動態幾何環境中的證明與反駁

孫丹丹 栗小妮

【摘 要】 猜想、證明與反駁是數學發展過程中至關重要的數學活動，促進信息技術與數學課程的深度融合是2022年義務教育數學課程標準的基本課程理念之一.結合三個具體案例分析動態幾何環境中的證明與反駁活動，闡述案例的背景、活動設計及價值，并一般性討論了啟發式反駁活動的教育功能.

【關鍵詞】 信息技術；Geogebra；證明與反駁；反例

在數學發展過程中，新知識的形成往往要經過若干階段，其中嚴密證明通常是最后一個階段，在此之前，數學研究者首先需要識別和重組一些重要的事實成為有意義的模式，基于模式形成猜想，然后以新的事實或證據驗證猜想，并可能需要修改猜想以回應反例，最后才解釋及論證事物是否及為什么以某種特定方式運行^[1].數學學習的過程應該反映數學創造的過程^[2]，然而，在中學數學中，證明經常以一種完成了的標準形式化的方式呈現，沒有其他數學活動支撐，這導致即便是對一些數學表現很好的學生而言，數學證明也僅僅是技巧的組合，而非加深其數學理解的必要活動.如何設計包含猜想、證明與反駁的課堂任務以增進學生對數學證明活動本質的認識及邏輯推理素養的提升是本文的討論主題.

動態幾何環境是指可動態處理幾何圖形的信息技術環境，依賴于特定信息技術軟件，如Geogebra、網絡畫板等.在動態幾何環境中，學生很容易接觸到各種各樣的數學實例，這些實例很難在非信息環境或靜態幾何環境中構造^[3]，根據多樣的實例，學生更可能做出數學猜想.此外，動態幾何環境的另一優勢是可通過拖動幾何對象等操作實現對象的連續變化，相比一系列離散的實例，連續變化的實例更有利于支持學生洞察變化表象中的不變和突變屬性.基于以上特性，動態幾何環境可能會對學生數學證明過程提供有益支撐.本文嘗試分析動態幾何環境中包含猜想、證明與反駁的數學證明活動設計及這種活動設計的教育價值.

1 啟發式反駁

在《證明與反駁》一書中，拉卡托斯論述了非正式的、擬經驗的數學不是通過一味增加確定無疑的定理而發展的，而是通過猜想和批判、證明和反駁而發展的^[1]168.數學家做出猜想或致力于一個給定的論斷，然后嘗試證明，在此過程中，會面對猜想、論斷以及證明的反駁，通過處理這些反駁來修正猜想、論斷以及證明，如圖1所示，啟發式反駁強調了猜想、證明與反駁的交互，這在數學發展中起著至關重要的作用.

啟發式反駁最初指基于反例修正猜想或論斷，后來將證明過程也作為反駁對象包括在內，啟發式反駁的定義拓展為發現猜想或證明的反例，并通過解決反例來修正猜想或證明^[4].值得說明的是，這里證明的含義是廣義的，包括非形式化的證明，也包括部分情況下猜想或論斷的演繹證明.與此對應的，反駁是指對猜想的真實性或證明的有效性提出質疑，反駁的對象不僅僅是猜想，也包括證明.拉卡托斯強調了證明與反駁的密切關聯，并將反駁證明中某步驟的例子及反駁猜想或論斷的例子分別稱為局部性反例及全局性反例^[1]6.什么時候會出現反駁證明中某步驟的局部性反例呢？一個有待證明的數學命題通常借助一個給定的圖形來描述，該圖代表了某種一般的情況^[5].然而，所畫的圖雖然是一般的，但仍然是單個、具體的，所以它雖然在某種程度上有普遍代表意義，但并不一定可以囊括命題描述的所有情況.這就造成證明過程可能隱含了某種假設，這種假設適用于該圖形代表的情形但不適用于命題描述的所有情況，由該圖形得到證明在其他某些特定情況下可能會失效.將給定的圖形轉化為滿足命題前提的不同圖形便可能生成證明的一個局部性反例，它可能反駁已有證明的某一步或某幾步，促進證明的修正完善.

