基于DRO的小行星往返飛越探測軌道設計優化方法*

董博文 于錫崢 李明濤 王楷鐸 王有亮

1(中國科學院國家空間科學中心 北京 100190)

2(中國科學院大學 北京 100049)

0 引言

在地月系統內，遠距離逆行軌道（Distant Retrograde Orbits, DRO）本身能級較高，接近地球影響球邊界引力勢。同時，這類軌道有較好的動力學穩定性，這使得其軌道維持和進出軌道的成本相對較低。由于DRO靠近月球，便于借用月球引力變軌，對地月空間范圍內的其他軌道有較好的可達性[1]。有研究于2015年左右提出捕獲近地小行星并將其安置在DRO的計劃[2,3]。

近地小行星蘊藏著太陽系早期形成與演化的線索，對近地小行星探測具有重要科學意義。同時，近地小行星撞擊也是面臨的重大安全風險。無論是地球上的岫巖隕石坑、Barringer隕石坑等[4]，還是月球、水星、火星等太陽系其他天體上記錄的撞擊坑，都證明了天體間碰撞的數量之多。1976年的吉林隕石雨和2013年的車里雅賓斯克（Chelyabinsk）隕石等事件說明，小行星與地球的碰撞仍在持續發生且有可能造成嚴重破壞，不能無視這方面的威脅，因此需要對其進行探測。

文獻[5]對DRO中轉的深空探測飛行模式進行了論證分析，認為這是一種理想的探測方式。文獻[6]對DRO前往火星與LEO前往火星的轉移軌道進行了比較，以小行星采礦補給為背景，相較于從LEO出發，從DRO出發可以減少大約2.4 km·s-1的速度增量。現有DRO與地球間轉移軌道，通常位于白道面內，而太陽系內的近地小行星大多相對白道面存在一定的傾角。在目前部署過的隼鳥（OSIRISREX）等近地小行星探測任務中，探測目標各不相同，但航天器均通過地球借力抬升傾角以飛抵小行星，飛抵小行星時航天器與地球距離遠，且飛抵小行星所需時間長[7-9]。而在考慮飛越距離等約束條件后，小行星的最佳飛越點可能不在白道面內，使得飛越探測軌道相對白道面有較高的傾角，現有設計方法一般難以適用于有特定高傾角約束的軌道設計[10-18]。目前有少量關于如何在DRO與高傾角月球低軌道之間轉移的研究[19]，但還缺少完整的地球與DRO間高傾角轉移軌道的研究。

本文假設以DRO作為探測器的部署基地，研究從DRO中轉，出發飛越探測小行星并返回至DRO的軌道設計方法。使用地月引力輔助對這類軌道的設計方法進行研究，降低了任務中的總速度增量，從而實現了高傾角地月轉移軌道的設計。此外，引入了DRO調相機制，將DRO軌道站的相位同地球與DRO間轉移軌道的設計解耦。

1 動力學模型

1.1 航天器動力學模型

研究場景航天器主要受到地球、月球與太陽的引力作用。為簡化模型，忽略航天器對其他天體的引力作用，構建地球—月球—太陽—航天器四體模型（見圖1）。三個天體的引力通過質點模型進行計算，保留地球和月球的尺寸，分別視作6378 km和1738 km半徑的球體。以地球慣性系為基礎構建力學模型，將月球和太陽引力作為第三體引力進行計算。探測器的加速度表示為

圖1 地球—月球—太陽—航天器四體模型Fig.1 Earth-Moon-Sun-spacecraft four-body model

其中，μearth，μmoon，μsun分別為地球、月球和太陽的引力常數；R和r分別為探測器與地球相對位置及距離大小；Rmoon和rmoon分別為探測器與月球相對位置及距離大小；Rsun和rsun分別為探測器與太陽相對位置及距離大小。

1.2 DRO軌道計算

地月空間中的DRO是圍繞月球運轉的一類大尺度軌道，相對地球，在慣性空間中DRO是順行軌道，而在地月會合坐標系（ROT，x方向從地心指向月心，z方向在月球相對地球的角動量方向，y方向遵照右手螺旋系確定）中，DRO繞月球逆行運轉，如圖2所示。在圓形限制性三體問題（CRTBP）中存在完全周期性的DRO軌道族，其具有相對其他三體軌道族更好的穩定性，能夠承受更強的擾動而保持其準周期性[20]。

