PBL教學模式在“概率論與數理統計”教學中的應用

金今姬,高彥偉

(吉林大學數學學院,吉林 長春130012)

1 問題的提出

數學素養不僅是數學學科專業人才,也是其他學科專業人才所必備的基本素養,因此賦予數學教育的功能和內涵也隨之擴大。在課程改革方面,注重體現數學本質,關注數學素養培養與跨學科交融的教學逐漸成為熱點[1]。而不同專業對人才的核心數學素養成分的側重有顯著區別。例如數學的科學性、技術性與人文性對工程科學人才職業素養培養具有重要價值[2]。又如人文社會科學專業,除了應關注數學的實用性之外,還應該重視數學的理性精神。

數學素養的培養過程離不開數學教學、科研和學習活動,目前關于數學基礎課教學的研究都集中于批評教學中“重理論輕實踐、重知識輕能力”的問題。事實上在原有課程內容中并不是沒有與實際問題交叉的內容,而是受大學辦學層次、生源結構、應試導向與教學條件等因素的制約,教師在貫徹教學要求的力度與知識更新方面出現了問題。例如,從全國碩士研究生招生考試的命題與考試情況可以看出,目前考生數學素養的缺乏十分明顯[3]。大學公共數學教學要提高課程的高階性與挑戰度,拓展跨學科融合的路徑與深度,探索實現教學目標的新教學方法和手段。

隨著人工智能、大數據等互聯網技術的發展,在線混合式教學、問題驅動式學習模式(Problem Based Learning,PBL)等教學模式的推廣,智慧教室、智慧校園和云平臺等教學環境的改變,這些給課堂教學帶來了創新的機遇和變革[4]。在新理念、新目標、新模式、新方法和新技術的驅動下,課堂教學出現了新的模式和途徑,其運行原則、規律都將發生根本性改變,特別是在線混合式教學模式受到廣泛關注。但縱觀混合式教學實踐探索,目前多數項目還停留在線上線下簡單組合階段[5]。即使支持在線或線上線下混合式教學的智慧教室大量建設,教育管理者和教師只是簡單地將智慧教室及其應用等同于智慧課堂,認為智慧教室的主要功能就是教學基本支持、課堂練習發布與解答、成績統計等,存在認識上的偏差[6]。從目前現狀分析,鐘紹春[4]認為信息技術的應用層次還是淺層次的,一是支撐手段和條件方面的不足所導致的效率和便捷性方面的問題;二是課堂教學自身思路和方法方面導致的問題。教育與信息技術的結合的目的之一是實現教學與學習的智能化,但信息技術下指向學科核心素養的教學模式還不能實現優化問答邏輯的教學[7]。如果教學形式本身沒有問題,那么主要問題就出現在教學理念和內容設計上,特別是融入知識學習路徑的思維過程和聚焦能力培養的教學過程出現了問題,沒有真正實現數據驅動的動態教學和學習,沒有對混合式教學環境各部分做功能上的劃分和采取無縫自然合理的銜接與融合,而數學課程融合教學的前提是要設計好每一個知識點的教學路徑,搭建融合思維過程,能夠提供迭代的、動態的、突出問題解決為導向的教學支架,否則課堂教學就難以發揮其作用。基于素養與跨專業融合的教學愿景,將線上和線下教學設計相結合,將學科素養和跨學科拓展相結合,探索混合式教學的深層次模式和有效途徑,實現教學質量整體生成的理想和邏輯仍是需要在實踐中摸索和驗證的重要問題。

在教學實踐中,大學數學公共基礎課程雖然受教師、學生和學時等因素的制約,但對于內容深度,特別是基礎理論深度的處理一直有不同的看法和爭論。教學過程中應側重數學知識的完整性、嚴謹性等,還是側重應用實踐能力,大家有著不同的觀點。隨著在線混合式教學模式的發展,教學空間得到有效釋放,在時間、空間、容量、方式上可以滿足數學課程增強研究性、實踐性的要求,這為實現指向素養培養和跨學科融合的數學課堂教學創造了條件。所以圍繞數學的核心素養、面對跨學科融合教學的新情況,通過結合教育新技術、利用在線教學平臺的優勢,強化數學思想與思維、方法與技術的訓練,在課程限度內實現素養培養和跨學科融合教學,具有一定的示范意義和推廣價值,其效果驗證對改善和促進教學質量具有借鑒意義。

