例談重建平面直角坐標(biāo)系巧解一類二次函數(shù)綜合題

［摘? 要］ 以二次函數(shù)為背景，融平面幾何、三角函數(shù)等核心知識、核心方法于一體的綜合題，是中考或其他大型聯(lián)考的必考題型，有很強的區(qū)分度. 縱觀歷年來學(xué)生的答題情況，他們往往在運算上出現(xiàn)障礙. 學(xué)生想不到重建平面直角坐標(biāo)系來簡化二次函數(shù)表達(dá)式，以削減計算量.

［關(guān)鍵詞］ 二次函數(shù)；重建平面直角坐標(biāo)系；簡化

在每年的中考復(fù)習(xí)或中考中，都會出現(xiàn)以二次函數(shù)為背景的原創(chuàng)綜合題. 有這么一類二次函數(shù)綜合題，要么是解題思路雖很清晰，但因運算量大、技巧性強，難倒了一大批學(xué)生；要么是解題思路隱蔽，思路受阻，又難倒了一大批學(xué)生. 對于這類綜合題，有無良好的應(yīng)對之策？下面舉例說明.

例題1 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（-3，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為D，拋物線的對稱軸與x軸的交點為E.

（1）求拋物線的解析式及點E的坐標(biāo)；

（2）略；

（3）若過點E的直線與拋物線交于M，N兩點，連接DM，DN，判斷DM與DN的位置關(guān)系并說明理由.

原解析 （1）易得拋物線的解析式為y=-x2-4x-3，E（-2，0）.

（2）略.

（3）此問的解決思路多樣且清晰，如：①運用勾股定理的逆定理，即由DM 2+DN 2=MN 2，推得DM⊥DN；②運用直線DM與直線DN的斜率乘積為-1推得DM⊥DN；③運用（圖1中的）△MFD∽△DGN，證得∠FMD=∠NDG，從而推得DM⊥DN. 但無論采用哪種方法均需設(shè)出直線MN的解析式y(tǒng)=kx+2k，及M（x，y），N（x，y）. 不妨采用方法②，根據(jù)題意，令-x2-4x-3=kx+2k，即x2+（k+4）x+2k+3=0，所以x+x=-k-4，x·x=2k+3. 所以k·k=·===

==-1.所以DM⊥DN.

原解析的剖析及新解析的設(shè)想：以上求解第（3）問的方法很常規(guī)，但對數(shù)式運算的要求很高，只有具備一定運算能力的學(xué)生才能完成. 這道題煩瑣在何處？筆者認(rèn)為煩瑣在二次函數(shù)解析式是二次三項式. 那能否將二次三項式化為二次一項式？可以！重新建立平面直角坐標(biāo)系即可. 以拋物線的頂點D為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系x′Dy′，于是可得在新平面直角坐標(biāo)系下拋物線的解析式為y=-x2. 而且容易看出，在新的平面直角坐標(biāo)系中，原圖形的形狀、圖形中的相對位置和數(shù)量關(guān)系均未改變，改變的僅僅是各條直線及拋物線的解析式. 所以第（3）問可以化歸到新的平面直角坐標(biāo)系中來加以解決.

第（3）問的新解析? 以拋物線的頂點D為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系x′Dy′. 于是可得在新平面直角坐標(biāo)系下拋物線的解析式為y=-x2，直線MN的解析式為y=kx-1. 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），令-x2=kx-1，即x2+kx-1=0，所以x+x=-k，x·x=-1. 所以k·k=·====-1. 所以DM⊥DN.

例題1中的新解法簡捷明了，這不禁讓筆者回想起多年前的一道題.

例題2 （江蘇如皋一模）如圖3所示，拋物線y=x2+bx+c的頂點為M，對稱軸是直線x=1，與x軸的交點為A（-3，0） ，B兩點. 將拋物線y=x2+bx+c繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，M，A兩點分別為M，A兩點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C，D兩點.

（1）寫出點B的坐標(biāo)及拋物線的解析式.

（2）略.

（3）設(shè)P是旋轉(zhuǎn)后拋物線上DM之間的一動點，是否存在一點P，使四邊形PMMD的面積最大？如果存在，請求出四邊形PMMD面積的最大值；如果不存在，請說明理由.

