關于“雙參”問題的處理策略

董雙雙

(廣東省東莞市東華高級中學)

在平時學習中,參數最值問題是常常遇到的問題,也是學生最為頭疼的問題.參數問題常涉及分類討論、轉化與化歸等思想,在新高考強調“能力立意,適度創新”的背景下,顯得尤為重要.若涉及兩個或多個參數的最值問題,則難度會直線上升.本文對“雙參”的最值問題進行討論分析,供參考.

1 活用不等式求解

對于一些特殊的“雙參”求最值問題,我們可以借助基本不等式、柯西不等式、絕對值不等式以及不等式放縮法求解,方便快捷,問題迎刃而解.

2 化為線性規劃問題求解

例2 已知函數f(x)＝2x3＋3ax2＋12bx＋6c,且f(x)在(0,1)上有最大值,在(1,2)上有最小值,求的取值范圍.

由題意知f′(x)＝6x2＋6ax＋12b,由極值點存在的范圍可以得到

圖1

簡單的線性規劃問題就是求線性目標函數在線性約束條件下的最優解,即求最大值或最小值.無論此類題目以什么樣的形式出現,其解題的步驟是不變的,即尋找線性約束條件和目標函數,作出可行域,在可行域中求目標函數的最優解.雖然高中數學新教材(人教A 版)和新高考大綱已經刪掉此內容,但是其思想方法卻十分重要,需要考生掌握.

3 尋找參數關系,化雙變量為單變量

對于題目中涉及雙變量的問題,我們可以通過題目中的已知條件,將兩個變量的和、差、積、商作為一個新整體設為新變量,構建一個關于新變量的函數,再研究新函數的性質從而解決問題,這樣可以把復雜問題簡單化.

由題意知f(x)的定義域為(0,＋∞),不妨設x1＜x2,由已知得f(x1)＝0,f(x2)＝0,即

兩式相減得

本題中有兩個變量x1,x2和一個未知參數a,分類討論比較麻煩.我們可以根據題意用x1,x2表示a,將三元化為二元.再將a代入需要求解的不等式,通過整理化簡,令,化二元為一元,最后構造函數求解.消元和化元其實就是一個化繁為簡的過程,體現了“將復雜問題簡單化”的思想.除此之外,對于多元問題,我們也可以嘗試通過消元構造函數或通過三角換元將多元化為一元.

4 雙參分離,分而治之

(1)當a＞0時,判斷函數f(x)的單調性;

(2)若對任意的正數a,存在x∈[1,2],使f(x)＜a2＋2ma＋1成立,求實數m的取值范圍.

(1)函數f(x)的定義域為(0,＋∞),則因為a＞0,所以ax＋1＋a＞0.當0＜x＜1 時,f′(x)＜0,當x＞1時,f′(x)＞0,故函數f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增.

(2)對任意的正數a,存在x∈[1,2],使f(x)＜a2＋2ma＋1成立,等價于fmin(x)＜a2＋2ma＋1成立.由(1)知,當a＞0時,函數f(x)在[1,2]上單調遞增,所以fmin(x)＝f(1)＝1＋2a,則對任意a＞0,1＋2a＜a2＋2ma＋1,即a2＋(2m－2)a＞0恒成立,所以a＞2－2m恒成立,則2－2m≤0,解得m≥1.

綜上,實數m的取值范圍是[1,＋∞).

恒成立與存在性問題歸根到底都是最值問題,對于這類問題,我們可以先將兩個參數分離,分別構造兩個不同的函數,然后轉化為比較兩個函數的最大值或最小值問題.雙參分離,分而治之,分開突破,這是解決雙變量問題一種重要的途徑.常見的推論總結如下:

1)若對任意的x1∈D,任意x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立,則fmin(x)≥gmax(x);

2)若對任意的x1∈D,存在x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立,則fmin(x)≥gmin(x);

3)若存在x1∈D,任意x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立,則fmax(x)≥gmax(x);

4)若存在x1∈D,存在x2∈E,f(x1)≥g(x2)恒成立,則fmax(x)≥gmin(x).

5 構造“同構函數”,整體消參

例5 (2021年新高考Ⅰ卷22)已知函數f(x)＝x(1－lnx).

(1)討論f(x)的單調性;

(2)設a,b為兩個不相等的正數,且blnaalnb＝a－b,證明

(1)f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減(求解過程略).

不妨設m＜n,由(1)可得0＜m＜1,1＜n＜e,先證m＋n＞2.易知

令g(x)＝f(x)－f(2－x)(x∈(0,1)),則

所以g(x)在(0,1)上單調遞增,所以g(x)＜g(1)＝0,即m＋n＞2.

再證m＋n＜e.因為m(1－lnm)＝n(1－lnn)＞m,所以只需證n(1－lnn)＋n＜e,即令h(x)＝x(1－lnx)＋x(x∈(1,e)),則h′(x)＝1－lnx＞0,故h(x)在(1,e)上單調遞增,所以h(x)＜h(e)＝e,故h(n)＜e,即m＋n＜e.

這種題型的一般形式是一個式子中含有兩個變量,適當變形后,兩邊的結構相同,可以通過取左或取右構造函數,我們把這種題型稱為同構函數題型.同構函數在近兩年的高考題中出現較多,一般難度較大、綜合性強,學生拿分較難,需要引起大家的重視.

6 巧用“變更主元法”

對于含有二元或多元的式子,我們可以考慮選擇其中一個參數視為主元,其他參數視為常數,從而構造關于主元的函數,進而求解,這樣可以降低問題難度.

例6 已知函數f(x)＝lnx－mx＋m(m∈R).

(1)若f(x)≤0在x∈(0,＋∞)上恒成立,求實數m的取值范圍;

(2)在(1)的條件下,對任意的0＜a＜b,求證:

顯然,在第(2)問中,方法1的技巧性較強,令b＝ta這一步不易想到,而變更主元法則顯得常規自然,且過程簡潔.變更主元法樸素自然,起點低、操作性強,容易被學生理解和接受,且更具有一般性.

近年來“雙參”問題在高考試題中反復出現,相關題型變化多樣,方法靈活,考生要想輕松拿下這類問題,還需要在平時的訓練中多注意總結和歸納,根據具體的問題選擇合適的方法,做到舉一反三,才能在高考中取得好成績.

(完)