2 PBL教學模式

2.1 PBL教學模式的概念與特征

PBL教學模式是一種教學理念,其作為一種特指的概念和方法出現于1969年,是建構主義理論指導下的一種新的教學方法,主要方式是基于問題的學習,由問題驅動帶動知識的構建和實踐能力的提高,并因為在實踐中產生了積極的效果而受到大學的普遍重視[8-9]。丹麥奧爾堡大學的PBL課程改革目標分為學習層面和院校層面,重點關注課程開發的過程模型,在單門課程、多門跨學科課程和學校體系不同層面進行架構,通過理論知識和工程事件的交融,以及項目所蘊含的具體問題,使學生在真實、復雜、有意義的情境中加深對知識的理解,學會運用知識解決問題、發展批判性思維和創新能力[10]。PBL概念很難通過具體元素來界定,而只能超越實踐來說明其哲學原理,并且目前PBL教學模式呈現出不同的形式和多元化的發展特色,其有效性體現在可以提高和促進學生的認知學習、合作學習、內容掌握、自我滿意度及職業認同感等方面[11]。PBL教學模式在課程內容的組織上,首先要進行問題的設置,在解決問題的過程中,讓學生去逐漸了解和掌握理論和原理,這種教學模式不是基于學科學習中的問題,而是圍繞問題來對學科的理論或原理進行學習或延伸[12]。

2.2 PBL教學模式的目標與要素

針對某一具體課程,PBL設計最起碼要解決以下幾個問題:一是課程內容的覆蓋面;二是內容體系的邏輯性、嚴謹性與應用性的關系;三是問題設計的限度性。從數學學科的稟賦而言,以PBL模式完全代替傳統模式是不可行的,因為從單一問題獲得的知識是片面的,甚至有可能是錯誤的,因此應將傳統教學和PBL教學模式結合起來,要從整體上發揮協同功能。

PBL教學模式的要素主要包括問題、實行過程和效果三個方面。PBL教學的“問題”內容設計包含兩個層面:一是基于學科發展史進程中問題的提出和解決過程;二是在實踐或科研中出現的問題。二者亦有明顯的區別。PBL最為重要的是基于教學和學習目的設計有價值的問題。PBL如果只是達到一個教學目的,不能稱之為有價值的PBL任務,其效率和效果未必比傳統教學方式更有效。一個好的問題設計首先應該體現學習目標,對相關知識點覆蓋較全面,學生在問題解決過程中能帶動相關知識的學習,也就是說,問題的設計涉及必要的知識點;其次,問題的解決過程應能促進學科素養的培養,最好能具有趣味性和較大的吸引力;再次,問題的設置要清晰、適切,有探討的空間,并具備一定的難度;最后,最好具有情感價值,或對培養合作精神、團隊意識和日常行為規范有警示作用。PBL的問題是開放的,但是過程卻應該具有可控性,教師是整個過程的組織者,綜合把控任務的限度及其與教學目標要求的符合度,通過必要的指導解決學生遇到的問題,保障最終教學目標的實現。

2.3 PBL教學模式的形式與步驟

PBL教學模式主要是先確定問題,然后圍繞問題組織學習。前期要準備好學習的資源和工具,形式上一般采用分組合作學習模式,具體形式和步驟如圖1。

圖1 單門課程PBL教學任務的形式與步驟

PBL教學要通過探討式教學、小組討論、總結報告來保證其有效性,使學生具有更多的機會闡述想法、開闊思路,并對評價自己的解答狀況有清晰的認識。課堂討論對教師的要求很高,需要教師具備綜合性的人文素養和學科素養,為保證能力目標的實現,教師在必要時應為學生提供適當的指導,構造學習支架和進行教學干預[13]。

