航天傳感器響應波段星等計算方法*

勾萬祥 賈靖玉 陳少杰 李崇輝 鄭 勇

(信息工程大學地理空間信息學院 鄭州 450001)

0 引言

恒星星等是表征恒星明暗程度的重要指標，廣泛應用于衛星定標星遴選、天文導航算法優化、星敏感器導航星表建立等工作中[1-3]。受恒星溫度、大小、距地距離等因素綜合影響，恒星星等在不同波段存在明顯的差異[4]。若采用與傳感器響應波段不匹配的測光波段星等，易引起恒星的錯選漏選，進而導致星圖識別失敗、識別錯誤。然而傳感器響應波段多由探測目標的特征確定，響應波段復雜多元，很難從現有星表中找到與之匹配的測光波段星等信息。例如全天時星敏感器響應波段多為0.9～1.7 μm[5]，紅外預警衛星傳感器響應波段多為3～5 μm[6]，現有星表僅給出J波段（1.25 μm）、H波段（1.65 μm）及3.35 μm波段、4.60 μm波段等特定測光波段的星等信息，無論采用哪個波段星等值都可能存在較大誤差。因此，精確確定恒星在傳感器響應波段星等信息是航天探測的重要基礎工作之一[7,8]。

為精確計算傳感器響應波段的星等信息，有關基于恒星固有屬性的研究不斷深入。Van Der Bliek等[9]在歐空局紅外空間天文臺 （ISO）項目中，提出紅外流量法（IRFM）推求恒星溫度，進而計算恒星在指定波段的星等。該方法對4000～10000 K溫度的恒星有較好效果，對其他溫度恒星精度不佳[10]。Kurucz在研究恒星大氣模型時，進一步提出利用恒星溫度、表面重力場和金屬豐度等參數擬合恒星光譜模型，模型推算星等誤差普遍小于5%[4]。該方法雖然有很高的精度，但需要恒星溫度、金屬豐度、表面重力場等大量基礎數據作為支撐，無法開展批量推算。Strunz 和Kruzhilov 等[8,11,12]分別基于大量恒星星等數據構建了恒星色指數與星敏感器傳感器響應波段星等擬合方程，但擬合方程精度與恒星色指數強相關，僅對指定色指數區間的恒星有較好效果。Zhang等[13]在氣象衛星傳感器輻射定標中，利用星表測光星等對應的輻流量信息，提出基于黑體輻射的恒星星等外推計算方法，但該方法需求解關于普朗克公式的超越方程組，方程解算困難，存在多解與無解現象。Wang等[14]利用恒星在多個測光波段星等輻流量信息，組成恒星黑體輻射超定方程組進而求解恒星在指定波段的星等，但該方法采用單一色溫度擬合恒星輻射曲線，忽略了恒星在不同波段對應色溫明顯不同的問題，可能導致解算精度下降甚至解算失敗，且該方法并沒有從根本上解決超越方程難解問題。

本文針對目前傳感器響應波段星等推算方法存在的需求信息多、使用范圍窄、推算精度低等問題，通過分析恒星輻射光譜特點，建立了已有星表測光波段與傳感器響應波段星等差值模型，并對現有公開星表測光波段進行梳理匯總；針對恒星在不同波段色溫度變化特點，提出擇優選取兩個測光波段星等能量數據，以恒星色指數計算的恒星近似表面溫度作為恒星色溫初值，有效解決了超越方程解算困難問題；利用公開星表數據對本文所提方法進行了計算驗證。

1 恒星星等與波段關系

星等作為表征恒星明暗程度的物理量，具有嚴格的定義標準。最初天文學家Pogson在建立普森公式時，提出將織女星（Vega）對應波段光譜輻流量大小定義為該波段的0星等標準，即Vega magnitude[15]。但是隨著天文測光精度的提高，發現Vega可能是一顆造父變星，不能滿足0星等絕對定標精度的要求[16]。因此，不同天文星表通常基于項目觀測儀器、濾光片帶寬、觀測位置等因素建立符合項目實際的絕對0星等標準[17,18]，例如Johnson的11色測光系統、SDSS項目的Ugriz測光系統、2 MASS項目的JHK測光系統等。其大都是Vega magnitude的延續，0星等定標輻射流量與Vega相應波段輻射流量相差不大[19-22]。表1列出常用的Johnson測光系統部分參數[23,24]，表1中U～K為測光波段名稱，對應波段0星等流量近似為半波帶寬乘以有效波長輻射流量[25]，相關名詞概念、定義及其關系可參見文獻[25, 26]。

