基于數據驅動的魯棒最小成本共識模型

韓燁帆, 紀 穎, 屈紹建

(1.上海大學 管理學院,上海 200444; 2.南京信息工程大學 管理工程學院,江蘇 南京 210044)

0 引言

共識決策保證了群體決策(GDM)的有效性,廣泛存在于我們的日常生活。通過溝通和多輪反饋并調整,最終得到所有DMs都接受的共識意見[1-3],其中修改意見以達成共識的成本最好盡可能低。考慮成本函數是線性函數,最小成本共識(MCC)的概念被提出[4]。DONG等[5]建立了語言環境中GDM的MCC模型。為了說明了上述兩類模型的關系,ZHANG等[6]將聚合函數納入到MCC模型。ZHANG等[7]總結了近十年MCC模型的研究范式并指出未來的研究方向。此外,還有很多MCC模型被提出[8,9]。

個體偏好信息的聚合直接影響綜合指標的質量和可靠性,決策者權重必須以適當的方式確定。事實上,即使聚合算子的權重只有微小的變動也可能導致不合理的方案被選擇,誘發一定的經濟和社會損失。因此,建立一種有效處理聚合過程中權重的不確定性的方法非常必要。

當歷史數據可以獲得時,從歷史數據中確定聚合權重更有利于產生決策者滿意的解決方案。但由于社會環境的復雜性和多變性,DMs并不能夠解釋所有因素。本文旨在利用權重的歷史數據,建立基于數據驅動魯棒優化方法的MCC模型,它可以充分考慮聚合過程中不確定性的歷史信息,從而解決不確定性帶來的影響。

區間值理論[8]、隨機規劃(SP)[10]和魯棒優化(RO)[11]都能有效處理不確定性。因為無需事先定義不確定參數的分布且易于處理,RO受到密切關注并被廣泛應用于各個領域[12,13]。但這些經典RO方法都是依據經驗得出不確定集合,使得結果過于保守。通過充分利用歷史數據信息,數據驅動魯棒優化方法[14,15]合理地平衡了保守性和經濟性。事實上,不確定集合都是基于不確定性的觀測數據的[16],其概率密度函數(PDF)可以從歷史數據中獲得。同時我們可以掌握一定的準確性,如考慮90%的不確定情景并舍棄邊界外的極值情況,更符合實際的GDM問題。

本文結合置信水平刻畫不確定聚合權重的波動情況,建立了兩類柔性不確定集合[17]。作為經典RO方法的拓展,基于數據驅動RO的MCC模型的魯棒等價式可以利用對偶理論獲得,且易于處理。

1 預備知識

1.1 最小成本共識模型

1.2 魯棒優化及其對等式

考慮一般的線性規劃問題:

(1)

其中A∈Rn×m,b∈Rn表示受不確定參數影響的系數矩陣和向量。

定義2(魯棒可行解) 如果向量x∈Rm滿足不確定性集合約束的所有變形,則它是不確定問題(1)的魯棒可行解。

由于不確定LP問題的魯棒等價式是一個半無限規劃問題,增加了求解難度。因此,將這個問題轉化為具有多項式可解性的凸優化問題似乎是一個不錯的選擇。根據不同結構的不確定集合,我們可以得到不同形式的優化問題。最常使用的不確定集有:盒子集,橢球集,多面體集。

2 基于不確定聚合權重的數據驅動魯棒成本共識模型

由于DMs的教育程度、社會背景等不同,他們在決策過程中所表現出來的重要程度也不同。但在真實的決策環境下,很難準確獲得每個DM的權重。因此,我們考慮DMs的權重不確定且在一定范圍內波動。模型(M2)的魯棒對等模型為:

2.1 置信水平約束下的不確定聚合權重

(2)

2.2 不確定權重的柔性盒子不確定集合

定義4(柔性盒子不確定集合Ⅰ) 柔性盒子不確定集合基于不確定數據的無窮范數(l∞)定義,它的數學形式如下:

={ξ|‖ξ‖∞≤Φ,Φ=max{qi},?i∈J}

(3)

其中J表示造成權重不確定的所有系數的集合。當Φ=1,即|qi|≤1時,盒子不確定集合為區間不確定集合。

引理1模型(M3)關于不確定性的約束在經典盒子不確定集下的魯棒等價式為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

定義5(柔性盒子不確定集合Ⅱ) 柔性盒子不確定集合的另一種形式為:

(9)

(10)

2.3 不確定權重的柔性橢球不確定集合

定義6(柔性橢球不確定集合Ⅰ) 柔性橢球不確定集合基于不確定數據的2范數(l2)定義,它的數學形式如下:

(11)

(12)

定義7(柔性橢球不確定集合Ⅱ) 柔性橢球不確定集合的另一種形式為:

(13)

(14)

2.4 不確定權重的柔性多面體不確定集合

定義8(柔性多面體不確定集合Ⅰ) 柔性橢球不確定集合基于不確定數據的1范數(l1)定義,它的數學形式如下:

(15)

(16)

定義9(柔性多面體不確定集合Ⅱ) 柔性多面體不確定集合的另一種形式為:

(17)

(18)

