四次Wang-Ball曲線的區間擴展

張丹丹

(安徽開放大學安慶分校,安徽 安慶 246001)

0 引言

在計算機輔助幾何設計(CAGD)中,隨著幾何造型設計的發展,Bézier曲線、B樣條曲線等傳統曲線得到廣泛應用.Ball曲線[1-3]最早由英國數學家BALL在CONSURF機身曲面造型中提出.Ball曲線曲面具有 Bézier曲線曲面的一些幾何特性,如凸包性、保形性等.因此在造型設計中,Ball曲線應用廣泛,其中,王國謹與SAID將Ball曲線推廣到高次曲線,將其命名為Wang-Ball曲線[4]與Said-Ball曲線[5]. 鄔弘毅[6]提出了兩種廣義的Ball曲線,為分別介于王國謹、SAID的廣義Ball曲線和Bézier、Said曲線之間,并給出了升階公式和遞推算法.王成偉[7]和嚴蘭蘭[8]對三次Ball曲線進行擴展,通過增加t的次數,引入形狀參數,并證明了該方法的有效性.嚴蘭蘭[9-10]構造了兩種帶一個參數的曲線,為分別介于四次、五次Wang-Ball和Said-Ball曲線之間,以及四次、五次Said-Ball和Bézier曲線之間的中間曲線.劉華勇[11]和王成偉[12]介紹了帶兩個參數的四次、五次Ball曲線,曲線的形狀具有更強的表現力.李軍成等[13]討論了三次Ball曲線的擴展,并擴展到了任意的n次Ball曲線.胡國勝等[14]構造了帶參數的2m+2次Ball曲線,其具有Said-Ball曲線的基本性質,并給出了應用實例.

本文在傳統四次Wang-Ball基函數的基礎上,將定義區間由[0,1]擴展到動態區間[0,α],通過引入參數α,對曲線的形狀進行調整.

1 四次α-Wang-Ball基函數的構造

傳統四次Wang-Ball基函數表示為

(1)

其中,0≤t≤1.

在端點處滿足:

現將式(1)中t的取值區間[0,1]變為動態區間[0,α], 0<α≤ 1,這樣就構造了一組帶參數的四次Wang-Ball基函數.設新的四次Wang-Ball基函數為

(B0,4B1,4B2,4B3,4B4,4)=(1tt2t3t4)C,

(2)

其中,0≤t≤ 1, 0<α≤ 1,C為一個待定的4×4矩陣.

對式(2)兩邊求導得到

使構造的新的四次Wang-Ball基函數與傳統的四次Wang-Ball曲線具有相同的端點性質,即

可得

由基函數的權性得到

B0,4(t)+B1,4(t)+B2,4(t)+B3,4(t)+B4,4(t)=1.

(3)

則有

由式(3)可得方程組:

由非負性Bi,4(t)≥0 (i=0,1,2,3,4)可得

(4)

對于式(4),令t=αω(0≤ω≤1, 0<α≤1),整理后得到如下定義.

定義1 對于0≤ω≤1, 0<α≤1,稱關于變量ω的函數

(5)

為帶參數α的四次Wang-Ball基函數,簡稱為四次α-Wang-Ball基函數.

α取不同參數值0.3、0.5、0.8、1.0時的α-Wang-Ball基函數圖像如圖1所示.

(a)α=0.3

該基函數具有以下性質:

(ii)非負性:Bi,4(ω)≥0,i=0,1,2,3,4.

(iii)端點性質:

(6)

(iv)對稱性:Bi,4(ω)=B4-i,4(1-ω),i=0,1,2,3,4.

(v)單調性:當變量ω(0≤ω≤1)固定時,對α求導,可得B0,4(ω)與B4,4(ω)是關于α的減函數,B1,4(ω)、B2,4(ω)與B3,4(ω)是關于α的增函數.

證明 (i)由式(5)可得

(ii)當0≤ω≤1, 0<α≤1時,有

B0,4(ω)≥0,B1,4(ω)≥0,B2,4(ω)≥0,B3,4(ω)≥0,B4,4(ω)≥0.

(iii)對變量ω進行求導,其一階導數為

由此,可得端點性質的(6)式.

(iv)B0,4(ω)=B4,4(1-ω),B1,4=B3,4(1-ω),因此,Bi,4(ω)=B4-i,4(1-ω),i=0,1,2,3,4.

(v)變量ω固定,對α進行求導,得到

因此,B0,4(ω)與B4,4(ω)是關于α的減函數,B1,4(ω)、B2,4(ω)與B3,4(ω)是關于α的增函數.

2 帶形狀參數的四次α-Wang-Ball曲線

定義2 當0≤ω≤1, 0<α≤1時,對于給定的控制定點pi∈Rd(i=0,1,2,3,4,d=2,3),曲線

稱為四次α-Wang-Ball曲線.其中Bi,4(ω)為式(4)中定義的基函數.

該曲線有以下性質:

(i)端點性質:S(0)=p0,S(1)=p4,S′(0)=2α(p1-p0),S′(1)=2α(p4-p3).

(iii)退化性:當ω=1時,該曲線退化為傳統四次Wang-Ball曲線.

(iv)形狀可調性:當形狀參數α取不同值時,四次α-Wang-Ball曲線在控制頂點不變的情況下能夠對形狀進行靈活調整.

圖2 給出了α取不同值時的四次α-Wang-Ball曲線,α=0.5時為虛線,α=0.8時為實線,α=1時為點線.

(a)開曲線

3 帶參數的四次α-Wang-Ball曲線間拼接

設兩條四次α-Wang-Ball曲線分別為

其中,p0、p1、p2、p3、p4為曲線S1(ω)的控制頂點,r0、r1、r2、r3、r4為曲線S2(ω)的控制頂點,曲線S1(ω)、S2(ω)的形狀參數分別為α1、α2.

定理1 若0≤ω≤1, 0<α1≤1, 0<α2≤1,兩條四次α-Wang-Ball曲線滿足:

(7)

則兩條曲線G1連續.

證明 由式(5)可得

若兩曲線G1連續,則

定理2 若0≤ω≤1, 0<α1≤1, 0<α2≤1,兩條四次α-Wang-Ball曲線滿足:

(8)

則兩條曲線滿足G2連續.

證明S′1(1)=2α1(p4-p3),S′2(0)=2α2(r1-r0),

S″1(1)=2(-4+5α1)p4-12α1p3+4(1+α1)p2+2(2-α1)p0,

S″2(0)=2(-4+5α2)r0-12α2r1+4(1+α2)r2+2(2-α2)r4.

若兩曲線滿足G2連續,則S2(0)=S1(1),S′2(0)=δS′1(1),S″2(0)=δ2S″1(1)+τS′1(1).

2(-4+5α2)r0-12α2r1+4(1+α2)r2+2(2-α2)r4=

δ2(2(-4+5α1)p4-12α1p3+4(1+α1)p2+

2(2-α1)p0)+2τα1(p4-p3).

當滿足式(8)時,兩條曲線G2連續.

圖3 兩曲線G1連續

圖4 兩曲線G2連續

4 結語

為了構造形狀可改變的Wang-Ball曲線,將四次Wang-Ball基函數定義區間由[0,1]擴展到動態區間[0,α],構造新的帶參數的Wang-Ball曲線,通過改變參數α值可對曲線形狀進行改變.下一步工作可以將該曲線推廣到曲面形式,探索更高級的Ball擴展形式.