表1 Johnson測光系統部分參數Table 1 Partial parameters of Johnson photometry system

傳感器依據接收到的恒星輻流量計算恒星的星等，若恒星輻流量為F1，對應波段0等星輻流量為F0，則依據普森公式可計算恒星星等為[27]

由式（1）可知，恒星的星等m與0星等定義輻射流量F0及傳感器實際接收輻流量F1有關。

由于恒星溫度不同，恒星的輻射光譜曲線也不同[28]，綜合恒星大小、距地距離等因素，不同恒星在不同波段的星等可能相差較大。表2給出了Hipparcos星表中部分恒星在不同測光波段的星等。

表2 同一恒星不同波段星等差異Table 2 Different band magnitudes of the same star

由于同一顆恒星在不同波段星等差主要與恒星溫度有關，因此天文學上通常使用恒星在兩個測光波段的星等差即色指數來表征恒星的溫度[29]。常用的色指數C定義為恒星照相星等mp和目視星等mv之差，即C=mp-mv。研究表明，恒星表面溫度T′與色指數C的近似關系為

式（2）為經驗公式，除O，B型恒星外的絕大多數恒星表面溫度均符合該公式[26]。文獻[8] 和[12]利用大量恒星色指數數據對經驗公式進行進一步擬合、精化，構建傳感器響應波段星等與恒星色指數的函數關系。由于恒星表面溫度與色指數關系復雜，不同溫度、結構、化學成分的恒星表面溫度很難依靠單一擬合公式達到理想的推算精度[26]，例如文獻[8]針對BV色指數構建的傳感器響應波段星等多項式函數，對部分色指數小于1.2個星等的恒星有較好推算效果，但當恒星色指數超過1.2個星等時精度會嚴重下降。

2 恒星輻射光譜特點

將恒星輻射光譜近似視為黑體輻射光譜是天文學上典型的做法，也是進行恒星星等外推計算的理論基礎[30]。色溫為T的恒星在對應波段發射的光譜輻流量可利用普朗克黑體輻射公式進行計算[31]，具體如下：

式中，h為普朗克常量，其值為6.62606876×10-34J·s ；k為玻爾茲曼常量，值為1.380658×10-23J·K-1。

恒星是理想的朗伯體，可通過光譜輻流量求得恒星的輻射光譜通量密度為[26]

式中，C1=2πc2=3.7427×108W·μm4·m-2為第一輻射常數，C2=hc/k=14388μm·K。

由式（4）可知，恒星輻射光譜曲線主要受恒星色溫度影響，不同色溫度的恒星在不同波段輻流量有明顯差距，如圖1所示。

圖1 黑體輻射光譜流量Fig.1 Blackbody radiation spectral flow diagram

設恒星半徑為Rs，距地球距離為L，可推得地球大氣層外接收恒星光譜輻流量為[30]

由式（5）可知，雖然恒星在各波段輻流量受到恒星溫度、半徑、距地距離的綜合影響，但對于同一顆恒星，光譜輻流量表達式中僅存在未知數T和A，理論上利用恒星在不同波段的能量值Fearth，即可聯立方程求出恒星溫度T及參數A。但式（5）為超越方程，其解算十分復雜，常出現多值解、無解等情況。文獻[13]通過給定不同初始溫度T進行測試，將普朗克公式在初始溫度為7000 K處泰勒展開至30項進行逼近求解，對WISE星表中遴選的1000顆恒星取得了較好的推算結果。但是這種遴選恒星的測試方法取得的解算精度具有很大偶然性，結果也缺乏說服力。

由于恒星實際輻射光譜十分復雜，不僅受恒星溫度影響，還與恒星結構、大小、金屬豐度、表層大氣等因素有關，加之巴爾末跳變等現象，恒星實際輻射并不完全符合黑體輻射[32,33]。圖2[34]為典型的低溫、高溫恒星與黑體輻射曲線的擬合示意。由圖2可知，雖然從整體上看恒星輻射可近似視為黑體輻射，但在不同波段處恒星對應的色溫存在明顯不同。文獻[14]采取聯立恒星多個波段星等能量數據，使用單一色溫的黑體輻射曲線擬合整個恒星的輻射光譜，必然造成精度下降甚至擬合失敗。

