“整合”教材例習題　提升學生思維品質

【摘 要】課本中的例習題具有示范性和典型性，是課本的精髓．結合教材例習題詳細闡述“整合”例習題的五種策略，深化例習題教學，提升學生數學思維品質．

【關鍵詞】整合；例習題；思維品質

問題是數學的“心臟”，思維是數學的“體操”．《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》將“注重提高學生的數學思維能力”作為高中數學教育的基本目標，不僅要學生學會相應的數學知識和掌握基本的數學技能，更應該發展學生的數學思維，培養良好的數學思維品質［1］．因此培養學生的數學思維能力是數學教學的根本目標所在，而培養學生的數學思維品質是培養和發展數學能力的突破口．

高中數學教材中的例習題是教材資源的重要組成部分，但在實際教學過程中存在教師使用率偏低、學生不重視例習題訓練等問題.究其根本原因是教師未能將教材中例習題有效“整合”，未能深度挖掘例習題的使用價值．為了全面提升學生數學基本素養，我們必須對教材中例習題深入挖掘，運用題目重組、改編與拓展、變形與推廣等手段進行“整合”，進而引導學生總結規律與方法，拓寬學生數學學習思維．

下面，以人民教育出版社《普通高中數學教科書》數學選擇性必修第一冊“解析幾何”單元教學為例，筆者主要圍繞“深挖例習題價值”“整合例習題順序”“還原例習題背景”“轉換例習題設問”“改變例習題情境”五個策略展開探析，促進高中生數學思維品質的培養和提升［2］．1 例習題一題多變，深挖習題價值，提升思維的深刻性

由于圓錐曲線的內部統一性，在圓錐曲線這一章的例習題中，很多例習題具有統一性，例如下面幾道題目．

題目1 （第108頁例3） 已知A，B兩點的坐標分別是（－5，0），（5，0），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積是－4/9，求點M的軌跡方程［3］．

（答案：點M的軌跡方程是x2/25+y2/100/9=1（x≠±5），即除去（－5，0），（5，0）兩點的橢圓）

變式1 （第126頁第1題）已知A，B兩點的坐標分別是（－6，0），（6，0），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積是2/9，點M的軌跡是什么？為什么？

（答案：點M的軌跡方程是x2/36－y2/8=1（x≠±6），即除去（－6，0），（6，0）兩點的雙曲線）變式2 （第121頁“探究”）已知A，B兩點的坐標分別是（－5，0），（5，0），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積是4/9，求點M的軌跡方程．

（答案：點M的軌跡方程是x2/25－y2/100/9=1（x≠±5），即除去（－5，0），（5，0）兩點的雙曲線）

變式3 （第146頁第11題）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），試探求頂點C的軌跡．

（答案：當m<－1時，頂點C的軌跡是焦點在y軸上的橢圓，并除去兩點（-5，0），（5，0）；

當－1<m<0時，頂點C的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，并除去兩點（-5，0），（5，0）；

當m=－1時，頂點C的軌跡是圓，并除去兩點（-5，0），（5，0）；

當m>0時，頂點C的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線，并除去兩點（-5，0），（5，0））．

教師在本單元章末復習時，可以選擇從題目1開始逐漸展開探究，題目1是“斜率之積是-4/9”時，軌跡是“橢圓（除去兩個點）”，再將之改成“斜率之積是2/9”（即變式1）時，軌跡卻是“雙曲線（除去兩個點）”，如果改為“斜率之積是4/9”時，軌跡又是什么呢？自然就有變式2，經探究發現軌跡不再是“橢圓（除去兩個點）”，而是“雙曲線（除去兩個點）”，學生會情不自禁地思考，并猜想得出如下結論．

結論：已知A，B兩點的坐標分別是（－a，0），（a，0），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率分別是k1，k2，則

（1）當k1·k2=－b2/a2時，點M的軌跡是橢圓x2/a2+y2/b2=1（x≠±a，a>b>0）；

（2）當k1·k2=b2/a2時，點M的軌跡是雙曲線x2/a2－y2/b2=1（x≠±a，a>0，b>0）．

從上述問題處理過程來看，是不斷變換題目中的關鍵“條件”，進行變式，將題目條件一般化，逐漸提高學生歸納概括、推理論證的能力，但又自始至終不脫離教材例習題資源，通過一題多變，深挖習題價值，有效培養了學生思維的深刻性．

