正交于頂,隱含定點
——基于一道教材習題的探究與拓展

江蘇省蘇州張家港市張家港高級中學 黃 軼

數學家波利亞曾說:“一個認真備課的教師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目,去幫助學生發展問題的各個方面,使得通過這道題,就好像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領域.”[1]特別地,教材中的一些典型的例題或習題,其背景深刻,知識豐富,典型性高,拓展性強,蘊含豐富的數學思想方法,如果有針對性地加以利用,有思想性地引導,有方向性地探究,有思維性地拓展,則可以全面提升學生的數學品質,提高數學能力,培養數學核心素養[2].

1 源于教材

例題〔人教版《數學》(選擇性必修第一冊)3.3拋物線第138頁第6題〕如圖1,直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,求證:OA⊥OB.

圖1

設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=-4.

故OA⊥OB.

反思:根據拋物線關于對稱軸的對稱性,將上述例題中的直線“y=x-2”替換成直線“y=2-x”(兩直線的圖象關于x軸對稱),同樣可得結論OA⊥OB.而直線y=x-2與直線y=2-x有公共點(2,0),結合拋物線y2=2x可知2p=2,那么直線y=x-2過點(2,0)與OA⊥OB之間是否存在某種特殊的聯系呢?

2 類比拓展

以上問題的實質就是拋物線的弦對頂點張直角的相關性質(拋物線的弦對頂點張直角時恒過定點).借助邏輯推理、思維拓展、類比提升等,可以對拋物線過頂點(或其他定點)的兩弦斜率之積、斜率之和、斜率倒數之和等為定值的相關結論,進一步加以歸納、推廣與總結.

2.1 拋物線過頂點兩弦斜率之積為定值

結論1已知A,B為拋物線y2=2px(p>0)上兩動點,O為坐標原點.若OA⊥OB,則直線AB恒過定點(2p,0).

證明：設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為x=my+t.

y2-2pmy-2pt=0.

因此,對于上述教材中的習題,因為拋物線y2=2x中的p=1,并且直線y=x-2經過點(2,0),所以有OA⊥OB成立.

結論1是其推廣的特例,是當常數λ=-1時的結果.推廣的證明可參照結論1的證明加以分析與處理,這里不多贅述.

2.2 拋物線過定點兩弦斜率之積為定值

結論2已知A,B為拋物線y2=2px(p>0)上兩動點,P(x0,y0)為拋物線上一定點,且滿足PA⊥PB,則直線AB恒過定點(2p+x0,-y0).

證明：設A(x1,y1),B(x2,y2).

由此可知,直線AB恒過定點(2p+x0,-y0).經檢驗,當x1=x2時,也滿足.

因此,直線AB恒過定點(2p+x0,-y0).

2.3 拋物線過定點兩弦斜率之和為定值

證明：設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為x=my+t.

y2-2pmy-2pt=0.

由韋達定理,可得y1+y2=2pm,y1y2=-2pt.

2.4 拋物線過定點兩弦斜率倒數之和為定值

證明：設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為x=my+t.

y2-2pmy-2pt=0.

由韋達定理,可得y1+y2=2pm.

3 教學啟示

上文中以一道課本習題為源,得到拋物線中過定點的兩弦斜率之積、斜率之和、斜率倒數之和為定值條件下的相應的優美結論,合理反思總結,拓展思維,總結規律,構建全面的邏輯思維體系與應用.

事實上,拋物線中的相關結論及其推廣,還可以進一步拓展到圓錐曲線中去,有關圓錐曲線斜率之積(或之和、倒數之和)為定值的問題層出不窮.當我們站在系統的高度,合理地整合知識,很多時候都能有一個思維方向,避免進入無頭緒的計算誤區,全面提升能力,養成思維習慣,培養數學核心素養.