圖2 恒星輻射光譜Fig.2 Schematic diagram of stellar spectral radiation

3 基于恒星輻射光譜的星等計算方法

3.1 計算原理

星表星等數據是在測光波段對恒星直接進行觀測獲取的星等信息，具有很高的精度，由于恒星不能視為絕對黑體，依據已知恒星測光星等數據，單純采用色指數擬合、黑體輻射方程求解等傳統方法進行星等推算很難獲得較高精度。因此求解傳感器響應波段星等信息的思路可歸納為：首先在星表中尋找與傳感器響應波段相關的測光波段，計算恒星在對應波段的星等差值；如果星表中沒有匹配的測光波段星等信息，再綜合恒星色指數信息在傳感器響應波段區間進行普朗克方程求解。該方法既充分利用星表已有的高精度測光星等數據，又克服了小區間普朗克方程解算困難、多波段解算精度下降等問題。

雖然恒星在不同波段對應不同的色溫度，但其總在恒星實際溫度相接近的范圍內緩慢變化，在一定波段區間內恒星的色溫度可視為不變。若恒星溫度為T，星表測光波段為[λ1,λ2]，則恒星星等由下式確定：

式中，Fstar為星表測光傳感器接收到的恒星輻流量，Fzero表示以標準星確定的0星等接收輻流量，S(λ)為傳感器光譜響應函數。對傳感器接收的恒星輻射流量在有效波長λeff處進行泰勒展開，有

有效波長定義為

則式（7）可進一步整理得

式中ε2表示二次及以上展開項，數值較小，近似計算時可以忽略。恒星在傳感器響應波段 [λ′1,λ′2] 的星等與恒星在星表測光波段 [λ1,λ2] 處的星等差值為

式中，為目標波段0星等輻流量，為目標波段有效波長 。由于航天工程應用的傳感器一般為寬帶濾光，設計的光學響應波段具有高量子效率，因此傳感光譜響應函數S′(λ)可視為常值S′。式（10）可進一步簡化為

由于準確測量傳感器響應波段有效波長較為困難，實際可用波段中心波長替代[25]。令λn為目標波段[λ′1,λ′2]中心波長(λ′1+λ′2)/2，則有

式（12）即為恒星在星表測光波段與傳感器響應波段星等差值模型，當不考慮傳感器光譜響應度影響時，S′(λ)可直接取1。式中Δmag3為0等星標準、光譜響應效率差異等引起的固定差值量，數值較小且并不影響恒星相對星等計算，因此以星表測光波段星等作為傳感器響應波段，星等存在的誤差可分解為黑體輻射線性近似誤差Δmag1和中心波長與測光有效波長偏置誤差Δmag2兩項。

為定量分析以星表測光波段星等作為傳感器響應波段星等存在的誤差，設恒星在目標波段對應色溫T為10000℃，按照中心波長λn=500～10000 nm，帶寬Δλ=λ2-λ1=100～1000 nm，計算中心波長λn處的輻流量，作為恒星在[λ1,λ2]整個波段輻流量均值產生的星等誤差Δmag1，如圖3（a）所示；取中心波長λn=600～10000 nm，傳感器響應波段中心波長與星表測光波段有效波長差值λn-λeff=-100～100 nm，傳感器響應波段中心波長與測光有效波長偏置產生的星等誤差Δmag2如圖3（b）所示。

圖3 星表測光波段與傳感器響應波段星等差值Fig.3 Difference in magnitude between the photometry band of the star catalog and the sensor response band

由圖3可知，在仿真波段區間內，大多數情況星等差值Δmag1和Δmag2均在0.1個星等以內，傳感器響應波段中心波長λn越長，帶寬Δλ越窄，中心波長λn與星表測光波段有效波長λeff越接近，采用星表測光星等作為傳感器響應波段星等產生的誤差越小。由圖3（a）可以看出，當帶寬為500 nm，中心波長為1000 nm，黑體輻射線性近似產生的星等誤差Δmag1為0.1個星等；當中心波長超過4000 nm，帶寬小于1000 nm時，黑體輻射線性近似產生的星等誤差Δmag1小于0.05個星等；由圖3（b）可知，當中心波長為1000 nm，λn與λeff偏置誤差為50 nm時，由中心波長偏置引起的星等誤差為0.1個星等；當中心波長大于5000 nm，偏置誤差小于100 nm時，中心波長偏置引起的星等誤差小于0.05個星等。目前各星表提供的恒星測光星等誤差一般都在0.1等以內[20,35-38]，而對于定標星遴選、星等排序、導航星表建立等工作，恒星星等精度達到0.3等即可滿足要求[39,40]。通過對公開星表信息調研統計可知，在短波區間恒星測光數據較為密集，在長波區間較為稀疏。表3[26,35,37,41]列出了常用公開星表測光波段數據。

