基于ARIMA 模型的四川省GDP 分析與預測

肖 丹

（貴州大學 經濟學院，貴州 貴陽 550025）

一、引言及文獻綜述

GDP（Gross Domestic Product）體現國內生產總值，它是國民核算過程中的重要指標之一。國內生產總值代表一個經濟體內所有人提供的服務和生產的全部最終產品的總價值。為了避免重復計算，GDP只需要考慮最終產品和服務的產出，而不考慮中間產品的產出。國內生產總值可以反映一個國家或者地區的經濟總量和綜合實力。一方面，它代表著整個國家或地區的發展和人民的生活狀況；另一方面，又代表著國民經濟的增長、城鄉居民生活的發展、市場價格的變動和社會發展的步伐。因此，GDP 指標在制定一個國家相應的政策和決定經濟發展方向方面起著關鍵作用。

四川省位于中國西部，是西南地區重要的交通樞紐，連接西南、西北、中部，承攬華北、華南，是連接中亞、南亞、東南亞的交通走廊。四川省經濟總量位居全國第六，其綜合實力高居西部地區首位。自改革開放以來，四川省的經濟發展和對外貿易取得了巨大的成就，尤其是在我國加入世界貿易組織和實施“西部大開發”戰略以來，其經濟伴隨著對外貿易的迅速發展而高倍增長，其國內生產總值由1978 年的184.61 億元人民幣增加到2022 年的56 749.8 億元人民幣，增長三百多倍。2011 年，四川省GDP 達到2 萬億元，這是在2007 年突破萬億元以后，并在“汶川大地震”和“國際金融危機”等復雜經濟形勢影響下，僅用四年時間就突破了另一個萬億元大關，在西部各省市處于率先地位，成為西部經濟發展的龍頭大省。2020 年，全國的GDP 平均增速為2.3%，而四川省經濟跑出了3.8%的增速，比全國平均水平高了1.5 個百分點，達到近七年的最高水平。在過去幾年里，四川省的經濟增長率都保持在7%以上，在多重不利因素的疊加下，四川省GDP從一季度下降3%，到全年增長3.8%，經濟實現了“V”型反轉。

本文以四川省1978—2022 年的GDP 時間序列數據作為研究對象，采用ARIMA 時間序列模型對四川省的經濟數據進行分析，并對未來五年內經濟走勢進行了合理預測，具有一定的現實意義和參考價值。

事實上，ARIMA 模型主要用于單變量、同方差場合的線性模型。AR 模型、MA 模型、ARMA 模型和ARIMA 模型都是經典的時間序列分析方法。近年來，許多學者運用時間序列模型進行經濟預測。劉林（2022）[1]基于經濟增長理論，在生產要素和通脹變動路徑的假設下，利用1996—2020 年經濟數據，構建了長江三角洲地區八個萬億GDP 城市的經濟增長模型，預測各市截至2035 年的經濟總量規模和增長趨勢。羅森和張孟璇（2019）[2]分別構建ARIMA和VAR 模型對2019 年四個季度的中國GDP 進行預測，并對兩種模型的預測結果進行比較。王鄂和張霆（2019）[3]選取湖南省1978—2017 年GDP 的相關數據，使用計量經濟學軟件Eviews 8 對所選的時間序列數據進行建模，最終建立ARIMA（1，1，2）作為預測湖南省GDP 的最優模型。李娜和薛俊強（2013）[4]以1952—2011 年不變價格GDP 為研究樣本，首先建立了36 組ARIMA 模型，運用多重篩選準則，最后確定最優ARIMA（6，1，3）模型，對我國2009—2011 年的GDP 進行預測，并且預測精度高。孫彩云和劉翔宇（2022）[5]分別基于河北省1988—2018 年人均GDP 數據序列構建灰色預測模型、時間序列預測模型以及動態組合預測模型。在對這三種模型對比研究之后，他們發現動態組合模型的預測結果較為理想，并提出了一些建議。

