分步突破解函數，數形分析破交點

張燕　閻靖崢

［摘? 要］ 函數交點是初中數學研究的重點，該類問題往往立足函數的基礎知識，融方程、不等式、圖象等知識內容. 探究問題時，研究者要理清函數圖象位置關系、交點、方程解之間的關聯，采用數形結合的分析方法. 文章結合一道函數綜合題，開展問題探究，并反思解法，提出相應的教學建議.

［關鍵詞］ 函數；交點；位置關系；不等式；數形結合

函數交點問題是初中數學常見的問題類型，主要研究兩函數的位置關系，具體問題中體現在交點坐標和交點個數上，構建形式涉及簡單的兩直線相交、復雜的直線與拋物線相交. 求交點坐標最為常見的方法是聯立方程得到方程組. 而兩函數的交點個數有多種情形，包括0個、1個、2個等. 對于拋物線與直線的相交問題，常采用根的判別式來判斷交點個數. 但在實際考查時，函數的解析式中往往含有參數，試題綜合性較強，所以此時需要立足根本方法，采用數形結合的方式來進行探究.

試題呈現

試題 在平面直角坐標系中，拋物線y1=-（x+4）（x-n）與x軸相交于點A和點B（n，0） （n≥-4），頂點坐標記為（h1，k1）. 拋物線y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的頂點坐標記為（h2，k2），請回答下列問題.

（1）寫出點A的坐標；

（2）求k1，k2的值（用含有n的代數式表示）；

（3）當-4≤n≤4時，探究k1和k2的大小關系；

（4）經過點M（2n+9，-5n2）和點N（2n，9-5n2）的直線與拋物線y1= -（x+4）（x-n），y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的公共點恰好為3個不同點時，求n的值.

分析 此題為函數綜合題，主要研究拋物線、直線之間的位置關系，最顯著的特點是函數的解析式中含有參數，故此題本質上屬于動態函數問題. 探究試題時，我們需要關注參數取值對函數圖象的影響. 具體分析時，我們要把握函數交點坐標，利用交點將問題轉化為具體的代數問題.

<D：＼數學教學通訊中旬＼2023數學教學通訊中旬（08期）＼2023數學教學通訊中旬（08期） c＼aa-1.jpg> 分步探究

試題共4個小問，每一問均含有一定的條件，所以我們要結合對應信息具體分析. 下面采用分步突破的策略來進行探究.

1. 第一步：解析式分析，坐標巧推演

第（1）問求點A的坐標，點A為拋物線與x軸的交點，則只需要令y=0，求出x即可. 已知拋物線的解析式為y1=-（x+4）（x-n），所以可直接確定點A的坐標為（-4，0）.

2. 第二步：變形與聯立，縱坐標值推導

第（2）問求參數k1，k2的值，其中k1是拋物線y1的頂點縱坐標，k2是拋物線y2的頂點縱坐標. 求拋物線頂點縱坐標的方法有兩種：一是采用變形為頂點式的方法，即把拋物線的解析式變形為頂點式；二是采用定對稱軸，相交聯系的方法，即首先確定拋物線的對稱軸所在的直線，再聯立直線與拋物線的解析式.

拋物線y1的解析式為y1=-（x+4）·（x-n），用配方法轉化為頂點式較為復雜，可以采用上述方法二. 已知拋物線y1與x軸的兩交點分別為A（-4，0）和B（n，0），則拋物線y1的對稱軸為直線x=-2+，對稱軸直線與拋物線y1的解析式聯立后，可解得k1=. 拋物線y2的解析式為y2=-（x+2n）2-n2+2n+9，此解析式已為頂點式，由方法一可直接確定k2=-n2+2n+9.

3. 第三步：代數方法解析，參數大小探究

第（3）問是建立在第（2）問的基礎之上的，求解的問題是：當-4≤n≤4時，探究k1和k2的大小關系. 常規方法是“作差+分析”，即首先對兩參數作差，然后基于不同情形來構建不等式，通過解不等式來確定結果.

對k1和k2作差，即k1-k2=n2-5（其中-4≤n≤4）. 分三種情形進行討論：①當k1-k2>0時，可得n2>4，解得n>2或n<-2，所以當-4≤n<-2或2<n≤4時，k1>k2；②當k1-k2<0時，可解得-2<n<2，所以當-2<n<2時，k1<k2；③當k1-k2=0時，可解得n=2或n=-2，所以當n=2或n=-2時，k1=k2 .

另解：對于上述參數值的大小比較，還可以采用函數圖象法，即通過分析函數圖象來加以確定，過程如下.

已知 k1=，k2=-n2+2n+9，比較k1和k2的大小，可通過分析函數圖象的位置關系來確定，即分別將k1和k2關于n的二次函數圖象作出，通過圖象來直觀反映n的取值.

結合函數解析式可繪制如圖1所示的圖象，令=-n2+2n+9，可解得n=±2，即圖中兩曲線的交點橫坐標分別為-2和2. 結合-4≤n≤4可將曲線分為五段，對應五種情形：①當-4≤n<-2時，k1>k2；②當n=-2時，k1=k2；③當-2<n<2時，k1<k2；④當n=2時；k1=k2；⑤當2<n≤4時，k1>k2.