啟發式反駁的意義不僅僅是反駁，因為它不僅包括發現反例以說明猜想或證明的錯誤，更重要地，它還包括通過反例對猜想和證明進行修正^[4].啟發式反駁中，學生存在的困難之一是發現猜想、陳述或證明的反例，因此，在啟發式反駁相關任務設計中，給學生提供工具輔助學生創造及發現反例非常重要，動態幾何環境蘊含這種潛能.在動態幾何環境中，學生可以選擇一個或多個對象，在屏幕上連續拖動它們改變圖形，生成反例.

2 案例及分析

下面將通過三個案例來闡述動態幾何環境支持下的證明與反駁活動，討論活動實施的必要性及價值.

2.1 反駁證明過程活用舊知——圓周角定理

圓周角定理是有關圓的一條重要定理.教材在給出圓周角定義后，往往引導學生測量發現同一條弧所對的圓周角的度數等于它所對的圓心角的一半，然后嘗試嚴格證明，檢驗猜想.實際教學中，在進行測量和得到猜想及證明之前，學生需要首先根據已知條件作圖，畫出一條弧所對的圓周角及圓心角，學生的一般作圖及常見輔助線構造方法如圖2所示.

證明如下：連接并延長AO，交圓于點E，因為AO=OB，所以∠BAO=∠ABO，同理，∠CAO=∠ACO. ???（1）

∠BOE=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，同理，∠COE=2∠CAO. ???（2）

所以，∠BOC=∠BOE+∠COE=2∠BAO+2∠CAO=2（∠BAO+∠CAO）=2∠BAC. ???（3）

上述方法證明了同一條弧所對圓周角是圓心角的一半，但依賴于圖2所示的圓周角與圓心角的位置關系.圖2所示的同弧所對的圓周角和圓心角位置關系是否具有普遍性？是否還存在其他情形？其他情形下以上證明是否還成立，對應的，圓周角與圓心角關系猜想是否還成立呢？這些問題的回答均依賴于對證明的“反例”的探尋.教師雖然可以直接給出所有同弧所對的圓周角和圓心角的可能位置關系，但信息技術環境有利于提供學生自主發現這些不同可能的機會.

如圖3（a）所示，在Geogebra軟件中，作一圓O，作弧BC所對的圓心角BOC及圓周角BAC.點A可在圓O上被任意拖動改變位置，動態圖見https：//www.geogebra.org/m/ykcprgqj.教師可給出任務及問題：在圓O上移動點A，之前的證明過程是否一直成立？有關圓周角和圓心角關系的結論是否一直成立？為什么？在學生拖動點A的過程中，圓周角和圓心角的位置關系不斷連續變化，可很多情況下上述證明仍然適用，直到學生將點A拖動到BO或CO的延長線上（如圖3（b）所示），繼續拖動點A，還有另外第二種新的位置關系出現（如圖3（c）所示）.在兩種新的同弧所對圓周角和圓心角位置關系中，原有證明失效，局部性反例出現，學生必須嘗試在這兩種情境中調整或修改證明中的一步或若干步，來判斷一般性猜想是否成立.

信息技術的價值在于提供了一個可以讓學生自主發現“局部性反例”的環境，讓學生體會到發現的樂趣，而不是被動接受，而且由于學生可連續拖動圓弧上的點A，學生也可以感受到除了圖3所示的三種位置關系外，不存在其他證明的“局部性反例”.雖然圖形的位置關系發生變化，導致原來的證明不再有效，但原圖形中某些位置關系被保留了，所以原有的證明可以為新情形下圓周角與圓心角關系證明提供啟示，學生需要思考原有證明哪些步驟仍然是成立的，哪些需要做調整.

以圖3（c）所示圓周角與圓心角位置關系為例，仍然采用原有輔助線作法，如圖4所示.原證明步驟（1）（2）中角的關系并未變化，關鍵變化在于∠BOC不再是∠COE與∠BOE的和，而是∠COE與∠BOE的差，∠BAC也不再是∠CAO與∠BAO的和，而是∠CAO與∠BAO的差，如此，較容易改變步驟（3），修改原有證明使其適用于新的情形.在這個過程中，學生首先在較為熟悉的問題情境中解決問題，然后在局部性反例的推動下，基于已有問題解決經驗，靈活運用已有知識處理相對陌生情境中的問題.