嚴彥文（2018）[6]通過對山東省1975—2015 年GDP 的分析，運用統計原理構建了預測效果較好的ARIMA（1，1，1）模型，可為山東省制定經濟發展目標提供一定的決策參考。隨著ARIMA、向量自回歸模型（VAR）和一階自回歸AR（1）的應用，區域人均GDP 的時間序列數據已被證明是發達國家和發展中國家的有效經濟實驗工具，無論是年度還是季度數據。例如，Xinyao Zhang 和Jie Ou（2022）[7]建立了2010—2019 年四川省國內生產總值的30 維長序列，通過改進微分方程初值解條件法修正了6 維短序列的正態灰色模型，經過對論文模型的檢驗結果表明，改進微分方程初始值解條件法修正的6 維短序列灰色預測模型對2020—2021 年四川GDP 的預測效果較好。Hongye Cai 和Wenxuan Qiu（2022）[8]選取深圳市1980—2020 年的GDP 數據，構建ARIMA（2，2，3）模型對未來5 年的GDP 數據進行預測，2021 年預測結果與實際數據的相對誤差為2.9%，表明模型預測結果較好，具有一定的可行性。Maity B 和Chatterjee B（2012）[9]使用1959—2011 年的年度數據預測了印度的GDP 增長率，結果表明ARIMA（1，2，2）模型最適合。借助1980—2013 年的數據，經濟學家Dritsaki（2015）[10]使用ARIMA（1，1，1）模型預測了希臘的實際GDP 率，結果表明希臘GDP預測率穩步提高。

二、ARIMA 模型介紹

ARIMA 模型最早是由兩位美國統計學家G.E.P.Box 和G.M.Jenkins 在1970 年提出的，又被稱為博克思-詹金斯法，它是一個比較有效的預測時間序列發展趨勢的模型。ARIMA 模型在ARMA 模型的基礎上進行差分計算，并使用數學模型來描述預測對象隨時間形成的數據序列。在確定模型后，可以根據時間序列的過去值和現在值預測未來值。其中AR為自回歸模型，p 為自回歸項，MA 為移動平均項，q 為移動平均項個數，d 為時間序列趨于平穩時所做的差分次數[11]。

ARIMA 模型與ARMA 模型的區別在于ARMA模型是針對平穩時間序列建立的模型，而ARIMA模型是針對非平穩時間序列建模。換句話說，非平穩時間序列要建立ARMA 模型，首先需要經過差分轉化為平穩時間序列，然后建立ARMA 模型。ARIMA模型要求序列是平穩的，檢驗序列是否平穩可以采用單位根檢驗，單位根檢驗的原假設為序列不平穩。一般情況下，p 值小于0.1，意味著在0.1 的水平上拒絕原假設，此時序列是平穩的。如果序列不平穩，可以在一階或二階差分后進行單位根檢驗，直到序列平穩為止。如果二階差分仍然不是平穩的，一般使用二階作為最終差分的階數。

對于非平穩序列，其方差和均值會在不同時間發生改變。對于非平穩序列，其不確定性較高，難以借助當前已知信息條件完成推測。從經濟宏觀層面看，其絕大部分經濟時間序列都屬于不穩定序列。如果能對這種不穩定序列進行方差運算，得到穩定的時間序列，就稱為平穩序列[12]。

設Xt是d 階的平穩序列，Xt～I（d），則wt=吟dXt=（1-B）dXt，Wt為平穩序列，即Wt～I（0），進而能夠針對Wt，構建ARMA（p，q）模型：

當ARIMA（p，d，q）模型中的d=0 時，即等于ARMA模型（p，q）。ARMA（p，q）模型一般用于原始數據不需要經過差分的建模分析，即平穩的時間序列分析。而經過差分的數據，大多數情況是借助ARIMA（p，d，q）模型來對其進行不平穩的時間序列分析。針對諸如經濟數據等數據序列而言大多屬于非穩定時間序列，因此本文采用ARIMA 模型對四川省GDP進行時間序列分析[13]。

三、實證分析

（一）數據來源及初步分析

本文通過查詢《四川省統計年鑒》，選取四川省1978—2022 年的國內生產總值數據，共45 個觀測值，如表1 所示。

表1 四川省1978—2022 年GDP 數據 （單位：億元）

運用Python 軟件繪制出時序圖，通過圖1 的折線圖可以看出，1978—2022 年間，四川省的國內生產總值大致呈無周期性的增長趨勢，并且在1992年以后，四川省GDP 的增長速度越來越快，分析原因可能是，隨著計劃經濟向市場經濟過渡，民營經濟逐漸成為四川省經濟的重要組成部分，從無到有，從小到大，由弱到強。21 世紀以來，市場經濟體制改革不斷深入，開始站穩腳跟，四川省民營經濟開始快速發展，總體規模迅速擴大。黨的十八大以來，在經濟進入新常態、高質量發展成為主題的背景下，四川省GDP 水平快速提升，在全國的排名逐步提升。

