數值修約規則詳解及在電子表格中實現辦法

章棣華

（鎮江市丹徒區宜瑞建筑工程質量檢測中心，江蘇 鎮江 212028）

0 引言

在我國科學技術與生產活動中，因測試或計算會得出的各種各樣的數值，當所得數值需要修約時，應按《數值修約規則與極限數值的表示和判定》（GB/T 8170—2008）提出的一系列方法計算相關數據。日常的技術生產工作中，經常會面臨復雜的測試數據運算與分析問題。而當前所運用的電子表格軟件通常具備靈活的數據處理能力，可以非常方便快速地對大量數據進行運算、統計、分析，可以極大地提高工作效率。然而電子表格軟件中的進舍函數需要采取數值修約規則中的“四舍五入”方法進行計算分析，不符合本文所研究的數值修約規則，因此不免會帶來額外的修約誤差。目前主流電子表格軟件有Microsoft Excel 和WPS 電子表格。本文主要研究了對數值進行修約的規則及其背后的數學原理，并以使用最廣泛的Microsoft Excel 為例（簡稱“Excel”），詳細給出了《數值修約規則與極限數值的表示和判定》數值修約規則在這個軟件中的實現辦法。

1 《數值修約規則與極限數值的表示和判定》對數值修約的定義

數值修約可以理解為舍去一個數值的最后若干位數字，對最末位數字進行保留處理。經過一系列處理之后，最后所得到的值會趨近于原本數值的過程，稱之為數值修約。其中，經數值修約處理后的數值，稱之為修約值。

修約間隔經常作為修約值最小數值單位存在。修約值是修約間隔的整數倍。

如指定修約間隔為0.1，修約值需要在0.1 的整倍數中大量選取，可以理解為將數值修約到具體一位小數。

如指定修約間隔為10，修約值需要在10 的整數倍中大量選取，可以理解為將數值修約到十位。

如指定修約間隔為0.5，修需要在0.5 的整數倍中大量選取，可以理解為將數值修約到具體一位小數。需要注意的是，該小數位必須能夠被5 整除。

2 《數值修約規則與極限數值的表示和判定》對數值修約的進舍規則

《數值修約規則與極限數值的表示和判定》的數值修約進舍規則并不等同于傳統的四舍五入方法，而是需要結合具體情況選擇不同的規則進行計算處理。

規則一。如果擬舍棄數字的最左一位數字＜5，則將擬舍棄數字全部舍去，保留的其余各位數字不變。

例1，將10.349 修約到一位小數，得10.3。

規則二。如果擬舍棄數字的最左一位數字＞5，則將該位數需要進一處理，也就是需要對保留的末位數字進行加1 處理。

例2，將12.60 修約到個位，得13。

規則三。如果擬舍棄數字的最左一位數字＝5，同時其后有非0 數字時進一，那么則就需要對所保留的末位數字進行加1 處理。

例3，將10.501 修約到個數位，計算結果為11。

規則四。如果擬舍棄數字的最左一位數字＝5，而右面無數字/皆為0 時，若所保留的末位數字屬于奇數領域范疇，則需要進一處理，相反則舍棄。

例4，將11.500 修約到個數位，計算結果為12。

例5，將10.500 修約到個數位，計算結果為10。

規則五。針對負數的修約處理需要關注其的絕對值，絕對值需要按照規則1～4 修約處理，經過處理之后，需要在所得值前面加上“-”（負號）。

例6，將-10.500 修約到個數位，得-10。

規則六。0.5 單位修約與0.2 單位修約等非整數位修約，先將修約間隔乘以數值X 換算到整數修約間隔Y，對擬修約數值和X 的積依規則一至四，按修約間隔Y 進行修約，最后將所得數值再除以X。