圖2 遠距離逆行軌道 （a）地球慣性系 （b） 地月旋轉坐標系Fig.2 DRO track diagram.(a) Earth’s inertial system, (b) Earth-Moon rotating coordinate system

定義為DRO沿y軸正向穿過地月連線的狀態，PDRO為DRO軌道周期，σ為相位因子，則DRO上任意一點的狀態xDRO(σ) 表示為

其中，φ為以為初始狀態，從t0到t積分CRTBP動力學方程所得到的解[21]。

在考慮軌道能量等方面后，DRO軌道站使用2∶1周期共振的平面DRO，以此為例研究DRO調相方法以及后續的DRO進出等其他方面。

2 問題分析與思路

2.1 探測軌道設計問題

軌道設計的目標是航天器在距離地球2×107km的范圍內，在速度增量不超過2 km·s-1的條件下實現對近地小行星的往返飛越探測，期間相對地球高度不小于200 km，相對月球高度不小于50 km，即航天器地心距re≥6578km，月心距rm≥1788km。整體的軌道設計實現航天器從DRO軌道站出發，并在飛越小行星后返回軌道站。約束條件與參數使用整理列于表2。

進出軌道站時航天器狀態設定為與軌道站相同，即出發、返回時航天器與軌道站位置速度相同。

以太陽中心二體模型的虛擬小行星作為探測目標，其軌道參數如表1所示。為減少軌道的速度增量，使用遺傳算法對飛越點進行優化，得到的結果與黃道面有較大的距離，飛越時小行星與黃道面間的位置關系如圖3所示。在考慮相關約束后，小行星飛越探測軌道需要被設計為高傾角。

表1 虛擬目標小行星軌道參數Table 1 Target asteroid orbit parameters

表2 常數取值與約束條件Table 2 Constant values and constraints

圖3 飛越小行星時黃道面與各天體的關系Fig.3 Relationship between ecliptic plane and celestial bodies during asteroid flyby

2.2 軌道設計思路

如果要在約束下實現上述目標，有DRO直接轉移和借力轉移兩種方式。DRO直接往返的小行星飛越探測軌道限制只在DRO出發、返回點以及小行星處進行機動，在DRO軌道站機動出發后直接逃逸離開地月空間，視目標小行星為質點，在飛越小行星時再進行一次機動，最后返回軌道站機動停泊。在設計時首先通過星歷搜索小行星近地點時刻，之后在該時刻附近通過遺傳算法在求解蘭伯特問題的基礎上對從DRO直接往返的小行星飛越探測軌道初值進行搜索，最后在四體模型下結合約束條件調整完成該情形下的軌道設計。軌道整體設計如圖4所示。

圖4 DRO直接轉移軌道整體設計（I表示DRO直接往返的小行星飛越探測軌道）Fig.4 DRO direct transfer orbit overall diagram(I expresses DRO direct return asteroid flyby orbit)

而在借力轉移的DRO往返的小行星飛越探測軌道設計中，首先設計的部分是地球往返的小行星飛越探測軌道，之后再根據近地點參數設計地球往返DRO的軌道，最后對軌道兩端在DRO的相位進行調整，與DRO軌道站相銜接。借力轉移軌道整體設計如圖5所示。

圖5 借力轉移軌道整體設計（I：地球往返的小行星飛越探測軌道。II：地球與DRO間轉移軌道。III：DRO調相軌道）Fig.5 Overall schematic diagram of transfer orbit by force (I: asteroid flyby detection orbit of Earth round trip.II: Earth DRO transfer orbit.III: DRO phase orbit)

在地球往返小行星的飛越探測軌道設計過程中，航天器被設計為只在飛越小行星時進行一次機動返回地球，根據二體下的搜索結果，在四體模型中對軌道進行修正。在航天器小行星飛越點偏離黃道面時，探測軌道在近地點的速度方向與黃道面間存在較大傾角。由于白道面與黃道面接近，飛越探測軌道與白道面間存在相近大小的傾角。