2.4 實行PBL教學模式的基本原則

混合式教學是傳統教學和信息技術集成的一種高級形態,其關鍵是遵循課堂教學需要,聚焦課堂教學問題的解決,通過準確診斷,突破教學與學習的瓶頸。

(1)設計教學目標,體現數學思想與思維訓練的原則。為了避免將課堂教學等同于一般教學,問題的設計重點在于學生對知識點的學習和思考過程,對涉及的具有高度抽象性的數學概念和定理的教學設計更要突出數學的思想與思維、數學的抽象性和數學研究與學習的方法論。

(2)教學方法強調引導性和自主性原則,對基本教學內容的知識背景、主要問題、解決思路、描述方法與知識拓展依序遞進,采用課前“引導+學生主動學習”、課中“分析+講解+討論+檢驗”、課后“鞏固+拓展”的教學路徑。

(3)問題設計遵循限度性原則,提高教學效率。PBL教學模式雖然具有其獨特的優勢,例如多目標性、易引發深度思考等,但是對教學者和學習者的人文素質和學科素養等綜合素質要求較高。本科階段畢竟不是研究生階段,本科階段有對應的教學目標和教學要求,PBL教學模式在任務的設計環節上,在內容上和體量上應有一定的限度,應注意教學效率與教學成本、學習效果與學習成本之間的平衡,依據客觀情況和教學目標可以分為低限度、中等強度和高強度的問題,否則會影響PBL教學效果,甚至會影響學生對其他課程的學習,影響教學目標整體上的實現,降低教學效率。

(4)教學形式遵循線上線下優勢互補的原則,避免線上教學平庸化、線下教學僵硬化,發揮線上教學“智能化”、線下教學“立體化”的優勢。依據數據驅動教學反思,調整教學路徑和教學框架。教學完成后,在線教學網絡平臺很快生成數據,學生也往往通過發帖請求答疑,這樣很容易發現學習中的共性問題并及時進行教學反思。教學反思可以有先驗的反思成果,亦可以有課后的反思,依據這些數據在教學中發現并優化教學路徑,對學習效果進行總結和分析。

3 PBL教學模式在“概率論與數理統計”教學中的應用

“概率論與數理統計”這門課程與實際問題聯系緊密,人們習慣于利用概率的思想對問題進行決斷。在科學研究中,通過實驗分析和認識研究對象的客觀規律性或發現基本原理是重要的一個途徑[14]。因此PBL教學模式在“概率論與數理統計”這門課程的應用有利于培養學生的數學素養和研究能力。

3.1 對于原理問題,要突出引入路徑與數學思想

教學實例1:概率的定義與應用

概率的定義經歷不同發展階段,一直是難點。事件的概率包括主觀概率與客觀概率,但是其共性是什么?引導學生深入思考如何認識并定義“概率”這個難題,為引入“概率”的公理化定義奠定基礎。

教學中通過在課堂上進行討論,在充分討論的基礎上繼續進行拓展,如“概率”的幾種定義,什么是“概率”的公理化定義,進行下述工作:

(1)對上述問題的總結與背景展示。利用PPT或視頻介紹概率的產生背景。在文藝復興之前,概率還不是一個數學概念,直到16世紀初,一些意大利數學家討論擲骰子中各種情況出現的概率問題,就出現了古典概率及其計算的問題。

(2)問題拓展。在現實問題中,一次性事件的概率稱為主觀概率,沒有公認的方法可以決定一個唯一的值,往往是根據經驗的一種認為和判斷;可重復試驗的事件的概率是可以通過觀測獲得的,一般基于物理對稱性或試驗數據等途徑進行計算,這樣就出現了如何定義“概率”這個難題。

(3)公理化定義的引入。1933年,蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫(A.H.Kolmogorov)給出了概率的公理體系,概率公理化定義的引入途徑見圖2。

