例析證明函數不等式問題的常用方法

阿麗米熱艾尼

(新疆實驗中學)

函數不等式恒成立問題,是考試中較為常見的一類問題,同時也是學生解答過程中出現問題較多的一類問題.這類問題往往涉及函數的性質、導函數等諸多知識點,題目形式多變,較為復雜,具有較強的綜合性.學生在面對這類問題時可能會出現無法快速找到解題思路、計算出現錯誤、邏輯錯誤等多種問題.為幫助學生建立起函數不等式問題的解題思維,本文結合實際問題,對常用的解題策略進行分析,以期促進學生綜合能力的提升.

1 構造函數法

在解答函數不等式恒成立問題中,構造函數是較為常用的解題方法,同時也是其他解題方法的基礎.在實際解題過程中,可以先對不等式兩側進行整理,通過移項、變形構造合適的函數,將證明不等式問題轉化為求解函數的最值問題,進而通過研究函數的性質證明不等式.

例1 (2023年新高考Ⅰ卷19)已知函數f(x)＝a(ex＋a)－x.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)證明:當a＞0時

(1)f(x)的定義域為R,且f′(x)＝aex－1.當a≤0時,由于ex＞0,則aex≤0,故f′(x)＝aex－1＜0恒成立,所以f(x)在R上單調遞減.

當a＞0 時,令f′(x)＝aex－1＝0,解得x＝－lna,當x＜－lna時,f′(x)＜0,則f(x)在(－∞,－lna)上單調遞減;當x＞－lna時,f′(x)＞0,則f(x)在(－lna,＋∞)上單調遞增.

綜上,當a≤0時,f(x)在R 上單調遞減;當a＞0時,f(x)在(－∞,－lna)上單調遞減,在(－lna,＋∞)上單調遞增.

(2)令h(x)＝ex－x－1,則h′(x)＝ex－1,因為y＝ex在R上單調遞增,所以h′(x)＝ex－1在R 上單調遞增.

又h′(0)＝e0－1＝0,所以當x＜0時,h′(x)＜0;當x＞0時,h′(x)＞0,故h′(x)在(－∞,0)上單調遞減,在(0,＋∞)上單調遞增,因此h(x)≥h(0)＝0,則ex≥x＋1,當且僅當x＝0時,等號成立.因為

在第(1)問中,先對f(x)＝a(ex＋a)－x進行求導,而后對導函數f′(x)＝aex－1進行分類討論,進而得到f(x)的單調性.第(2)問通過構造函數h(x)＝ex－x－1,證得ex≥x＋1,從而得到f(x)≥x＋lna＋1＋a2－x,進而將問題轉化為證明

2 分離參數法

在證明含參不等式恒成立問題時,可以采用分離參數法將不等式中的參數、變量等進行分離,使不等式轉化為一側為參數、另一側為變量的形式,如a≥f(x),a≤f(x)等,而后通過探究函數f(x)在定義域內的最值與參數的關系證明不等式.

3 放縮法

在函數不等式的證明問題中,常常需要學生結合題意靈活運用各種不等式(如ex≥x＋1,ex≥ex,lnx≤x－1等)對原不等式的一側進行合理的放大或縮小,而后證明放縮后的不等式成立,進而得到原不等式成立.

例3 已知f(x)＝xln(x＋a)＋1(a＜0).

(1)當a＝－1時,判斷f(x)的單調性;

(2)求證:f(x)＜ex＋cosx.

在解答本題時,根據lnx≤x－1,將xlnx＋1放縮為x2－x＋1,進而將原問題轉化為求證ex－x2＋x－1＋cosx＞0.構造函數g(x)＝exx2＋x－1(x≥1),通過對其進行二次求導,得到g(x)在[1,＋∞)上單調遞增,而后確定x在不同取值下ex－x2＋x－1＋cosx＞0 成 立,則 當a＜0 時,f(x)＜ex＋cosx成立.

綜上,本文總結了解答函數不等式問題常用的三種方法:構造函數法、分離參數法和放縮法,在實際解題中,學生需結合題目信息,靈活選擇合適的解題方法,以提升解題效率.

(完)