2 整合例習題順序，甄別問題差異，提升思維的批判性

課本為了講解某類問題，例習題呈現往往是有順序、有層次感的，有時是前后呼應，有時是各個擊破，有時是層層遞進．改變以現有的例習題類型為順序的呈現方式，建議以課時為單位，按一定的邏輯順序和知識經驗進行編排習題［4］．

例如上述題目1是“斜率之積是±b2/a2”，如果改為“斜率之商”“斜率之和”以及“斜率之差”，結論又如何？于是又引出題目2、題目3以及題目4的探討．

題目2 （第109頁第4題）已知A，B兩點的坐標分別是（－1，0），（1，0），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率的商是2，點M的軌跡是什么？為什么？

（答案：點M的軌跡方程是x=－3（y≠0），即是直線x=－3，并除去點（－3，0））

題目3 （第145頁第9題）已知A，B兩點的坐標分別是（－1，0），（1，0），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之和是2，求點M的軌跡方程．

（答案：點M的軌跡方程是x2－xy－1=0（x≠±1），即除去（－1，0），（1，0）兩點的曲線）

題目4 （第139頁第11題）已知A，B兩點的坐標分別是（－1，0），（1，0），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之差是2，求點M的軌跡方程．

（答案：點M的軌跡方程是y=－x2+1（x≠±1），即除去（－1，0），（1，0）兩點的曲線）

通過對上述題目2—4的探討，不難發現問題條件中的“斜率之積”“斜率之商”“斜率之和”以及“斜率之差”，對軌跡的影響還是很大的.平時教學中，我們雖然不強調學生死記結論，但是也可以讓學生體會到“一字之差”，引起“千差萬別”．因此，平時訓練時要多加審題，注意甄別．在復習講解題目1—4時，可以改變題目順序，但是一定要引導學生對“積、商、和、差”辨別，從而讓學生認識清楚問題的本質，提升學生批判性思維．3 還原例習題背景，揭示數學本質，提升思維的創造性

題目5 （第97頁例6）已知圓O的直徑AB=4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的2倍．試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關系．

（答案：點M的軌跡是圓（x－6）2+y2=32，該軌跡與圓O相交）

變式 （第89頁第9題）已知動點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比為1/2，求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．

（答案：點M的軌跡方程是（x+1）2+y2=4，是以點（－1，0）為圓心，2為半徑的圓）

教材在第97頁例6旁提問：“如果本例中的‘2倍’改為‘k（k>0）倍’，你能分析并解決這個問題嗎？”我們可以引導學生思考并探究．事實上，題目5和變式的背景是“阿波羅尼斯圓”：如圖1，在平面上給定兩點A，B，|AB|=a（a>0）設點P在同一平面上且滿足|PA|/|PB|=λ，當λ>0且λ≠1時，點P的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓．（當λ=1時，點P的軌跡是線段AB的中垂線）我們還可以進一步證明該軌跡中的圓是以點Cλ2+1/λ2－1a，0為圓心，r=2λa/λ2－1為半徑的圓．

通過對題目5與變式的探究，類比橢圓、雙曲線和拋物線的有關定義，可以總結出圓的另一種定義，即“阿波羅尼斯圓”．此問題的解決實質是還原例習題的背景，揭示了圓的另一種定義，進而提升了學生思維的創造性．

4 轉換例習題設問，實現有效遷移，提升思維的敏捷性

一個問題的呈現方式與構建的認知結構越接近，就越有利于知識的遷移和運用．轉換例習題設問，將難題進行類化、分解、變式，這是實現知識有效遷移的關鍵．通過改變試題設問讓數學學習從一題到一類，從一類到一片，有效提高學習效率．為了提高學生知識運用的敏捷性水平，變式訓練將有助于數學知識的靈活遷移．

題目6 （第103頁第14題）已知圓x2+y2=4與圓x2+y2+4x－4y+4=0關于直線l對稱，求直線l的方程．（答案：直線l的方程是x－y+2=0）

變式1 （第103頁第15題）求與圓C：（x+2）2+（y－6）2=1關于直線3x-4y+5=0對稱的圓的方程．

（答案：對稱的圓的方程是（x－4）2+（y+2）2=1）

變式2 （第103頁第19題）一條光線從點A（－2，3）射出，經x軸反射后，與圓C：（x－3）2+（y－2）2=1相切，求反射后光線所在直線的方程．（答案：反射后光線所在直線的方程是3x－4y－6=0或4x－3y－1=0）

