設計“一題一課”　促進中考復習

費云標

［摘? 要］ 文章以2020年南京中考數學第26題為基礎，設計“一題一課”的中考復習課，幫助學生形成解析幾何的思考路徑，積累解題經驗，提升解題能力.

［關鍵詞］ 一題一課；中考；復習課

案例的背景

本節課源于筆者參加的區內的一次教學案例設計比賽，現基于“一題一課”模式設計成中考復習課，促進自身的專業成長. 本節課的教學關鍵是添加輔助線來構造相似三角形.

學生在“九下”已經學習了相似三角形的概念、性質、判定和簡單應用，以及圖形的平移、對稱、旋轉等變化. 本年級組的學生已經掌握了相關的基礎知識與基本圖形，但對相似三角形的綜合運用還相對薄弱，自主建構模型的能力不強. 因此，通過學生熟悉的教材習題作為前測喚醒其基本知識、基本技能、基本解題經驗，以2020年南京數學中考第26題為例引發學生再思考相似三角形的性質與判定，讓學生親歷解題過程，找到題眼與關鍵，暴露思維，及時反思，積累解題經驗，提升解題能力. 通過設計問題串促進學生深度學習，反思解題路徑，優化解題思維.

教學過程

環節1：回歸教材，先行組織

前測? 如圖1所示，在△ABC和△A′B′C′中，CD，C′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，==，求證：△ABC∽△A′B′C′.

師生活動：學生課前獨立完成證明，教師利用投影儀投影糾錯，引領學生回顧相似三角形的性質與判定.

生1：由==可得△ADC∽△A′D′C′，則∠A=∠A′，∠ACD=∠A′C′D′. 由角平分線的定義可得∠ACB=∠A′C′B′，最后得到△ABC∽△A′B′C′.

設計意圖? 一是簡單回顧相似三角形的性質與判定，二是回顧利用“子三角形”相似推出“母三角形”相似的方法，為接下來的學習奠定基礎.

環節2：真題呈現，探尋路徑

問題1? 如圖2所示，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分別是AB，A′B′上一點，=.當==時，求證：△ABC∽△A′B′C′.

師生活動：教師借助多媒體展示問題1，學生先獨立解題，再展示解法. 教師利用框圖引導學生整理證明思路.

生2：我發現條件之間有聯系，先將=變形為=，再結合條件==，可得===，從而推出△ADC∽△A′D′C′，得到∠A=∠A′，最后根據“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”得△ABC∽△A′B′C′.

設計意圖? 學生親歷解題過程，回顧比例的性質、相似三角形的性質與判定.

追問1? 請你利用框圖（見圖3）來梳理你的證明思路.

師生活動：學生閱讀框圖并填寫框圖，整理思路后由教師點評.

生3：我填寫的是“==”和“∠A=∠A′”. 我是利用逆向思維的方式從△ABC∽△A′B′C′去推導的，只要找到能夠串聯信息的“橋梁”就可以了.

設計意圖? 學生填寫框圖這一過程體現了分析與綜合思維方式，為下一題的解答思路提供了活動經驗.

追問2? 回顧解題過程，說一說如何分析本題.

師：分析問題可以從條件出發，也可以從結論出發，找到中間結論，再找到兩者間的橋梁. 我們發現本題中兩者間的橋梁就是“子三角形”相似.

設計意圖? 回顧此題的解答思路，即尋找“子三角形”相似，也為下一題的解答思路奠定了基礎.

環節3：變式探究，素養提升

問題2? 如圖4所示，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分別是AB，A′B′上一點，=. 若==，請判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.

師生活動：教師借助多媒體展示題目，學生先自主探究，大膽猜想△ABC與△A′B′C′相似. 針對學生的猜想，教師提出問題：如何證明這兩個三角形相似？沿用問題1的解答經驗與方法，學生分析易證的結論（=，=，=，==），同時聯想須知的條件（∠ACB=∠A′C′B′或==）. 但由于學生無法直接證明△ABC與△A′B′C′相似，因此教師繼續問道：能夠證明圖中的“子三角形”相似嗎？學生依然無法直接證明△ACD與△A′C′D′、△BCD與△B′C′D′相似，于是教師通過追問引導學生強化條件來解題.