例7，將10.25 修約到個數位的0.5 單位，先將10.25×2=20.5，再依規則一至四修約到個數位得20，最后20÷2=10.0。

3 《數值修約規則與極限數值的表示和判定》數值修約的統計學原理

《數值修約規則與極限數值的表示和判定》數值修約規則的數學本質上是為了在測量精度有限時，使正負誤差期望絕對值相等，相互抵消后確保舍棄和進位區間在統計意義上均等，因此適用于科研、生產活動中測量、統計等不可避免存在測量誤差的數據處理[1]。

對于精確的解析計算，或者原始數據都是整數或離散數值（且計算過程沒有精度損失的）的計算中，“四舍五入”是完全不存在任何問題的，反而使用“四舍六入”會出現系統誤差。

例如，由于精度受限，實際情況下，5 左右狹窄區域內的測量數據都會被讀作5.00，“四舍五入”時進位，導致系統誤差的產生，“四舍五入”誤差期望概率分布圖如圖1 所示，數據精度有限時，“四舍五入”法舍棄區間和進位區間概率分布不相等，解決的辦法就是按GB/T 8170—2008 規定的數值修約規則，對5 附近的數據概率相等地進位或舍棄，以消除系統誤差。

圖1 “四舍五入”誤差期望概率分布

如要求保留某個測量讀數1.2500 到小數點后一位。該讀數即使精確到了0.0001，仍然無法確定該數的真值是略小于讀數（如1.249998），還是略大于讀數（如1.250002）。因為這兩個數如此接近于1.2500，當測量精度不夠時把它們讀成1.2500 是無法避免的。因此如果對于1.2500，無論其真值比1.2500 小一點點還是大一點點，我們都當作1.25 使用“五入”規則進位到1.3，那么就產生了系統誤差[2]。雖然這個誤差在很多場景下似乎并不算大，但隨著數據的累積，誤差最終一定會被放大到不可接受的程度。因此在這種情況下，采取《數值修約規則與極限數值的表示和判定》數值修約規則這種平均概率處理能夠在統計上抵消誤差。

如果對于上例，總能精確地測量出真值是1.249998或1.250002，那么就完全不需要《數值修約規則與極限數值的表示和判定》數值修約的算法，“四舍五入”是完全正確的。但是對于測量[3]而言，真值是一個理想概念，一般來說，真值不可能確切獲知。

例8，某商品住宅房基樁單樁豎向抗壓靜載試驗項目，設計樁型（PHC-400（95）AB-C80）。其中，單樁豎向抗壓極限承載力控制設計為1300kN，檢測方法采取慢速維持荷載法，規范標準按照《建筑地基基礎設計規范》（GB 50007—2011）執行。

試驗的沉降相對穩定標準：每級荷載作用下的樁的沉降量連續兩次在每小時內小于0.1mm，（從分級荷載施加后的第30min 開始，按1.5h 連續三次每30min的沉降觀測值計算），認為已經達到相對穩定，可施加下一級荷載。

130kN 這一級最后1h 實測平均沉降如按照“四舍五入”應為“0.10mm”，試驗的沉降未達到相對穩定標準，應繼續本級加載試驗，直至試驗的沉降達到相對穩定標準，但根據《數值修約規則與極限數值的表示和判定》數值修約的算法130kN 這一級最后1 小時實測平均沉降應為“0.09mm”，試驗的沉降達到相對穩定標準，所以對于檢測檢驗而言，數據的修約尤其重要，它關系的試驗的準確性及科學性，乃至試驗成功與否。基樁單樁豎向抗壓靜載試驗130kN 數據匯總表具體數值如表1 所示。

表1 某商品住宅房基樁單樁豎向抗壓靜載試驗130kN 數據匯總

4 Excel 中數值的進舍規則和數據存儲誤差

Excel 中自帶的舍入函數，常用的為ROUND 函數，在數值修約上更適用于“四舍五入”規則，當擬舍棄數字的最左一位數字為5，而右面無數字/皆為0 時，計算結果會出現明顯偏差，不符合《數值修約規則與極限數值的表示和判定》修約結果。同時，Excel 中自帶的舍入函數也不符合相關規則的修約間隔，如無法實現0.5 單位和0.2 單位的修約間隔。

