基于預防維修的可變抽樣區間泊松EWMA控制圖經濟設計

薛 麗, 曹逗逗, 王秋語

(鄭州航空工業管理學院 管理工程學院,河南 鄭州 450046)

0 引言

隨著現代高新企業智能制造技術的廣泛運用以及大量過程數據獲取的便捷性,產品制造過程監控日益受到關注。由于人、機、料、法、環、測的影響,產品相關的質量特性值將會偏離目標值,即過程波動經常存在。統計過程控制是應用統計技術對過程各個階段進行評估和提升質量的一種有效技術和方法,通過其重要的工具——控制圖對過程進行監控可以快速識別異常波動,達到提高過程質量的目的。為了監控產品缺陷數的異常波動,休哈特提出泊松分布下缺陷數c控制圖,由于僅僅考慮現時樣本點的影響,只有當過程中的波動達到一定程度大時其監控效果才比較明顯。1959年ROBERTS[1]基于指數加權形式放大單個樣本點的信息,提出對過程中較小波動監控靈敏的EWMA控制圖。

為了降低過程控制成本,DUNCAN[9]提出了控制圖的經濟模型,以確定均值控制圖的參數最優值。FRANCO等[10]用變采樣策略監測自相關數據,構建了休哈特控制圖的經濟模型。NADERKHANI和MAKIS[11]研究了具有兩個采樣區間的多元貝葉斯控制圖的經濟設計。COSTA和FICHERA[12]運用一種改進的自適應差分進化方法,研究了ARMA控制圖的經濟統計設計。CHOU等[13]對VSI EWMA控制圖經濟設計進行研究。SEIF等[14]提出一種運用馬爾可夫鏈方法對VSST2控制圖進行經濟設計研究。王海宇等[15]基于平均產品長度,構建EWMA控制圖的多目標經濟統計優化模型。薛麗[16,17]針對標準差變化和產品缺陷數變化的兩種情形,研究抽樣區間變化的EWMA控制圖的經濟設計問題。

隨著生產過程機器化和自動化的日益普及,產品制造流程也從人工時代向機器化時代轉變。此時,設備運行狀態是否正常越來越重要,密切影響到產品的質量、過程控制的效果以及控制成本。學界和業界均認為設備運行狀況與過程質量存在密切聯系,許多學者持續關注設備維修管理與過程質量控制的聯合決策研究[18-21]。另一方面,由于高精度產品測量成本日益增高,強調產品質量輸出偏離目標值的質量損失函數被廣泛使用在制造過程中。傳統的經濟模型關注過程控制成本,較少考慮偏離目標值造成的質量損失[9-17]。因此,本文基于質量損失函數和預防性維修策略,研究可變抽樣區間泊松EWMA控制圖的經濟設計問題,構建其經濟模型。對其進行靈敏度分析,以指導在實際生產過程中如何選擇最優的控制圖參數。

1 可變抽樣區間泊松EWMA控制圖

令X為生產過程中單個產品中的缺陷數,一般情況下服從泊松分布:

P{X=x}=e-μμx/x!,x=0,1,2,…

(1)

其中,μ>0為已知參數。過程受控時,μ=μ0。過程失控時,μ=μ1=μ0+μ0δ,δ為均值波動。則容量為n的樣本中包含的總缺陷數表示為Y=X1+X2+…+Xn,它服從參數為nμ的泊松分布:

P{Y=y}=e-nμ(nμ)y/y!,y=0,1,2,…

(2)

則受控狀態下Y的均值和方差為:

(3)

泊松EWMA控制圖的監控統計量Z0為:

(4)

根據式(3)、式(4)可以得出:

(5)

當t充分大時,得到Zt方差的漸近形式:

Var(Zt)≈λnμ0/(2-λ),0<λ≤1

(6)

其中,λ為平滑系數。泊松EWMA控制圖的上下控制限為:

(7)

(8)

其中k1,k2為上下控制限系數。

由于式(4)得到的統計量Zt≥0,當LCL≤0時,控制圖檢測不出均值的向下波動,此時的控制圖應該為非對稱的,因此取k1≠k2。

泊松EWMA控制圖的上下警戒限為:

(9)

(10)

其中w1,w2(0

選取h1和h2為兩抽樣區間,且h1>h2>0,若LWL≤Zt≤UWL,則間隔h1抽取下一個樣本;若UWLUCL或Zt

2 經濟模型建立

為了建立經濟模型,有如下假設:

(1)過程最初為受控,即μ=μ0;

(2)總缺陷數服從參數為nμ的泊松分布;

(3)若過程失控時,總缺陷數nμ=nμ1=nμ0+δnμ0;

(4)受控時間服從參數為θ的指數分布;

(5)異常原因不發生在抽樣時,且最多有一個[10];

(6)一旦過程發生波動,不可能自動恢復到受控;

(7)當UWL

2.1 過程循環周期T的確定

將從開始到失控,尋找并消除異常原因的時間稱為過程循環周期T。T可以分為:(1)受控時間;(2)失控到報警的時間;(3)分析樣本并記錄的時間;(4)異常原因找到以及過程糾正的時間。表1記錄經濟模型的有關參數,T的公式如下:

表1 相關參數定義

T=1/θ+(1-γ1)st0/ANSS0+ATS1-τ+t1+t2+ng

(11)

2.2 損失成本函數L的確定

一個循環周期的損失成本有:(1)錯誤警報、作圖和異常原因找到并糾正的損失成本L1;(2)預防維修損失成本L2;(3)受控損失成本L3;(4)失控損失成本L4。

(1)錯誤警報、作圖和異常原因找到并糾正的損失成本L1為:

L1=α×(1/θ+(1-γ1)st0/ANSS0)/h0×d+

(12)

(2)預防維修損失成本L2為:

L2=Cpm×[p01×(1/θ+(1-γ1)st0/ANSS0)/h0+

(13)

其中p01為受控時落在警戒域的概率,p11為失控時落在警戒域的概率。

(3)記m為目標質量特性值,Δ為容差,M/Δ2為損失函數系數。受控時,將均值和目標值的絕對偏差記為dv,即dv=|μ-m|,則受控時期損失成本L3可表示為:

(14)

其中y為單位內的產品生產量。

(4)當異常原因發生時,損失成本L4可表示為:

(ATS1-τ+t1+t2+ng)y

(15)

因此得到損失成本函數L為:

L=L1+L2+L3+L4

(16)

2.3 單位時間的損失成本函數ETL

由式(11)和式(16)得到單位時間的損失成本函數ETL:

ETL=L/T

(17)

由前面討論可知ETL是與參數(n,k1,k2,h1,h2,w1,w2,λ)有關的函數。

3 數據案例

下面通過給出航空玻璃纖維布的例子說明求解參數(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)最優解的過程。

為了提高過程質量,某航空制造企業采用VSI泊松EWMA控制圖對玻璃纖維布上的瑕疵點監控。受控時,服從參數為μ=μ0=4的泊松分布,失控μ=μ1=μ0+δμ0=6時。模型和成本相關參數如下:a=1.5,b=0.5,Δ=4,W=4,d=2,m=4,g=0.2hr,t1=0.6hr,t2=0.6hr,θ=0.01,γ1=γ2=1,y=12,Cpm=10,M=10。

matlab環境下對遺傳算法進行編碼。要求n為整數,參數(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)的取值范圍為:1≤n≤20,1≤h1≤3,0.01≤h2≤1,1≤k1≤4,1≤k2≤4,0.01≤w1≤3,0.01≤w2≤3,w1≤k1,w2≤k2,0.01≤λ≤1。人口規模N為30,變異率和交叉率為0.1和0.8,令ETL(式(17))的倒數為適應度函數。當迭代到100代時算法停止,得到VSI泊松EWMA控制圖的最優值參數:n=2,k1=3.518,k2=1.979,h1=2.758,h2=0.121,w1=1.73,w2=1.933,λ=0.062,ETL=262.1259。