設計意圖? 綜合分析已知、易證和須知的條件，大膽嘗試方案，再小心求證，明確解題方向.

追問1? 為聯通已知條件=與==，你打算怎么做？

師生活動：學生自主探索，先畫一畫，再進行小組交流，展示輔助線.? 教師引導學生思考畫輔助線的依據. 學生從線段成比例聯想作輔助線，或從相似的基本圖形聯想作輔助線，如有學生作平行線構造A型相似或X型相似，還有學生構造其他類型（如作高、角平分線或中線）. 教師單獨指導，讓學生試一試證明；巡視指導，讓學生選擇一種有利于聯通已知條件=與==的方法，并展示相應的構造輔助線的方案，然后挑選其中一種進一步探究.

設計意圖? 學生先獨立作圖，然后小組討論其合理性. 從數與圖兩個角度出發，教師組織學生思考作圖依據，再選擇方案展示邏輯推理. 既聚焦生成，也貼合學情，更促進學生深度學習，有效突破難點.

生4（A組代表）：如圖5所示，過D作DE∥BC交AC于E，過D′作D′E′∥B′C′交A′C′于E′.

追問2? 你還能得到什么結論？

師生活動：學生獨立思考，猜想△CDE與△C′D′E′相似. 教師追問：如何判定它們相似？如何證明==？通過追問，學生得到結論：====. 教師肯定結論后繼續問道：你還能得到什么？學生繼續探究得到=====. 教師又追問：你如何證明==？還有其他推導方法嗎？學生分享解法，投影展示. 教師指出：既可以用比例的性質（合比性質、分比性質、等比性質）來解決，還可以設線段的長度（比如設k）直接證明，，的值相等來解決.

設計意圖? 學生通過已知推可知的過程，就是優化方案的過程. 此題的價值在于不僅幫助學生找到了證明三角形相似的條件，還展示了線段成比例的證明方法，有效突破了本節課的難點.

追問3? 現在可以證明△ABC與△A′B′C相似嗎？請你完成證明過程.

師生活動：學生完成證明過程，并互助點評，明確幾何證明書寫規范.

設計意圖? 通過展示證明過程，提出證明規范要求，提高學生的解題規范意識.

追問4? 還有不同的解法嗎？簡要說明證明思路. 請你對這些解法作點評.

師生活動：小組交流，擴充解法. 學生講解，同伴點評，優化思考.

設計意圖? 通過相似的基本圖形來作輔助線，形式多樣，輔助線的作用相同. 說明證明思路，有利于學生了解此類題目的解法實質就是尋找“子三角形”相似，積累學生的解題經驗，提高學生的解題能力.

追問5? 回顧以上解決問題的過程，你能說一說解決較復雜的幾何證明題的思考路徑嗎？

思考路徑如圖6所示.

設計意圖? 教師整理學生的發言，引領學生總結梳理，形成幾何證明題一般的解決套路，幫助學生養成系統整理知識的習慣，提升學生的解題能力，發展學生的核心素養.

環節4：回顧小結，布置作業

回顧小結：請你回顧一下本節課的學習過程，談一談你的學習感想.

師生活動：教師帶領學生回顧學習過程，提煉總結. 學生回顧基礎知識：平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質，相似的基本圖形；回顧輔助線的作法：綜合分析已知、可知、須知、未知，結合基本圖形作輔助線；還回顧線段成比例的證明方法：比例的性質，設線段的長度（設k）. 積累較復雜的幾何問題的解決經驗：從條件出發，從結論出發，從強化條件出發，從合情推理出發，等等.

設計意圖? 通過開放式問題，讓每一個學生能說出自己的收獲，引導學生從基本知識、基本技能、基本解題經驗、基本思想方法等不同方面對本節課進行反思、梳理，有助于學生積累相關數學問題的解決經驗.

布置作業：

題1：如圖7所示，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分別是AB，A′B′上一點，=.若==，求證：△ABC∽△A′B′C′.