圖2 概率公理化定義的引入路徑

(4)批判性思維能力鍛煉。引入疫苗接種問題[15],利用虛擬數據分析相關問題。例如,某地區有100萬人口,其中99%接種了某種疾病疫苗,1%沒有接種。對于接種了疫苗的人來說,一方面,他有1%的可能性出現不良反應,這種不良反應有1%的可能性導致死亡。另一方面,這些接種了疫苗的人不可能得該種疾病。相對地,對于一個未接種疫苗的人來說,他顯然不可能產生接種后的不良反應,但他有2%的概率得該種疾病,試驗結果表明,該疾病的致死率是20%。現在分成兩種截然不同的觀點:一部分人不同意接種;另一部分人認為應該接種。兩部分人都是利用概率支持自己的觀點,試用概率分析雙方各自的理由是什么?并將數據抽象化,嘗試給出判斷疫苗是否應該接種的一般判斷模型。

(5)結果與討論。將所給出的定義與其他形式的數學定義進行比較,讓學生直觀感受數學定義的不同形式和主要思想。概率的公理化定義的特點是對“概率是什么”不加以定義,只制定出概率運算必須遵守的幾條規則,不論對概率的理解是主觀的還是客觀的,在運算推理上都要遵守概率的公理化準則[16]。這樣使學生對概率的公理化定義有更深的認識,從而深入思考概率的計算方法。

3.2 跨專業主題教學,要突出數學表達

跨學科與專業融合進行教學設計,應與教學對象的所在專業契合,主要在數理統計部分開展PBL教學,使學生理解統計推斷的主要思想和基本原理,包括數理統計思想發展史和常用的統計學方法,掌握常用的數據分析和統計推斷方法。

問題的設計應是與數理統計學相關的真實問題,在數據分析過程中能較全面地覆蓋本科階段所要求的統計方法;問題的難度適中,避免抑制學習者的積極性;問題是半開放式的,要有較充分的資料和資源可用。具體步驟為:

(1)根據教學目標的層級設置真實和可操作的問題,并能夠突出某幾個知識點;

(2)利用在線教學資源,激活和儲備需要具備的知識;

(3)引發學習問題;

(4)激發自主學習,引導學習路徑,拓展學習深度。

教學實例2:物流運輸問題

在智能物流專業,根據學科研究和發展的現實需要,以工程管理中的實際問題為導向,重點培養學生運用定量分析方法解決交通運輸工程管理中的主要決策問題,要求他們根據問題能夠建立定量分析模型、求解模型并運用模型的結果分析問題,形成由理論支撐的合理的結論,對本科階段的數學方法性訓練提出更高的要求,據此設計如下PBL教學任務。

物流系統是在離散時間點上的事件系統,首先建立在一段時間內進入某物流配送站到達的貨物數X所服從的概率分布;其次假設當天在到達的貨物數為n的條件下,必須當天送出的貨物數為Y,求Y的概率分布。

引導和要求:這是泊松分布在隨機選擇下的不變性,也稱為隨機分流的不變性問題,要求學生根據所學的常用分布對問題進行概化描述,并求出X和Y的聯合概率分布。

問題評析:該問題是低限度問題,在問題驅動的學習過程中,需要對泊松分布與二項分布的背景進行了解,理解這兩種分布在實際應用中的前提條件,鍛煉學生利用所學知識描述實際問題的能力。

3.3 對于復雜專業問題,要突出數據分析與建模

解決復雜的專業問題,需要較多的數學知識,因此要注意問題的限度。純粹從數據的角度對問題進行分析,對于鍛煉學生數據分析與建模能力具有高效的作用,有利于知識的拓展與體系的構建。

教學實例3:城市基站的電磁輻射評價

隨著電子產品的豐富,城市建設了大量基站進行信號傳輸,包括電視發射塔、手機基站等設施,隨之帶來了公眾對電磁輻射危害的擔憂,如何評價電磁輻射,并向公眾做出科學合理的解釋,就需要對電磁輻射有正確的認識,對城市電磁輻射的標準和情況進行科學評價。根據電磁輻射的主要參考指標“功率譜密度”,對某市監測的基站功率譜數據進行分析。

通過在線教學平臺發布的某地級市基站功率譜密度的監測數據,做出如下引導和要求:

(1)需要具備數據處理與分析方面的知識,學習數理統計部分的內容,理解總體、樣本、統計量、常用統計量的分布、參數估計和假設檢驗的相關知識;

(2)建立評價指標和要素,通過網絡、文獻等獲取相關資料,并能夠說明所采用的方法;

(3)形成報告或制作講解視頻,給出結論,闡釋理由,并提出向公眾進行解釋的意見。

針對上述內容進行如下評析與討論:

(1)通過此任務的實施,使學生了解了電磁輻射的科學知識,學生在數據分析過程中會充分利用數理統計的基本方法對數據進行清洗與處理,分析數據的概率分布;

(2)初期要系統學習數理統計學的基本方法,中期要學習和嘗試使用一些數學軟件,掌握參數估計和假設檢驗的主要原理、步驟與方法;

(3)對本科教學階段的學習要求有進一步的拓展和深化,例如關于分布的皮爾遜檢驗方法,也自然會考慮時空數據的分析方法;

(4)鍛煉學生利用概率統計方法進行數據分析的能力和批判性思維,通過試錯來加深對知識的理解,同時也讓他們從科學角度認識電磁輻射可能帶來的危害,警示他們要避免長時間使用手機,將更多的精力放在學習上。

3.4 評價方法與效果檢驗

雖然PBL教學任務中所涉及的問題具有開放性,但是也需要有一個相對適用的評價標準,對于教學實例1和實例2提到的限度較低的問題,可以通過講評進行問題解決的優良性評價;而對于教學實例3這樣的對綜合性能力要求較高的問題就要結合分組討論、講評和匯報等實際情況進行過程性評價和成果性評價,通過分級賦分區分不同的問題解決水平,在實際操作過程中,根據PBL教學模式評價,研究相關文獻探索研究形成能力水平的評價期望標準(表2)[17-18]。

表2 PBL教學任務所表現出的能力水平的評價期望標準

從吉林大學2020年和2021年兩個學年概率與數理統計課程教學實踐效果來看,PBL教學任務反映了學生學習的不同心理狀態,其中少部分學生幾乎沒有認真思考,僅是將學習作為獲取成績的一種方式,對此要及時調整教學策略,進行及時的引導和鼓勵;而對于大部分學生而言,激發了他們的學習興趣,在一定程度上鍛煉了他們對數學知識的應用能力,他們在結論報告上表達了對這種模式的歡迎和肯定。同時也發現高限度問題對于學生綜合素質的要求較高,影響了部分學生的學習熱情。可見PBL教學模式仍受到諸多客觀因素的制約,教師要指導學生注意避免知識誤用。另外,學生獲得的知識呈現碎片化狀態,教師有必要對參與PBL教學任務的學生進行知識點的梳理和學業指導。

4 總結與討論

在現有的教學目標和要求的限度內,PBL教學模式與課程的屬性有關,因此在問題設計方面呈現多元化形態。在PBL教學模式中,問題的設計是核心。問題的素材需要在平時注意積累,問題可來源于期刊文獻,也可以提煉于科研任務,但在教學環節必須加以必要的改造,以符合教育形態。

單純的教育技術更新并不會創造新的教學方式,新興的教學模式也未必會一定提高教學效率。任何教學模式都會受到學習者個人因素的影響,如學習動機、學習自主性、學習習慣、思維判斷能力和學習路徑與方法等。欲想達到效果就要深入研究它們對教學質量整體生成的機理和內在邏輯,做好教學全過程的每一個環節。

通過教學實踐發現,PBL教學模式有利于加深學生對知識點的理解、辨析、掌握、應用和深化,在一定程度上可以激發學生的學習積極性。并且,由于PBL教學模式常與實際問題結合,其還是實現數學素養培養與思政教育深度融通的有效途徑[19]。在教學實踐過程中也發現,仍然有相當一部分學生對PBL教學模式還不適應;PBL教學模式還沒有成熟的評價體系和方法,設計具有針對性的PBL任務,需要耗費大量的時間和精力,教育成本相對較大;如何達到教學效率與教學成本、學習效果與學習成本的平衡需還要進一步深入研究。