表3 部分星表測光波段數據Table 3 Partial photometric band data of open star catalog

若在現有星表中無法找到滿足星等誤差小于0.2的測光波段，則需利用恒星黑體輻射性質計算恒星在傳感器響應波段的星等。由于基于黑體輻射的超越方程組存在多值解或者無解等問題，可先使用恒星的色指數計算恒星表面近似溫度T′，在T′處對式（5）進行泰勒展開并選擇與T′值最接近的解作為恒星在該波段對應色溫度T，進而推求恒星指定波段星等。具體恒星傳感器響應波段的星等推算流程如圖4所示。

圖4 恒星傳感器響應波段星等計算流程Fig.4 Flow chart of star sensor response band magnitude calculation

3.2 具體步驟

步驟1取λn為傳感器響應波段 [λ1,λ2] 的中心波長值，根據普朗克公式分別計算恒星在中心波長λn處光譜輻流量Fstar(λn,T)和 [λ1,λ2] 波段區間輻流量Fstar(T)，其分別為

步驟2根據式（12）計算以λn處光譜流量值Fstar(λn,T)作為恒星在 [λ1,λ2] 區間光譜輻流量均值產生的星等誤差，即

式中Δλ為傳感器響應波段 [λ1,λ2] 的帶寬。

步驟3若Δmag1小于設定閾值0.2，則在星表測光波段中尋找最接近λn值的測光波段，計算恒星在該測光波段有效波長λeff處與中心波長λn處對應的星等差值：

步驟4計算以星表測光波段星等作為傳感器響應波段[λ1,λ2]星等產生的星等誤差為Δmag1+Δmag2。不同溫度恒星對應的Δmag1+Δmag2值會有微小差別，由于恒星溫度普遍在2000～20000 K內[42]，計算時恒星溫度T可取10000 K。

步驟5若步驟4 計算Δmag1+Δmag2小于0.2，則恒星在傳感器響應波段 [λ1,λ2] 的星等為

其中m為星表測光波段星等。若Δmag1+Δmag2大于0.2，則進入第6步。

步驟6根據星表中恒星色指數，按照經驗式（4）計算恒星近似表面溫度T′，并將普朗克公式中eC2/λT在T′值處泰勒展開為30項。

步驟7在星表中尋找有效波長在 [λ1,λ2] 附近的所有測光波段，分別選擇有效波長與λ1，λ2最接近的兩個測光波段λi，λj，計算測光波段星等對應的能量值Fi，Fj。依據式（5）構建方程組，有

對超越方程組式（17）進行求解，取與恒星近似表面溫度T′最接近的色溫度T為恒星溫度，可以推算恒星在[λ1,λ2]波段到達地球的輻流量。

步驟8計算 [λ1,λ2] 波段Vega輻射流量，作為該波段0等星輻流量基準，按照

可以計算待測恒星傳感器響應波段星等。

4 實際星表驗證

4.1 星表測光波段與儀器響應波段星等誤差模型驗證

Hipparcos星表Hp波段為寬帶寬測光波段，（Hp小于9等，星等精度優于0.0015[43]），半波帶寬為225 nm，有效波長為550 nm，因此該波段星等可近似視為恒星438～663 nm波段星等[25]；Tycho星表VT波段為中帶寬測光 （VT小于9等，星等精度優于0.0013[44]），半波帶寬為100 nm，有效波長為510 nm[26]。代入式（12）計算可知，以Tycho星表VT波段星等作為恒星在411～645 nm波段的星等，誤差為0.19個星等。GAIA星表中G波段為寬帶寬測光波段（G小于13等，星等精度優于0.02[45]），半波帶寬為420 nm，有效波長為585 nm，可近似視為恒星375～795 nm波段的星等，USNO星表中R波段為窄波段測光波段（星等精度優于0.03[46]），半波帶寬為125 nm，有效波長為625 nm[47]，代入式（12）計算可知，以USNO星表R波段星等作為恒星在375～795 nm波段的星等，誤差為0.30等。

隨機選取Hipparcos星表中30000顆恒星，統計恒星在Hipparcos星表中Hp波段星等與Tycho星表中VT波段星等差值，如圖5（a）所示；隨機選取GAIA星表中30000顆恒星，統計恒星在GAIA星表中G波段星等與USNO星表中R波段星等差值，如圖5（b）所示。