圖1 四川省GDP 時序圖

（二）數據平穩化處理

由圖1 可以看出，1978—2022 年間，四川省GDP呈指數式增長，具有明顯的非平穩性，為了更好地滿足平穩性需求，對四川省GDP 數據進行對數化處理，隨后進行單位根檢驗。由表2 可見，針對Ln_GDP（億元），該時間序列數據ADF 檢驗的t 統計量為-1.263，p 值為0.646，而1%、5%、10%臨界值分別為-3.593、-2.932、-2.604，此時p=0.646＞0.1，不能拒絕原假設，說明序列不平穩。接著對序列進行一階差分后再進行ADF 檢驗。一階差分后數據ADF 檢驗結果顯示p=0.020＜0.05，有高于95%的把握拒絕原假設，此時序列平穩，可確定模型的階數d=1。

（三）ARIMA（p，d，q）模型建立

模型的識別主要依靠分析自相關圖和偏自相關圖，利用軟件分別畫出自相關圖與偏自相關圖，觀察圖形的自相關系數的變化趨勢可以初步判斷p、q的取值。對四川省GDP 數據進行對數一階差分后的序列為平穩序列，因此可進行下一步的操作，即確定p 值和q 值。可以通過觀察自相關圖（ACF）（見圖2）和偏自相關圖（PACF）（見圖3）來選取自回歸階數p 和移動平均階數q 的值。如果ACF 圖在q 階處截尾同時PACF 圖不截尾，此時ARIMA 模型可簡化為MA（q）；如果PACF 圖在p 階處截尾且ACF 圖不截尾，這時候ARIMA 模型就可以簡化為AR（p）；如果ACF 圖和PACF 圖都顯著不截尾，就需要選擇合適的ARIMA 階數，ACF 圖中最顯著的階數可以選擇為q 值，PACF 圖中最顯著的階數可以選擇為p值；如果ACF 和PACF 都顯示為截尾，表明數據為白噪聲，ARMA 模型不適用。由圖2 的自相關函數圖和圖3 的偏自相關函數圖可以得出，自相關函數圖呈拖尾現象，偏自相關函數圖的峰值出現了滯后二階截尾現象。接著通過模型參數檢驗，其AIC 值為-140.511，說明模型擬合較好，模型ARMA（2，0）的平穩性檢驗通過，因此確定p=2、q=0，即四川省GDP 時間序列模型為ARIMA（2，1，0）。

圖2 自相關圖（ACF）

（四）殘差白噪聲檢驗

得到估計的模型之后，為確定該模型是否完全反映了序列中有價值的信息，是否是有效的，需要對模型的殘差序列進行白噪聲檢驗。ARIMA 模型要求模型殘差為白噪聲，即殘差中不存在自相關性，可以通過Q 統計量檢驗進行白噪聲檢驗；例如，用Q6 來檢驗殘差的前六階自相關系數是否滿足白噪聲，通常Q6 對應p 值大于0.1，則說明滿足白噪聲檢驗，反之則說明不是白噪聲，一般情況下可直接針對Q6 進行分析即可；如果拒絕白噪聲假定（p＜0.05），意味著模型擬合不佳，反之通常意味著模型可正常使用。根據表3 中的Q 統計量可知，Q6 的p值大于0.1，則在0.1 的顯著性水平下不能拒絕原假設，模型的殘差為白噪聲，說明序列中幾乎所有有用信息都被此模型提取反映出來，擬合的ARIMA（2，1，0）模型可以作為理想的預測模型，因此模型基本滿足要求。

表3 模型Q 統計量

（五）模型預測

為了對模型ARIMA（2，1，0）的正確性進行一定程度的檢驗，需要利用上述建模步驟建立的ARIMA（2，1，0）模型對四川省的GDP 進行預測，將預測結果和四川省GDP 的實際值進行對比并利用作圖軟件畫出趨勢圖。現用前33 個數據即1978—2010 年的GDP 數據來預測四川省2011—2022 年GDP，用其檢驗擬合效果，將四川省2011—2022 年GDP 預測值與真實值進行比較，并繪制出圖4 的真實值與預測值折線對比趨勢圖，不難看出，預測的四川省GDP 值基本上與其真實值處于同一位置上，說明該模型具有較好的擬合效果，誤差比較小，表明所構建的ARIMA（2，1，0）模型對該數據的預測值具有一定的可信度。