在地球與DRO間轉移軌道設計中，主要考慮地球、月球高度等約束條件，通過中途機動和月球借力實現對航天器位置和傾角等的調整。為降低優化設計的復雜度，參考文獻[5]中DRO軌道的設計方法，將航天器軌道與Oxz平面的交點作為截止點和調相階段起始點。

針對調相起始點存在偏差的情況，本文利用調相設計思想，實現了航天器與DRO軌道站的轉移軌道設計。

以表1所示的虛擬小行星作為目標，優化得到的地球往返的小行星飛越軌道相對白道面有較大傾角，出發時為59.99°，返回時為59.88°，飛越小行星時的速度增量為0.085 km·s-1，軌道如圖6所示。

圖6 地球往返的小行星飛越探測軌道（ECI，左側點為小行星位置，右側點為地球位置）Fig.6 Earth round-trip asteroid flyby orbit（ECI.The left point is the location of the asteroid and the right point is the location of the Earth）

3 研究方法

3.1 基于月球借力的地球與DRO間轉移軌道設計方法

3.1.1 設計方法

研究中地球與DRO間轉移軌道起始于小行星飛越探測軌道的近地點，截止于月球借力后到達ROT坐標系的Oxz平面，包含近地點機動、中途機動和近月點機動三次機動。其中，近地點機動和近月點機動均在速度方向，中途機動方向在三維空間中不做約束，中途機動時間在另外兩次機動之間且有至少一天的間隔。因此，該部分軌道優化包含近地點機動量dvep、中途機動dVm、近月點機動量dvmp和中途機動時間tm共4個變量，總體目標是使用盡可能小的速度增量在約束條件下使得調相起始點盡可能接近DRO遠地點，即目標函數可視為調相起始點與DRO遠地點之間的位置偏差drOxz、速度偏差dvOxz和3項機動的大小。問題可表示如下。

優化問題0

其中，t0為航天器到達近地點的時間，tmp為航天器到達近月點時間，Vs和Rs分別為航天器的速度和位置，tep，Vep0，Rep0分別為飛越探測軌道近地點的時間、速度和位置。總體流程如圖7所示，其中優化問題1到5在后續進行介紹。

圖7 遍歷與黃金分割方法結合的軌道初值搜索方法DRO往返地球軌道設計流程Fig.7 Ergodic search method combined with the Golden section method schematic diagram of the DRO_Earth round trip orbit design flow

設計方法包括近地點機動量初值搜索、中途機動初值以及時間與近地點機動量搜索優化、近月點機動量與中途機動的優化確定三個部分，這三個部分依次完成。

軌道設計過程中結合使用遍歷、非線性優化算法與黃金分割法，并根據約束確定目標近月點月心距rma。此外，從DRO前往目標近地點的軌道使用逆向積分經過相同流程進行設計。

3.1.2 近地點機動量初值搜索

使用遍歷搜索近地點機動量dvep，保留使近月點白道面投影與月球距離rmw最小的數值作為初值dvep0，可概括如下。

優化問題 1

3.1.3 中途機動初值、時間與近地點機動量搜索優化

該部分由黃金分割法搜索嵌套非線性優化算法構成，對航天器在近地點與近月點之間的軌道進行設計。其中非線性優化算法對中途機動dvm初值與近地點機動量dvep共同進行優化，初值分別使用[0,0, 0]和dvep0，在得到中途機動初值dVm0的同時對dvep進行確定。該過程的中途機動時間tm視為常數。

非線性算法的目標函數由B平面參數Br和Bt近月點軌道參數近月點軌道傾角im、軌道月心距rmoon、近月點方位dθm和速度增量大小| dvep|，| dVm|等構成。其中前5項參數在優化時有目標Bra，Bta，ima，rma和dθma，直接作為優化目標的是5項參數與目標的差值大小dBr，dBt，dim，drmoon和Δdθma。

5項參數中B平面參數的目標值須經計算確定。在對地月轉移軌道優化時，目標B平面參數的平方根，即入射雙曲線軌道的b參數，可通過入射C3和目標近點中心距ra進行計算， 即