4. 第四步：數形結合分析

第（4）問是關于直線與拋物線的交點個數問題，并且新增的條件為坐標中含有參數的點，且直線與兩拋物線共有3個不同的交點. 分析問題時，我們需要先確定直線的解析式，然后采用數形結合、分類討論的策略來加以確認.

已知直線經過點M（2n+9，-5n2）和點N（2n，9-5n2），可設直線的解析式為y=kx+b，由待定系數法可得y= -x-5n2+2n+9，又知y1=-（x+4）（x-n），y2=-（x+2n）2-n2+2n+9，分析可知直線MN與拋物線y2經過y軸上的同一點，即（0，-5n2+2n+9）.

聯立直線MN與拋物線y2的解析式，可得x2+（4n-1）x=0，解得x1=0，x2=1-4n. 若直線MN與拋物線y2有唯一的公共點，則其橫坐標為0，可得1-4n=0，解得n=，此時直線MN與拋物線y1的解析式可求，但聯立它們后所得的方程無實數根，不符合題意.

根據上述分析可知直線MN與拋物線y2始終有兩個公共點，現在需要討論拋物線y1是否經過點（0，-5n2+2n+9）.

若拋物線y1經過點（0，-5n2+2n+9），有-5n2+2n+9=4n，解得n=，聯立直線MN與拋物線y1的解析式，其判別式為Δ=21n2+2n-27，若判別式為0，所得的n值與上述不符，故當拋物線y1經過點（0，-5n2+2n+9）時，拋物線y1與直線MN有兩個公共點，此時符合題意的n有兩個值，為n=，直線與拋物線的圖象關系如圖2所示（其中一種情況）.

若拋物線y1不經過點（0，-5n2+2n+9），則拋物線y1必然與直線MN只有一個公共點，圖象關系大致如圖3和圖4所示兩種情形.

聯立直線MN與拋物線y1的解析式，令其判別式為0，即Δ=21n2+2n-27=0，可解得n=.

綜上所述，經驗證，當n≥-4時，滿足直線MN與兩拋物線有3個不同公共點條件的n的值有4個，分別為，，，.

<D：＼數學教學通訊中旬＼2023數學教學通訊中旬（08期）＼2023數學教學通訊中旬（08期） c＼aa-1.jpg> 解后反思

上述對一道函數綜合題進行了解法探究，試題共4個小問，難度存在一定的梯度，主要探究直線、拋物線之間的關系. 試題的前兩問主要考查函數的基礎知識，后兩問則從知識綜合角度考查函數，同時后兩問的解法思路具有一定的參考價值，下面深入反思.

1. 關于第（3）問的解法反思

該問探究n的取值范圍下k1和k2的大小關系. 上面呈現了兩種解法，分別從不等式和函數圖象視角進行了突破，其中不等式法的“代數屬性”明顯，側重將問題轉化為不等式問題，不等式法的核心是代數作差運算，變形簡化；而函數圖象法的“幾何屬性”明顯，側重將問題轉化為函數問題，利用函數圖象的性質來解題，函數圖象的位置關系與函數值的大小關系是此解法的核心所在.

2. 關于第（4）問的解法反思

該問探究直線與拋物線公共點的個數，為試題的壓軸之問，其中直線MN與拋物線y2的公共點是問題的突破口. 分類討論是求解該問的思路基礎，圍繞公共點可分三層進行討論：第一層，確定直線MN與拋物線y2始終有公共點（0，-5n2+2n+9）；第二層，討論拋物線y1是否經過點（0，-5n2+2n+9）；第三層，深入討論點（0，-5n2+2n+9）是否為直線與拋物線y2的唯一公共點. 該問的邏輯性極強，深刻理解直線與拋物線的位置關系，掌握交點與圖象關系的情形是解題的關鍵.

教學建議

從上述問題探究與解法反思來看，函數交點問題的教學需要關注兩點：一是關注函數與方程的關系，掌握直線與曲線交點的探索方法；二是關注數形結合的解析方法.

1. 關注函數與方程，透視交點關系

函數綜合是初中數學探究的重點，該類問題的綜合性較強，常將函數、不等式、方程等知識融合在一起. 教學時教師要引導學生掌握拋物線與直線交點的探究方法，即聯立方程，利用判別式來判斷交點數量. 而對于涉及直線、拋物線等多類函數圖象的交點探究，要注意理清其中的關系，關注交點與圖象位置的關系. 如直線始終位于拋物線的上方，為相離關系，此時拋物線必然開口向下；又如上述問題中如果直線與一條拋物線為相離關系，則不同交點個數不可能為3. 教學中，教師要引導學生關注直線與曲線的交點、直線與曲線的位置關系與方程解個數之間的關聯，深刻理解其中的邏輯關系.

2. 關注數形結合，突破圖象分析

數形結合是解決函數綜合題的重要方法，尤其在解析直線、拋物線之間的位置關系中有著廣泛的應用. 教學中，教師要引導學生把握方法的思想精髓，掌握數形結合的解析技巧，即由“數”塑“形”，以“形”釋“數”. 以上述最后一問為例，即根據函數的解析式來繪制草圖，通過分析直線與曲線的交點和位置關系來輔助分析，并進一步完善圖象. 同時教學中，教師要指導學生學習草圖作法，尤其是拋物線的特征畫法，即確定拋物線的頂點坐標、開口方向、與坐標軸的交點.