2.2 反駁證明過程促生新知——圓內接四邊形性質

北師大版初中數學教科書在九年級下冊圓周角與圓心角的位置關系一節，首先給出了圓周角定理，隨后引導學生探究圓內接四邊形的對角的關系、圓內接四邊形的任意一個外角及其內對角的關系.學生不難在教師的指引下一步步運用原有知識解決新問題，但可能會對新問題解決的動機不足.如下兩問題有助于激發學生探索欲望，實現兩部分內容的整合及過渡.

（1）如圖5所示，圓O上有四點A，B，C，D，作直線AC和BD，交點為E，△AEB和△DEC是否相似？寫出證明過程.

（2）在動態幾何環境中作問題（1）所示圖形，在圓O上移動點A，B，C，D，思考：問題（1）中的證明過程是否一直成立？問題（1）中兩三角形關系的結論是否一直成立？

在圖5所示情形中，問題（1）的證明需要用到圓周角定理，具體證明過程如下：

因為∠AEB=∠DEC（對頂角相等），∠BAE=∠CDE（圓周角定理），所以△AEB∽△DEC（兩對應角相等，三角形相似）.

問題（2）提示題目中A，B，C，D四點的位置關系并非只有圖5所示情形，其他位置關系可能構成以上證明的局部性反例或以上命題的全局性反例.反例的尋找是難點，信息技術環境使這種系統的搜索成為可能，在動態數學軟件Geogebra中，作圓O，在圓O上任取A，B，C，D點，四個點均可以在圓O上自由拖動，動態圖見https：//www.geogebra.org/m/nyevzyre.拖動點A，B，C，D，可以發現不同的位置關系，出現原證明的反例，課上重點討論圖6所示情形，其余情形較為簡單，可留作課下自行討論.

在圖6所示情形中，∠AEB和∠DEC不再是對頂角而是同一個角，所以雖然與問題（1）的證明論據不同，但∠AEB=∠DEC仍然成立.∠BAE和也∠CDE不再是同弧所對的圓周角關系，而是圓內接四邊形的一個外角及其內對角的關系，兩者是否仍然相等不再顯然，需要更多推理來證實或反駁.

通常教學在圓周角定理學習后直接引導學生分析圓內接四邊形對角關系，然后分析圓內接四邊形外角與內對角關系.每個問題要證明什么及用什么來證明都比較明確，問題難度小，可較快速得到結論.這里將兩個問題，連同圓周角定理的應用，共同嵌入在一個啟發式反駁活動過程中，由于圓內接四邊形對角關系與內接四邊形外角與內對角關系密切相關，后者是前者的顯然推論，所以不將其拆解為兩個任務，直接討論圓內接四邊形外角與內對角關系難度也不大，可以給學生多一點自主分析的空間.更重要地，在應用圓周角定理得到問題（1）的結論及證明后，由于問題條件具有不確定性，在動態信息技術支持下學生可變式出更多圖形關系，出現局部性反例，推動啟發式反駁，自然創造探究新問題的契機.在這樣的活動中，局部性反例是學生自己在操作中發現的，新情境與原結論之間的沖突促使學生進一步分析問題，鎖定問題關鍵——圓內接四邊形對角是否互補，促使新知識的誕生.

2.3 反駁已有猜想完善新知——三角形全等判定

全等三角形是初中重要主題，是圖形與幾何領域培養學生邏輯推理能力的重要載體.三角形全等學習的難點之一是兩邊及其中一組等邊的對角相等可否判定三角形全等.北師大版初中數學七年級下冊引導學生作兩條邊長分別為2.5cm和3.5cm，且長度為2.5cm的邊長所對角為40°的三角形，并給出圖7所示兩個三角形，接著給出結論：“兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不一定全等”.

