a2+1）x+y-a2=0的距離的取值范圍是［1，2］.

10．因為點（x0，y0）關(guān)于直線y=x+m的對稱點為（y0－m，x0+m）；同樣可求證點（x0，y0）關(guān)于直線y=－x+n的對稱點為（－y0+n，－x0+n）．所以點（－2，3）關(guān)于直線y=2x－1的對稱點為（2，－5）．

案例7（探究） 人教版新教材：構(gòu)造其它可用解析式y(tǒng)=x（10－x）描述其中變量關(guān)系的問題情境.

蘇教版新教材：已知一個函數(shù)的解析式為y=x2，它的值域為［1，4］，這樣的函數(shù)有多少個？試寫出其中兩個函數(shù).

人教版、蘇教版新教材：設(shè)a，b是給定實數(shù)，函數(shù)f（x）的定義域為A.x∈A，都有（1）f（a－x）=f（a+x）；（2）f（2a－x）+f（x）=2b.問此函數(shù)的圖象分別具有怎樣的對稱性？說明理由.

作業(yè)既是一次教學(xué)全流程的終結(jié)性環(huán)節(jié)，也是不可缺少的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，更是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的“最后一公里”.由于作業(yè)是完整課堂的有機組成部分，所以作業(yè)研究可以被視為課堂研究的延伸、拓展和深化，是課堂研究新的拓展點、深化點和生長點.如，利用作業(yè)案例導(dǎo)入新課是一個非常棒的做法.

為了取得實效，還要充分利用、有效使用現(xiàn)代信息技術(shù)工具，它和作業(yè)設(shè)計與實施有關(guān)，尤其是服務(wù)于作業(yè)布置、批改與評價，也是提供典型范例的現(xiàn)實需求.3 重視數(shù)學(xué)語言教學(xué)，加強數(shù)學(xué)文字語言、符號語言、圖表語言間的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練數(shù)學(xué)語言具有準(zhǔn)確性、簡約性、應(yīng)用廣泛性等特點，從形式上可分為文字語言、符號語言和圖表語言三類，并具有表達功能、應(yīng)用功能和思維功能.數(shù)學(xué)語言既是數(shù)學(xué)思維的載體，又是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn).斯托利亞爾提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言教學(xué).”［4］能否運用恰當(dāng)、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言有邏輯地表達、交流，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的高低．學(xué)會正確、合理地使用數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項基本而重要的任務(wù).

目前中學(xué)生在“讀、說、寫、畫”數(shù)學(xué)方面的能力表現(xiàn)欠佳，從教學(xué)實際情況看，數(shù)學(xué)語言的教學(xué)還存在種種問題：書寫較隨意，表述不規(guī)范，意義不了解，思維不嚴謹，轉(zhuǎn)換不靈活；從重視程度看，師生為了應(yīng)試中、高考，在數(shù)學(xué)語言表達訓(xùn)練上認為不值得花功夫等．

在義務(wù)教育和普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，凝練提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象（基于初中生實際，這一素養(yǎng)在義務(wù)課標(biāo)中要求低、不明顯）、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，以及數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平質(zhì)量中雖然沒有明確提出“數(shù)學(xué)語言教學(xué)”，但在每個核心素養(yǎng)給出的詳細具體表述中，幾乎都有“數(shù)學(xué)語言表達”的教學(xué)要求（多達十多處）：

“用數(shù)學(xué)語言對數(shù)學(xué)抽象予以表征”“提出命題，探索和表述論證過程，有邏輯地表達與交流；增強交流能力”“用數(shù)學(xué)語言表達問題．學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界”“利用幾何圖形描述問題”“規(guī)范化思考問題”“基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題”．在高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平質(zhì)量中有關(guān)數(shù)學(xué)表達的描述也是非常多且詳細的．如其中思維與表達——表達的嚴謹性和準(zhǔn)確性；交流與反思——能夠用數(shù)學(xué)語言直觀地解釋和交流．

人教版、蘇教版新教材均有體現(xiàn)，比如閱讀、鏈接等，但還不夠凸顯，可以充分利用學(xué)校圖書館資源，發(fā)揮圖書館的育人功能．本人從中提出了“數(shù)學(xué)語言教學(xué)”，要重視中學(xué)數(shù)學(xué)語言教學(xué)的觀點，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實有了一個很好的抓手（獲得2021年江蘇省教學(xué)成果二等獎）.

將圖形語言（首先要能識別）表示成符號語言（函數(shù)式），再轉(zhuǎn)化為文字語言（用數(shù)學(xué)語言表達客觀世界）.這才真正體現(xiàn)課標(biāo)的要求，體現(xiàn)教書育人的宗旨.

要根據(jù)不同的數(shù)學(xué)語言形式采取不同的教學(xué)策略，打好數(shù)學(xué)語言基本功.常見的文字、符號、圖表三種形式的數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)是相互制約又相輔相成的，文字語言是基礎(chǔ)，符號語言是抽象的，圖表語言是直觀的.加強數(shù)學(xué)閱讀，提高數(shù)學(xué)語言表達能力.突破狹隘的數(shù)學(xué)語言能力培養(yǎng)觀，重視數(shù)學(xué)模型意識培養(yǎng).

引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界.學(xué)生才能夠具備適應(yīng)其終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的關(guān)鍵能力（能使用數(shù)學(xué)語言）、必備品格（習(xí)慣正確的使用數(shù)學(xué)語言）和價值觀念（堅持把數(shù)學(xué)語言使用規(guī)范靈活）．才能培養(yǎng)出有責(zé)任擔(dān)當(dāng)、造福國家、服務(wù)社會高素質(zhì)的科研型人才．

參考文獻

［1］黃桂君，陸永宏，桂楚．“正弦定理”教學(xué)設(shè)計與課堂紀實．中學(xué)數(shù)學(xué)研究［J］.2021（07）：19.

［2］黃桂君，葉超．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)要自然簡約求實．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中）［J］.2018（05）：22-23.

［3］黃桂君．高中數(shù)學(xué)作業(yè)現(xiàn)狀及其改進的嘗試．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中）［J］.2011（09）：5.

［4］黃桂君，王新珍．要重視學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達的教學(xué)［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（04下旬）：10.

作者簡介 黃桂君（1964—），男，江蘇省特級教師，中學(xué)正高級教師，連續(xù)3次獲得江蘇省教學(xué)成果獎二等獎、江蘇省教育科學(xué)優(yōu)秀成果三等獎一項；個人教學(xué)思想入選蘇派著名特級教師教學(xué)思想錄，“江蘇人民教育家培養(yǎng)工程”首批培養(yǎng)對象，第八屆“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎”獲得者，“全國優(yōu)秀教師”等．