4 靈敏度分析

為了研究(a,b,θ,d,g,t1,t2,δ,Cpm,W,M)與(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)和ETL間的關系,對經濟模型進行參數靈敏度分析。(a,b,θ,d,g,t1,t2,δ,Cpm,W,M)為自變量,對應的水平記在表2,(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)和ETL為因變量。這是兩水平十一因素的正交試驗,可以選用正交表L16(215)。令γ1=γ2=1,t0=1。由L16(215)得到的試驗方案以及結果記在表3和表4。

表2 十一個模型參數的兩種水平

表3 根據L16(215)安排的十六次試驗

令顯著性水平α=0.1,運用SPSS軟件對因變量進行回歸分析,得到參數之間的影響關系,具體見表5。

表5 設計參數或ETL與模型參數間的影響關系

5 最優性分析

某一產品缺陷數服從泊松分布,受控時參數μ=μ0=4,失控時μ發生波動,可以采用VSI泊松EWMA控制圖監控。下面對基于經濟方法設計和統計方法設計的兩種控制圖做比較研究。

(1)樣本容量n=2時,由統計方法設計VSI泊松EWMA控制圖。令受控ATS0為固定值,使失控ATS1達到最小得到(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)的最優值。

(2)基于經濟方法構建的VSI泊松EWMA控制圖。根據所建立的經濟模型(17)得到(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)的最優值。

在表2給定參數值的前提下,計算單位時間損失成本并進行比較。根據統計方法得到的單位時間損失成本記為ETL1;根據經濟方法得到的單位時間損失成本記為ETL,相關結果記錄在表4。令n=2,k1=2,k2=3,w1=1,w2=2,分別計算λ=0.05,ATS0=250,300,350和λ=0.1,ATS0=150,200,250時,16次試驗得到的單位時間損失成本,并記在表6。

表6 最優性分析結果

由表6可知:每種試驗下基于經濟方法設計得到的單位時間損失成本ETL均小于統計方法設計得到的單位時間損失成本ETL1,因此基于經濟方法設計的控制圖優于統計方法設計的控制圖。

計算16次試驗得到的單位時間損失成本平均值,并記錄在表中倒數第二行。例如,基于經濟方法設計得到的單位時間損失成本ETL均值為230.367,而當λ=0.05,ATS=300,時,用統計方法設計得到的單位時間損失成本ETL1的均值為256.244,得到ETL

最后平均值除以ETL均值230.367,得到標準化之后的比值并記在最后一行。例如:λ=0.1,ATS=200時標準化比值為1.1106,說明基于經濟方法設計的控制圖ETL優于統計方法設計的控制圖1.1106倍。

綜上可知:基于經濟方法設計的VSI泊松EWMA控制圖優于統計方法設計的控制圖。

6 結論

本文引入預防維修策略,構建基于二項分布的VSI泊松EWMA控制圖經濟模型;采用遺傳算法令目標函數最小化得到經濟模型的最優解;然后對經濟模型進行靈敏度分析,得出參數(a,b,θ,d,g,t1,t2,δ,Cpm,W,M)與(n,h1,h2,k1,k2,w1,w2,λ)間的關系,為實際中選取最優參數提供參考建議,建議分別為:(1)過程均值波動δ增大時,建議降低控制圖的樣本容量n,增大上控制限系數k1、上警戒限系數w1、平滑系數λ;(2)異常原因發生的頻率θ增大時,建議降低上控制限系數k1、下控制限系數k2、上警戒限系數w1和下警戒限系數w2;(3)發現及修復一次異常原因的平均成本W增大時,建議增大上控制限系數k1,減小下控制限系數k2;(4)發現過程異常原因的時間t1增大時,建議增大上控制限系數k1,減小上警戒限系數w1;(5)糾正過程的平均時間t2增大時,建議增大上控制限系數k1;(6)抽取一個樣品并記錄它的時間g變大時,建議調大上控制限系數k1,上警戒限系數w1;(7)在使用控制圖對過程進行監控時,如果統計量落在警戒域內,應即時進行預防維修;如果樣本點超出了控制限,應立即查找異常原因,采取相應措施糾正過程,以減少不合格品的產生。

通過最優性分析可知:基于經濟方法設計的控制圖比統計方法設計的控制圖單位時間損失成本更小,其經濟性能更優越。