僅根據圖7，學生最可能得到的猜想是：兩邊及其中一組等邊對角相等的三角形不全等.兩邊及其中一組等邊的對角相等的兩個三角形究竟是一定不全等還是不一定全等？如果不一定全等，何時會全等？教材給出的只是一個特殊的邊角關系實例，學生需要更多實例檢驗或修正最初猜想，信息技術環境有利于學生自主生成這樣的實例.

如圖8（a）所示，拖動點D可改變圓的半徑，動態圖見https：//www.geogebra.org/m/zj3xprm5.教師可給出任務及問題：為什么要以C為圓心作圓？改變圓的半徑，圓與射線AB的交點個數有幾種可能？這說明怎樣的問題？

教材給出的三角形兩邊長及其中一組等邊所對角度是一種特殊情況，在這種情況下，兩邊及其中一組等邊所對角相等，三角形不全等，但拖動點D很容易生成反例，這種反例是拉卡托斯所說的全局性反例，即可以反駁原有猜想的反例.反例之一如圖8（b）所示，隨著圓的半徑不斷增大，當半徑大于等于AC長度3.5cm時，圓與三角形一邊所在射線AB只有一個交點，這說明滿足這種條件時作不出兩個不同形狀的三角形，也即兩條邊長分別為3.6cm和3.5cm，且長度為3.6cm的邊長所對角為40°的三角形必全等，反駁原有猜想“兩邊及其中一組等邊對角相等的三角形不全等”，將新知修正完善為“兩邊及其中一組等邊對角相等的三角形不一定全等”.除圖8（b）所示情形，當圓與射線AB相切時，圓的半徑為一特定值，此時圓與直線的交點也只有一個，滿足特定條件的三角形也只有一個.

3 意義與價值

信息技術使圖形變換輕而易舉，圖形變換易生成反例，而反例是開啟反駁活動的鑰匙.反例類似一種變式，促使學生處理更加復雜或陌生的情境，靈活運用舊知解決問題.當學生不能使用已有結論處理反例時就創造了新知學習的需求，在此過程中有可能解決新問題從而驗證猜想，也可能反駁修正了原有猜想，完善新知識.

證明與反駁過程有利于激發學生內在探究動機.反例呈現的新情況與原有猜想及證明過程的對比促使學生產生認知沖突，這種沖突促使學生進一步探究問題解決方式.此外，反例的生成是反駁過程的必要前提，因為每種動態幾何軟件都有通過拖動點和線直接改變圖形的功能，所以動態幾何環境可助力學生創造各種圖形，進而支持學生自主發現反例.如此，教師結合教學目標設計適當難度的任務和問題，學生可在動手操作與理性思考中自主推進整個探究過程.

證明與反駁過程有利于鍛煉學生數學推理能力.已有研究指出學生對猜想所得結論進行反思和檢驗的能力不足，需要設計高層次的數學合情推理活動，讓學生經歷獲得猜想、檢驗猜想、加強或推翻猜想，乃至證明猜想的全過程^[6].本文案例是這方面的嘗試，學生首先生成初步證明或猜想，然后在信息技術的支持下發現反例，通過與原有猜想或證明聯系對比，提出新問題，通過分析解決新問題來加強或推翻猜想，在提出證明及構造反例的否定之否定過程中綜合提升邏輯推理素養.

證明與反駁過程有利于學生正確認識數學證明.證明與反駁的過程實際是解決多個互相關聯的問題的過程，一個個具體的問題通過任務設計嵌入到更大的探究活動中，服務于一個更上位的研究問題，這與單個的數學解題不同.學生在此過程可體會到反例發現的樂趣，反例與猜想證明的沖突，體會數學研究是怎樣在矛盾中推進的，窺探真實數學研究的全過程，培養正確的數學觀.

參考文獻

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作者簡介 孫丹丹（1991—），女，山東濟南人，博士;主要從事數學史與數學教育、信息技術與數學教育研究.

栗小妮（1984—），女，山西晉城人，博士;主要從事數學史與數學教育、數學教師知識研究.