其中，μ為中心天體引力常數。當b參數符合式（3），軌道高度即可滿足要求。

參考文獻[22]中共面逃逸的目標參數計算，B平面參數可以通過b參數和角度θ表示，有

而θ可以由cosθ=確定，其中i和δ分別為入射方向漸近線與參考平面的夾角和雙曲線軌道相對參考平面的傾角。由此可看出，雙曲線軌道的最大傾角為i=π-|δ|，此時cosθ=-1，sinθ=0，又因DRO相對月球在白道面內逆向旋轉，所以近月點處的B平面參數計算以白道面作為參考，取參數目標值為

關于后三項，由于軌道傾角的目標是與DRO相同的，ima=π；軌道高度目標是3.1.1中在約束條件下給定的rma；近月點方位目標是對借力方向進行調整，借力方向在從DRO出發時目標是從前方飛越抬升傾角，在返回DRO時是從后方飛越降低傾角，以月地連線方向為0°，以自北向南俯視時的逆時針方向為正，出發時dθma，返回時dθma。

在具體落實過程中，由于目標函數在落入極小值后不易向最小值繼續搜索，優化問題以月球影響球范圍的量級10000 km為界，當月心距在范圍內外使用不同的目標函數。當月心距大于10000 km時，優化問題表示如下。

優化問題2

在月心距小于10000 km時，優化目標變換為

中途機動時間tm由黃金分割法單獨進行調整。具體是在遠地點時間附近以黃金分割法搜索中途機動時間，搜索范圍取在遠地點前后。使用1.3節中的方法，將所取黃金分割點的時間代入優化問題2中求解，使用所得結果對黃金分割法的目標函數值進行計算。問題可以表示如下。

優化問題3

3.1.4 近月點機動量與中途機動的優化確定

最后對近月點至調相起始點的軌道進行設計，該部分主要對近月點機動量dvmp進行優化，與中途機動dVm共同作為優化變量，目標函數包括調相起始點與DRO遠地點之間在ROT坐標系中的位置速度差別 drOxz， dvOx與速度增量大小| dvmp|，dVm。

該部分首先在3.1.3節中所得近月點參數的基礎上對dvmp進行初步優化，優化問題如下。

優化問題4

其中，t1為航天器到達近月點的時間，tmp，Vmp0和Rmp0分別為根據3.1.3節計算得到的近月點時間、速度及位置。

之后將優化問題4得到的近月點機動量以及優化問題2和優化問題3得到的中途機動作為初值，將優化問題2和優化問題3得到的中途機動時間tm位置Rm和初始速度Vm作為起始狀態，優化截止于調相起始點的軌道，目標函數包括drOxz，dvOxz，| dvmp|，| dVm|，可以表示如下。

優化問題5

其中，tmid為航天器到達中途機動點的時間。

3.2 DRO調相軌道設計方法

航天器到達調相起始點時往往不能正好到達軌道站，存在相位偏差，需要進行調整以進行交會。DRO調相軌道以DRO軌道站為一端點，調相起始點為另一端點。

在軌道設計過程中先后使用遺傳算法和非線性優化算法，優化變量包括調相軌道一端的速度增量dVp1和中間的滑行時間tp，優化目標包括總速度增量dvp和遞推結果與軌道站目標的位置差別drp。該部分優化問題可以表示如下。

優化問題6

其中，tOxz為航天器到達調相起始點的時間，tOxz，VOxz，ROxz.分別為3.1節中得到的調相起始點時間、速度和位置。算法流程如圖8所示。

通過這種方法可以對任意相位進行調整，速度增量成本在0.1 km·s-1左右，相位差別越大速度增量成本越高；在調相起始點與該相位上DRO存在偏差時，速度和位置的偏差對速度增量成本均有影響。其中，在DRO跡向的速度和法向速度以及位置偏差對于速度增量成本的增加效果更為顯著。如圖9所示，調相軌道起點的速度各方向偏差1.250 km·s-1，位置（徑向和法向）偏差5000 km，相位差135.2°，共需約0.236 km·s-1的速度增量實現航天器與軌道站交會。同時，DRO軌道站的相位與DRO往返地球的軌道設計實現解耦，軌道的整體設計得到簡化。