式(5)(6)(7)在六種柔性不確定集合下的魯棒等價式可用同樣的方法得到,為了文章的簡潔,這里不再贅述。

通過將上述六種柔性不確定集合得到的相應的魯棒對等式代入模型(M3),得到六個不同的魯棒共識模型,分別記為(M4)(M5)(M6)(M7) (M8)(M9)。

3 在碳配額分配管理中的應用

3.1 研究背景

兩會期間,“碳中和、碳達峰”備受關注,如何配置市場資源和環境資源是重中之重。通過談判與協商,政府與所有企業就碳配額達成共識。綜合社會效益和經濟效益,政府希望以最小的成本幫助企業確定碳配額,這個過程本質上構成MCC問題,政府代表主持人,企業代表DMs。由于企業的地理位置、經濟發展等方面存在較大差異,政府在聚合信息的過程中為各企業分配不同且不確定的權重,為氣候治理帶來很大的風險,有效處理聚合過程中的不確定性尤為重要。

3.2 數值結果和靈敏度分析

本文所有模型均采用Gurobi 9.1.1求解,所有實驗都在一臺16GB的內存和1.80GHz的4核CPU的PC上進行。

3.2.1 數值結果

假設位于同一省份不同地區的五個污染企業表示為ei,i=1,…,5,它們提出的原始碳配額需求分別為O={0.59,0.36,0.64,0.25,0.42}(單位:10,000噸/年)。為促進最優資源分配,政府愿意支付給他們的單位調整成本為C={6,3,4,1,2}(單位:10,000元/噸)。結合各企業的排放效率和能源利用情況,假設在聚合過程中政府分配給這五個企業的權重分別為w={0.375,0.25,0.1875,0.125,0.0625}。碳配額的標準oc由五個企業期望的加權確定。

為了避免模型的解過于保守,我們考慮基于核的估計方法來獲得不確定權重的PDF。假設Wk,k=1,2,…,n是來自總體wi的觀測值,核的核密度估計定義為

圖1 w1-w5的核密度估計曲線

在考慮同比例的不確定情景時,柔性集合Ⅰ比柔性集合Ⅱ的MC小,且不同形狀的不確定集對模型結果的影響不同。多面體集最大,橢球集次之,盒子集最小。若政府追求低成本,選擇柔性盒子不確定集合Ⅰ,但分配的碳配額資源較多,需要政府均衡好成本和資源。

3.2.2 柔性不確定集合Ⅰ和柔性不確定集合Ⅱ之間基于置信水平的比較

實驗1所有不確定性具有相同的置信水平

圖2 不同置信水平下的MC

隨著置信水平的增加,(M4)-(M9)的MC都有不同程度的增加(圖2)。為了更有效的達成共識,政府會付出更多成本規避不確定性帶來的風險。就集合形狀而言,橢球集誘導的MC始終最大,因此柔性橢球集誘導的模型具有更強的保守性。就集合類別而言,相同形狀的集合下,柔性集合Ⅱ誘導的MC始終比柔性集合Ⅰ大,即柔性集合Ⅱ的保守性更強。這是因為柔性集合Ⅱ獨立考慮了各個不確定性的影響,消除了不確定性之間的耦合情景帶來的影響。

實驗2不同不確定性具有不同的置信水平

如圖3所示,假設每次只改變一個不確定性的波動范圍,其他的不確定性保持置信水平為85%。柔性集合誘導的MC始終隨置信水平的增增加而增加。其中(d)中的曲線比其他四個更平穩,說明不確定權重w4對于模型的影響最小。w2次之,w1,w3,w5則表現出較大的波動。此外,五個不確定權重在柔性盒子集Ⅰ中誘導的MC在中等置信水平區間上均表現出下降的趨勢。此時魯棒模型的保守性降低,魯棒性增強。如果政府想要更高效的達成共識,那么可以嘗試使用柔性盒子不確定集Ⅰ限制不確定性的邊界。但是值得注意得是高回報意味著高風險,這種選擇也可能得到不滿意的結果。通過計算和預測MC的波動情況,可以幫助政府更好地分配碳配額,并提前制定合理的碳排放交易政策。

(a)

3.2.3 經典不確定集合和柔性不確定集合的比較

當可調參數增大時,經典集合的MC快速增加,且比柔性集合的MC的增速更快(圖2)。在建議的可調參數范圍內,當可調參數達到其上界時,經典集合的MC比柔性集合更大。這意味著經典集合誘導的模型比靈活集合誘導的模型的保守性更強。政府可以根據對風險的偏好程度選擇合適的不確定集合以制定決策。

4 結論

本文基于數據驅動的魯棒優化方法處理GDM中的不確定聚合權重。具體貢獻總結如下:

(1)基于權重的歷史觀測數據,考慮聚合權重的不確定情景的不同比例,改變置信水平,可以得到不確定性的界。

(2)利用具有置信水平的不確定權重建立了兩類柔性不確定集合,它們可以避免預定義的可調參數造成的保守性。

(3)置信水平越高,考慮的不確定情景越多,魯棒模型的保守性越強。與經典魯棒優化方法對比,考慮數據驅動的柔性魯棒模型具有更少的保守性。

由于大規模的GDM很難達成共識,考慮將所提出的魯棒共識模型推廣到大規模GDM中是很有研究意義的。