例9，將10.25 修約到0.1 單位，以Excel 中的自帶舍入函數為操作方法：ROUND（12.25，1）=12.3，結果出現偏差。

計算機中因為數據存儲的進制問題，還帶來其他誤差。計算機中的數據是按照二級制存儲的，有的小數以二進制存儲時先天存在誤差。如十進制數0.1 轉換成二進制后，會變成0.0011001100…（1100 循環）這樣的無限循環小數。就和無法用十進制數來表示1/3 是一樣的道理。1/3 用十進制表示就是0.3333…，同樣是無限循環小數。這樣計算時不免帶來誤差。計算機雖然是功能強大，但是無法處理無限小數，Excel 對此采用浮點數表示，根據變量數據類型所對應的長度將數值從中截斷或者四舍五入。將0.333…這樣的循環小數從中間截斷會變成.33333，這時它的3 倍就無法得出1（結果是0.99999），計算機因為無法正確表示的數值，最后都變成了近似值，在需要精確計算的時候，就帶來了誤差。

5 采用VBA 編程方式實現數值修約

Excel 自帶函數本身存在局限性，無法完全實現數值修約功能，再加上其小數數值存儲誤差問題明顯，最終計算結果精確度難以得到保障。這里利用Excel 中自帶VBA 編程自定義一個數字修約函數實現GB/T 8170—2008 數值修約規則。下面我們就以Microsoft Excel 2010 為例，利用Microsoft Visual Basic（以下簡稱VBA）[4]來編制一個符合《數值修約規則與極限數值的表示和判定》的自定義數據修約函數（函數名：gbt8170）。

第一步，選擇菜單“開發工具、按下鍵盤Alt+F11 組合鍵、選中命令指示、打開VBA 窗口、自定義函數。

第二步，進入VBA[5]窗口后，選擇菜單“插入→模塊"命令、獲取“模塊1”，在“模塊1”中輸入自定義函數代碼，如下所示：

Public Function gbt8170(ByVal x As Double, ByVal n As Single) As Double

Dim a As Single

p = 1

If x < 0 Then

p = -1

x = x * p

End If

a = x / n - Int(x / n)

If a > 0 And a < 0.5 Then

gbt8170 = p * Int(x / n) * n

ElseIf a = 0.5 Then

If Int(x / n) Mod 2 = 0 Then

gbt8170 = p * Int(x / n) * n

Else

gbt8170 = p * Int(x / n + 1) * n

End If

Else

gbt8170 = p * Int(x / n + 1) * n

End If

End Function

注：a 的數據類型須設置成single 格式，不然會出錯。

第三步，函數自定義成功后，選擇菜單中的文件功能，點擊關閉并返回到Microsoft Excel 命令，退回到Excel 工作表窗口界面當中。完成上述一系列操作后，可以在Excel 里面選擇gbt8170 函數調用。自定義gbt8170 函數用法：gbt8170（待修約值，修約間隔）[6]。

Excel 舍入函數ROUND 和自定義函數gbt8170 比較如表2 所示，函數gbt8170 對各種不同類型的數值修約都能滿足標準的要求，而自帶的函數ROUND，對有些末尾是偶數的修約數值就開始出錯了，而且對復雜一些的0.5 修約也不能直接使用。

表2 Excel 舍入函數ROUND 和自定義函數gbt8170 比較

6 結語

綜上所述，利用Microsoft Excel VB 編程方式比較符合《數值修約規則與極限數值的表示和判定》數值修約規則要求，不僅比較容易實現，使用起來也方便，就算不懂計算機編程，操作人員只要輸入自定義函數后，每次使用時只要調用gbt8170 函數，就可以實現正常操作，可滿足科學技術和生產活動中大多數需要數據計算處理的日常工作。