2023年新高考全國Ⅱ卷第21題解題思路分析及推廣

【摘 要】解析幾何定值、定點問題的求解過程中經常會遇見一類非對稱結構的代數式，如λx1+μx2，x1/x2，λx1x2+x1/μx1x2+x2，x1x2+x1－2x2/x1x2+x1+x2等，借助2023年新高考全國Ⅱ卷第21題的探究談談如何利用韋達定理對其進行化簡，提高學生的運算素養.【關鍵詞】圓錐曲線；非對稱結構;韋達定理

直線與圓錐曲線相交問題中，很多時候都是聯立直線與曲線方程，利用韋達定理對一些對稱結構（形如x1x2，x1+x2等）的代數式進行化簡、消元.2023年新高考全國Ⅱ卷第21題是一道非對稱結構的圓錐曲線定值問題，如何利用韋達定理對這種非對稱結構的代數式進行化簡呢，本文從幾個思路進行分析、求解并推廣，希望起到拋磚引玉的作用［1］.

1 試題回顧

（2023年新高考全國Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（－25，0），離心率為5.（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（－4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與直線NA2交于點P.證明：點P在定直線上.

參考文獻

［1］陳崇榮，袁琴芳.2021年八省聯考卷第7題解法探究及推廣[J].理科考試研究，2021（07）：5-9.

［2］董雙雙，楊倩.一道高考題引發的關于齊次化應用的思考[J].中學數學雜志，2022（11）：20-24

作者簡介 陳崇榮（1978—），男，福建龍巖人，中學一級教師，市學帶培養對象；主要從事高考試題研究及中學課堂教學研究；發表數學論文40余篇，參編高考復習指導書《2017高考數學經典題型與變式》.