設計意圖? 考查相似三角形的判定與性質，利用“子三角形”相似推出“母三角形”相似.

題2：如圖8所示，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分別是AB，A′B′上一點，=.當=，∠A=∠A′時，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似. 若相似，請說明理由；若不相似，請畫出反例圖形.

設計意圖? 考查相似三角形的判定與性質，并結合作圖來舉反例.

對教學設計的反思

本節課以2020年南京中考數學第26題為基礎，設計成“一題一課”的課型；通過教材溯源，再變式探究，完成解題教學. 從而幫助學生形成解決相似證明題的思考路徑，積累解題經驗，提升解題能力.

1. 選取有價值的問題，讓教學更高效

選取有價值的問題是“一題一課”習題教學的關鍵. 教師應當基于課程標準，把握學情、教材與中考，選擇學生遇到的典型習題或測試題作為“一題一課”的主要問題素材，再設計一系列的問題生長為一節課. 本節課選擇的是2020年南京中考數學第26題. 首先從知識層面來看，本題考查的是比例的性質、相似三角形的性質與判定等知識. 其次從能力層面來看，本題考查學生的邏輯推理、代數推理、幾何直觀等綜合能力. 再次從數學思想方法來看，構造輔助線的方法，可以從“數”（比例）的角度來研究“形”（形狀、大小），聯想到作平行線，構造相似的基本圖形（A型或X型相似），體現了數形結合思想. 最后從解法策略來看，問題1以框圖的形式表達對證明路徑的思考，呈現方式簡潔明了，思維可見；問題2的輔助線的作法多樣，如A型相似、X型相似，同一作法不同角度求解（一題多解），以提升學生的幾何推理能力，發展學生的核心素養.

2. 關注教學生成，讓教學更時效

布魯納認為，學習知識的最佳方式是發現學習. 發現學習指學生利用教材或教學資源自己獨立思考，自主發現知識，掌握原理和規律的過程. 在本節課中，筆者始終關注學生的學習心理，比如，前測習題選自教材，讓學生先完成，互相糾錯，從而發現問題、鋪墊思路. 又如，在問題1的探究環節中，筆者給予學生足夠的時間去交流，讓學生的思維充分碰撞，使其獲得一般的證明方法. 再如，在問題2的探究過程中，筆者通過開放式問題的設計，讓學生優化思考，搭建中介條件，最后指向輔助線求解. 不僅給予學生再發現的機會，還激發學生挑戰自己的勇氣，在試錯的過程中加深學生對新知識的理解與內化.

3. 關注深度學習，讓教學更高效

深度學習不僅體現在思考的深度上，還體現在思考的廣度上. 筆者認為，淺層思考多個問題不如深度思考一個問題. 在本節課中，筆者踐行著深度學習的流程及標準，比如，在問題2的探究過程中，筆者提出了一連串問題：如何證明這兩個三角形相似？能夠證明圖中的“子三角形”相似嗎？如何聯通已知條件=與==？你打算如何作輔助線？層層追問指向運用輔助線構造“子三角形”相似，為學生歸納相似證明題的基本解決思路做準備. 當學生解決完此題后，又追問道：還有不同的解法嗎？簡要說明證明思路. 請你對這些解法作點評. 從而讓學生弄清運用“子相似”證明“母相似”的思路，有利于培養學生的遷移能力與思考廣度. 再如，作業題2是變式訓練，讓學生涉獵此類問題，有助于開拓學生的視野，發展學生的幾何想象能力.

結束語

在數學課堂上，教師應讓學生真正有效地經歷認知過程，讓他們感受到數學是有活力的，其充滿著有趣的問題和新的思考方式，以激發學生學習更多東西的欲望，更好地培養他們的數學學習能力，使他們慢慢養成一種積極的學習習慣. 一旦學生具備了這樣的主動性，他們的數學素養就能切實提高.

每一個學生都有獲得數學素養的需求與能力，開始時的表達效果可能還不是最終的素養體現，但是筆者相信，數學教學的主要目的是培養學生的數學思考能力，并幫助其轉換成數學核心素養，從教師靈巧的教學設計開始，讓數學素養落地生根.