圖4 四川省GDP 真實值與預測值比較圖

因此，可以利用該模型進一步對四川省2023—2027 年未來五年的GDP 進行預測，預測值如表4所示。由此可見，“十四五”期間四川省GDP 仍保持較高增速，2023 年四川省GDP 將達到61 334.47 億元，同比增長8.1%。2022 年12 月15 日，習近平總書記在中央經濟工作會議上也指出，當前經濟工作要著力擴大國內需求、加快建設現代化產業體系、切實落實“兩個毫不動搖”、更大力度吸引和利用外資，這些都對經濟的發展有很大的促進作用，四川省一定會在經濟發展的浪潮中抓住機遇，不斷提高發展質量，促進GDP 的增長。預計到2025 年即“十四五”的收官之年，四川省的GDP 將接近七萬億元大關，繼續實現穩步增長。

表4 四川省2023—2027 年GDP 預測值 （單位：億元）

四、結論及建議

（一）結論

本文使用四川省1978—2022 年的GDP 數據進行時間序列分析，利用Python 軟件畫出四川省GDP的時序圖，可以看出四川省GDP 呈指數式增長，對取對數后的時間序列數據進行單位根檢驗，檢驗結果為對數一階差分后達到序列平穩。接下來通過自相關圖和偏自相關圖判斷模型的p、q 取值，構建了ARIMA（2，1，0）模型。通過比較四川省2011—2022年GDP 的預測值與真實值，發現預測的四川省GDP值基本上與實際值處于同一位置上，說明該模型具有較好的擬合效果，誤差比較小，表明所構建的ARIMA（2，1，0）模型對該數據的預測值具有一定的可信度。在此基礎上，利用該模型進一步對四川省2023—2027 年未來五年的GDP 進行預測，分別為61 334.47億元、64 781.56 億元、69 064.03 億元、72 802.48 億元、76 960.68 億元。其中，2023 年四川省GDP 將達到61 334.47 億元，同比增長8.1%，經濟將進入一個全面復蘇的新階段，政策方針的推動也會對經濟發展產生很大的促進作用。預計到2025 年即“十四五”的收官之年，四川省的GDP 將接近七萬億大關，從數據上看，四川省GDP 繼續保持高增長態勢，可為政府的經濟決策提供一定的參考。

（二）建議

基于前文研究，為進一步促進四川省GDP 增長，本文提出以下建議：

一是明確重點發展產業。實施主體功能區規劃，發展壯大五個萬億級支柱產業，包括電子信息、食品飲料、裝備制造、能源化工、先進材料，重點培育新能源汽車、軌道交通、動力及儲能、電池等核心產業；重點打造四大世界級產業集群，培育集成電路、信息安全、新型顯示等國內領先產業集群；支持核能裝備及核技術應用、航空成套器械、航空發動機等優勢領域；優先發展糧油、肉類食品、紡織服裝、中藥材、茶葉等千億級產業等。

二是明確重點發展區域。在有限的投資和高負債的情況下，全面建設是不可能的，必須為發展選擇關鍵領域。從四川省經濟現狀出發，必須在突出成都這個“干”的基礎上，將自貢、內江、宜賓建設成貢江宜經濟區，南充、廣安、遂寧建設為南遂廣經濟區，組成“兩支”，從而實現“一干兩支”的發展模式。貢江宜經濟區主要發展電子信息、機械和材料、醫藥化工等產業，而南遂廣經濟區主要發展紡織、食品加工、特色產業等，成都、綿陽、德陽主要發展電子信息、軟件和互聯網、金融、旅游業等產業。

三是注重統籌，協調發展。全面審查和規劃應從整個省份甚至西南部的總體高度進行。例如，四川省旅游業發展良好，但與貴州省等其他地方相比，其速度仍然太慢，貴州的游客人數和旅游收入與四川差不多。四川省應協調四川西部和北部自然旅游資源，打造以成都-江油-劍門關-閬中-廣元-漢中為一線的歷史旅游資源，發展成都和廣元兩個旅游節點，使四川省旅游業進一步發展。

四是軍民融合。在三線建設中，四川省遷入了一大批軍工企業。軍用企業和民用企業融合是四川產業發展的思考點，如果融合得好，將能夠帶動企業和產品的進一步發展。四川省在航空航天、人工智能、軌道交通、無人機等方面的發展已經取得了一定成果，行業已有很好的基礎，政府應該進一步探索軍民融合發展的道路，消除障礙。