圖5 星表星等差值統計Fig.5 Statistical chart of star magnitude difference in different star catalogue

對于圖5（a），取恒星在有效波長為510 nm的測光波段星等為恒星438～663 nm波段星等，星等誤差小于預估值0.19的占96.9%，小于0.5個星等的占99.7%，平均誤差為0.05個星等，方差為0.08個星等。對于圖5（b），取恒星在有效波長為624 nm的測光波段星等為恒星375～795 nm波段的星等，星等誤差小于預估值0.30的占93.4%，小于0.5個星等的占98.3%，平均誤差為0.16個星等，方差為0.15個星等。具體見表4。

表4 星表對應波段星等差值統計Table 4 Magnitude differences of star catalogue for corresponding bands

由表4可知，將傳感器響應波段星等與星表測光波段星等差值分解為黑體輻射線性化誤差、中心波長與有效波長偏置誤差的計算模型，可以很好地評估采用星表測光波段星等作為傳感器響應波段星等的誤差。實際星等誤差大部分小于模型預測值，分析其原因，一是實際恒星溫度多在6000 K以下，采用10000 K的溫度值計算模型誤差變大；二是星表測光星等為恒星在帶寬區間積分能量對應星等；三是部分特殊恒星輻射光譜與黑體輻射光譜差距較大。

如圖5所示，星表星等差值Δmag存在明顯的系統性，這是不同測光波段0等星標準、光譜響應函數不同誤差Δmag3和測光波段有效波長不同誤差Δmag2系統性引起的。通過對比圖5（a）與（b）可以發現，隨著待求波段帶寬增加，待求波段中心波長與測光波段有效波長差值增大，使用星表的測光星等作為傳感器響應波段星等的誤差急劇增大，誤差的不確定性也迅速提高。一方面是因為帶寬增大，恒星溫度不同因素影響迅速增大； 另一方面恒星在不同波段區間產生的色溫變化越大，按照黑體輻射進行星等誤差估計出現的偏差就會越大，但總體還在可控范圍內。

4.2 黑體輻射推算傳感器響應波段星等驗證

隨機選取2 MASS星表（K波段亮于13等恒星，星等精度優于0.03等[48]）15000顆恒星，根據恒星mp-mv色指數按照式（4）計算恒星近似表面溫度。利用恒星在J與K波段星等數據，結合恒星近似表面溫度，解算恒星色溫度最優值T，根據恒星色溫度T計算恒星在H波段星等。統計恒星推算星等與恒星在2 MASS星表中H波段星等差值，如圖6所示。

圖6 黑體輻射推算星等誤差統計Fig.6 Statistical diagram of magnitude error in blackbody radiation estimation

由圖6可知，采用本文方法，選用傳感器響應波段貼合度較好的波段星等信息，解算恒星色溫度，進而推算恒星在指定波段區間星等的方法整體具有較高精度。在不考慮星表恒星星等精度的前提下，其中33.1%可達0.05等，62.2%可達0.1等，93.3%恒星星等計算精度可以達到0.2等以上，99.9%恒星推算精度在0.5等以內，平均星等誤差為0.087等，方差為0.066等。同時利用恒星色指數反映的恒星近似表面溫度作為先驗信息，可以準確求解黑體輻射組成的超越方程，方程全部解算成功，推算的恒星色溫度也具有很高精度，說明賦予恒星溫度先驗信息的解算方法具有很強的適應性與穩健性。

5 結語

精確的恒星星等信息在星敏感器、天文測量、衛星定標等空間應用中具有重要意義。本文基于恒星輻射光譜特點，利用已有星表測光信息，提出一種傳感器響應波段星等計算方法。該方法構建了傳感器響應波段與星表測光波段星等之間的差值模型，有效解決了恒星色溫變化、普朗克超越方程解算困難等問題，同時該方法不需要過多的恒星基礎數據信息和假設、限定條件，相比現有方法具有明顯的穩健性和可行性。通過實際星表驗算可知，本文所提方法對傳感器響應波段星等推導精度為0.066等（1δ），93.3%恒星推算誤差優于0.2等，可滿足導航星表建立、航天器定姿、紅外相機定標等應用的需求。

致謝中國科學院紫金山天文臺陳志維研究員在課題研究與論文寫作中提供了指導幫助。