原解析 （1）易求得B（5，0），拋物線的解析式為y=x2-x-.

（2）略.

（3）此問太新穎了，在平時的教學(xué)和練習(xí)中，學(xué)生只研究過拋物線開口向上或向下的情況，開口向左或向右的拋物線他們沒研究過. 對于此問，能做出正確答案的學(xué)生太少了，教師們的做法也大多是將其轉(zhuǎn)化到開口向上的拋物線上去研究. 全市統(tǒng)一閱卷時，所給的參考答案也是上述方法，詳述如下.

如圖3所示，連接MD，因為S是定值，所以要使四邊形PMMD的面積最大，只需要S最大. 將△PDM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，則點M與點M重合. 設(shè)旋轉(zhuǎn)后點P與點Q是對應(yīng)點，點D與點F是對應(yīng)點. 因為Q，F(xiàn)兩點都在拋物線y=x2-x-上，所以點F的坐標(biāo)為（-5，5）. 設(shè)點Q的坐標(biāo)為n，

n+= -（n+2）2+. 所以當(dāng)n=-2時，S取得最大值=. 因為點M的坐標(biāo)為（1，-4），點M的坐標(biāo)為（9，-4），點D的坐標(biāo)為（0，-10），所以S=×6×8=24. 所以四邊形PMMD的最大面積為24+=. 所以存在點P使四邊形PMMD的面積最大，且最大面積為.

原解析的剖析及新解析的設(shè)想：以上求解第（3）問的方法體現(xiàn)了還原的轉(zhuǎn)化思想，而且對“求點D的對應(yīng)點F的坐標(biāo)”要求也較高. 在新的問題背景中，很少有學(xué)生想到還原、轉(zhuǎn)化. 有無簡捷之法？有！筆者注意到旋轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的形狀相同，為了便于寫出旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式，我們不妨以M為原點，以旋轉(zhuǎn)后拋物線的對稱軸為y軸建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系x′My′，此時，旋轉(zhuǎn)后的拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系下的解析式為y=x2，而且在新的平面直角坐標(biāo)系下，原圖形的形狀、圖形中的相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系均保持不變，改變的僅是直線或拋物線的解析式. 于是第（3）問可以化歸到新的平面直角坐標(biāo)系中來加以解決.

（3）問的新解析? 以M為原點，以直線MM為y軸建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系x′My′. 為了研究問題的方便，可抽出基本圖形如圖5所示. 在新的平面直角坐標(biāo)系x′My′下，拋物線的解析式為y=x2，直線CD的解析式為y=9，所以D（-6，9）. 所以直線DM的解析式為y=-x. 過點P作y′軸的平行線交直線DM于點Q， 設(shè)Pp，

p-p2= -（p+3）2+（-6<p<0）. 所以當(dāng)p=-3時，S有最大值. 又因為S=×6×8=24，所以四邊形PMMD的面積有最大值，且最大值為24+=.

上兩例的新解析凸顯了重新建立平面直角坐標(biāo)系的普適性和簡捷性.

（1）以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立新的平面直角坐標(biāo)系并不影響原來的圖形形狀、圖形中的相對數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系——這是重新建立平面直角坐標(biāo)系的普適性.

（2）在新的平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的解析式一般是以形如y=ax2（a≠0）的形式參與運算，大大降低了運算量——這是重新建立平面直角坐標(biāo)系后解決問題的簡捷性.

在與同行們進行研討時，筆者發(fā)現(xiàn)教師們在遇到復(fù)雜的二次函數(shù)解析式參與運算或?qū)佄锞€繞某點旋轉(zhuǎn)一定角度后不知解析式時，他們很少想到重新建立平面直角坐標(biāo)系. 另外，筆者上網(wǎng)搜索有關(guān)重新建立平面直角坐標(biāo)系的文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)這樣的文獻(xiàn)也很少. 基于此，筆者將平時教學(xué)中的點滴心得，流于筆端，撰寫成文，以期對大家有一定的借鑒作用，不當(dāng)之處，敬請指正！

作者簡介：李霞（1976—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲如皋市優(yōu)秀教育工作者稱號.