圖9 調相軌道示例Fig.9 Sample phase modulation orbit diagram

4 設計仿真結果與分析

4.1 轉移軌道設計仿真結果

以表1所示參數的虛擬小行星為探測目標，經過遺傳算法和非線性優化方法的優化后，結果中從DRO直接往返的總速度增量為4.188 km·s-1。其中，出發1.924 km·s-1，返回1.825 km·s-1，深空速度增量為0.439 km·s-1，軌道如圖10所示。

圖10 DRO直接往返的小行星飛越探測軌道（ECI）Fig.10 DRO direct round trip asteroid flyby detection orbit（ECI）

因此，直接往返DRO不能滿足關于速度增量的約束條件，需使用地月引力作為輔助來減少軌道的速度增量。

在借力轉移的DRO往返的小行星飛越探測軌道設計當中，以如表3所示的地球飛越小行星的往返探測軌道的兩個近地點作為后續地球往返DRO的軌道設計約束條件。在2×107km的約束下，盡管小行星相對黃道面的傾角不大，但飛越探測軌道的近地點存在較大的白道面傾角。

表3 飛越探測軌道近地點參數Table 3 Perigee parameters of flyby detection orbit

以上述近地點作為目標，使用前文3部分中方法對地球與DRO間轉移軌道進行設計，轉移軌道各項參數如表4所示，圖像分別如圖11和圖12所示。

表4 地球與DRO間轉移軌道各項參數Table 4 Perigee parameters of flyby detection orbit

圖11 出發時地球與DRO間轉移軌道Fig.11 Earth DRO transfer orbit at departure

圖12 返回時地球與DRO間轉移軌道Fig.12 Earth DRO transfer orbit upon return

出發與返回時的調相軌道分別如圖13和圖14所示，各項參數如表5所示。在調相軌道設計結果中，單次機動的速度增量大約在100 m·s-1，其大小受調相起始點與DRO遠地點間的位置和速度偏差影響顯著。

表5 DRO調相軌道各項參數Table 5 Elements of DRO phasing orbit

圖13 出發時DRO調相軌道Fig.13 DRO phase orbit at departure

圖14 返回時DRO調相軌道Fig.14 DRO phase orbit upon return

4.2 結果分析

從上述結果分析，地月引力輔助對航天器從DRO往返近地小行星有重要意義。在DRO直接出發前往小行星的情況下，表1中小行星的飛越探測軌道總速度增量為4.188 km·s-1，不能滿足約束條件。而通過地月引力輔助，探測軌道總速度增量為1.973 km·s-1，包括DRO出發軌道總速度增量0.916 km·s-1、返回DRO軌道總速度增量0.972 km·s-1和飛越小行星時的速度增量為0.085 km·s-1，速度增量減少了50%以上。在直接往返DRO時，由于交會軌道站時速度小，且速度與機動方向之間存在較大夾角，速度增量對航天器動能的改變效率較低。

由此可見，使用DRO軌道站作為中轉點時，通過地月引力輔助可有效減少航天器逃逸的速度增量。此外，在地球往返的小行星飛越探測軌道近地點白道面傾角較高的情況下，可通過月球借力與中途機動結合完成轉移，有效減少了軌道改變傾角所需的速度增量。

5 結論

DRO可作為深空探測任務良好的中轉軌道選擇，有效減少任務中往返的速度增量成本，本文以近地小行星的飛越往返為例進行了說明，提出一種與常用方法不同的小行星飛越探測軌道流程。在高傾角轉移軌道的情況下，通過月球借力可以有效減少改變傾角所需要的速度增量，出發和返回時航天器的速度增量均有明顯減小，可在2 km·s-1的約束下實現更高傾角的飛越探測。例如所舉算例，使用該方法可以減少50%以上的速度增量。

研究場景以DRO上某一確定的軌道站作為航天器的部署點以及返回后的回收點，航天器的起止軌道被固定在白道面附近靠近月球的位置。本文引入了DRO調相對此進行解決，通過在DRO處對相位進行進一步調整，DRO軌道站的相位與地球與DRO間轉移軌道設計可以實現解耦。

參考二體情形下的情況，杠桿機動選擇在遠地點附近，能夠以較小代價改變傾角、近地點等軌道參數。在使用的四體模型時這一點仍然近似成立，在仿真優化中發現在遠地點附近能夠找到更小的中途機動。這一點在較為復雜的模型中存在明顯的偏差，如何進行證明還有待研究。