5 改變例習題情境，抓住問題本質，提升思維的靈活性

部分學生識別綜合情境的能力較弱，理解題意出現較大困難，這時適當改變例習題情境有助于學生理解題目．尤其對于開放型和探究型的例習題，可以通過題目變形，將開放型問題變為封閉型問題，以降低例習題的難度．在具體的訓練過程中，通過問題情境的轉換，可以提升學生思維的靈活性．圖2

題目7 （第145頁第1題）如圖2，我國發射的第一顆人造地球衛星的運行軌道，是以地心（地球的中心）F2為一個焦點的橢圓．已知它的近地點（離地面最近的點）A距地面439 km，遠地點（離地面最遠的點）B距地面2384 km，并且F2，A，B在同一直線上，地球半徑約為6371 km．求：

（1）衛星運行的軌道方程（精確到1 km）；（2）衛星軌道的離心率．

（答案：（1）x2/60567306+y2/59621550=1；（2）e≈0.125）

題目8 （第146頁第15題）綜合應用拋物線和雙曲線的光學性質，可以設計制造反射式天文望遠鏡．這種望遠鏡的特點是，鏡筒可以很短而觀察天體運動又很清楚．例如，某天文儀器廠設計制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠鏡，其光學系統的原理如圖（中心截口示意圖3）所示．其中，一個反射鏡PO1Q弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡MO2N弧所在的曲線為雙曲線的一個分支．已知F1，F2是雙曲線的兩個焦點，其中F2同時又是拋物線的焦點，試根據圖示尺寸（單位mm），分別求拋物線和雙曲線的方程．（答案：雙曲線方程為x2/601400.25－y2/1100320=1（x>775.5），拋物線方程為y2=9168（x+987.5））

題目7 （第146頁第16題）過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F作直線與拋物線交于A，B兩點，以AB為直徑畫圓，觀察它與拋物線的準線l的關系，你能得到什么結論？相應于橢圓、雙曲線如何？你能證明你的結論嗎？

（答案：以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；與橢圓相離；與雙曲線相交）

上述題目7—8的都是圓錐曲線的實際應用問題情境，部分學生一時難以理解問題情境，但是經過學生反復閱讀題意，仔細推敲，結合有關圓錐曲線的定義，還是能夠抽象出有關圓錐曲線模型的，學生通過改變例習題情境，抓住了問題本質，問題就得以解決；題目9

此題是一個結論類比推廣型的題目，學生通過類比探究，問題情境不斷轉換，思維的靈活性也得到了鍛煉．

通過上面對圓錐曲線教材例習題的一些處理方法可以看出，在教學中，教師要以數學思想方法為立足點，在例習題的教學中滲透數學思想方法．同時，教材例習題的教學不應僅僅“對答案”．例習題的教學需要根據實際情況（特別是怎樣才能更好地促進學生發展的實際情況）調整教學順序，加強變式教學，引導學生思考不同例習題中存在的共性，更要善于在例習題教學中抓住機會提高學生的思維能力，培養學生的元認知策略．

思維品質的提升與發展作為核心素養對學生發展的基本要求，對學生全面發展具有重要作用．通過對例習題變化可以實現學生對解題思維過程再次深入認識，是一種主動探究的過程，進而提升思維能力．因此，平日教學中，教師應該努力尋求一些具有可操作性的手段，通過適時的示范，切實引導學生重新認識教材的價值．由此可見，只有重視教材例習題，用足教材例習題，用透教材例習題，以教材例習題為載體，不斷優化知識結構，理解數學實質，才能從機械的重復訓練中解脫出來，提升復習實效［5］．

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［2］陳姍姍.湘教版高中數學教材課后習題的編制特點及有效應用——以必修第一冊“函數的概念與性質”為例［J］.新課程評論，2022（11）：34-41.

［3］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書·數學·必修一（第一冊）（A版） ［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［4］張琥.新課標高中數學教材習題教學現狀分析與建議［J］.數學教育學報，2012（04）：60-63.

［5］謝維勇.例談高三數學復習教材例習題整合變式的途徑［J］.中學數學月刊，2019（07）：28-30.

作者簡介 楊瑞強（1979—），男，湖北黃岡人，中學高級教師，黃石市優秀班主任，黃石市優秀數學教師;主要從事中學數學教學研究;發表論文100余篇．

基金項目 2022年湖北師范大學教學改革研究項目“核心素養下高中數學課本習題的有效使用”（基礎教育2022NO.1）.