厘清知識脈絡,重視數學概念的自然生成
——以“因式分解提公因式法”教學設計為例

李志東

(合肥經開實驗學校 安徽合肥 230000)

數學知識的學習是從認知數學概念開始,數學概念作為最小的數學認知元素,是學生未來學習公式、定理、性質等的基礎,厘清知識的脈絡,了解前后關聯,可以拓展學生數學思維能力。因此,概念教學的引入尤為關鍵,新概念的生成一定不是無中生有的,必然是以前概念為基礎,因知識延伸的需要,進一步生成發展出來的。教師應低起點、低跨度、循序漸進式地引入,充分利用類比的學習方法,盡可能使所有學生都能夠手動、嘴動、腦動,在探究新知的過程中一起探索、發現、思考和總結,共同體驗新知識的生成、發展和應用的自然形成過程。充分運用“最近發展區理論”,在課堂教學活動中落實數學課程標準中的“三會”——會用數學的眼光觀察世界,會用數學的思維思考世界,會用數學的語言表達世界。

下面以“因式分解提公因式法”一課為例,進行一節概念教學課的設計和分析。

一、教材內容及分析

(一)教學內容

滬科版數學教材七年級下冊第八章4.1.1的內容。

(二)教材分析及學情分析

學習“因式分解”之前已學過整數分解、整式乘法等知識,是整式的一種恒等變形。它與整式乘法是互逆關系,更是分式、二次根式、分式方程、一元二次方程、函數等知識學習的基礎,同時也是學生未來解決數學問題的有力工具。

(三)教學目標

1.通過回顧小學階段所學習的因數、公因數、分解質因數,引入新知,以“數”“式”類比,促進學生理解因式、公因式、因式分解的意義,最終掌握因式分解的概念。

2.通過對多項式的觀察,確定公因式,再進一步提取公因式,實現分解因式。

3.體會類比的數學思想,培養學生的觀察、分析能力,以及數學語言表達能力,進一步發展學生的逆向思維和推理能力。

(四)教學重難點

重點:理解因式分解的概念,并應用提取公因式法進行因式分解。

難點:靈活使用提公因式法分解因式,注意細節,不漏項,不丟項。

二、教學過程設計

(一)回顧“數”“式”學習,明確知識脈絡,引入課題

步驟1:學生已經在小學階段學過整數的分解因數,例如:6=2×3;30=2×3×5。

以下分解因數正確嗎?為什么?

30=5×6;12=3×4。

設計意圖:引導學生發現分解得不徹底,為分解因式學習做好鋪墊,做好“數”“式”的過渡和銜接,體現知識的自然生長過程。

請類比上面整數的分解過程,說說下面整式的因式分別是哪些。

ab,-3m2n,m(a+b-c)

歸納:發現都是整式積的形式,可自然引入因式概念。

讓學生默寫完全平方公式和平方差公式,再利用等式的對稱性寫出下列等式:

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

a2-b2=(a+b)(a-b)

ma+mb+mc=m(a+b+c)

觀察這些“式”的變形特點。

設計意圖:通過類比引出新的概念——分解因式,提高學生學習的積極性,提升課堂教學效果。

步驟2:引入因式分解的概念。

把一個多項式化成幾個整式的積的形式,叫作因式分解,也叫作把這個多項式分解因式。

“因式分解”的概念是抽象的文字表述,對于學生來說枯燥且難以理解。教師在授課過程中可以通過圖形等面積拼接問題的探討的方式,化抽象為具體,激發學生的興趣,還可以讓學生體會到拼圖中蘊含著因式分解的知識,輔助學生更好地理解和掌握新知識。以形表意,促理解,反之以數輔形,解難點,將“數形結合”的思想融入教學之中。

設計意圖:類比小學的分解因數,由“數”到“式”,實現知識的遷移,形成新的知識點和注意事項。作為定義性概念,可以通過“數形結合”的方式促進學生對概念的內化,同時結合相關的練習來鞏固,讓學生自然過渡到知識辨析觀察因式分解和整式乘法的關系。

知識辨析:下列各式哪些是因式分解,為什么?

(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc

(2)24x2y=3x·8xy

(3)-2x2+4x+1=-2x(x-2)+1

(5)8x2+12x=2x(4x+6)

(6)4x-2=2(2x-1)

學生在知識辨析的過程中,找條件、說依據,并歸納出因式分解概念的三個關鍵點:

(1)對象:多項式;

(3)注意事項:分解到不能分解為止。

設計意圖:典型例題采用設陷阱的方式呈現,糾錯的過程就是知識再掌握的過程,同時注意因式分解與整式乘法是互逆運算,辨析時多問為什么。結合師生評價,促進新知識點的內化,歸納出因式分解的三個關鍵點。

(二)由“數”到“式”,實現知識的自然生長和延伸

步驟3:多項式ma+mb+mc有哪幾項?每項有沒有相同的因式?

歸納:多項式中每一項都含有的相同因式叫作多項式的公因式,如上面的整式中每一項都含有一個相同因式m,m叫作這個多項式的公因式。

設計意圖:引入類比思想,教學過程中多提問,調動學生的積極性,形成教學互動。

步驟4:ma+mb+mc中的每一項都含有因式m,能不能將m提取出來?

提示:學生在小學階段學過乘法分配律的逆運算ma+mb+mc=m(a+b+c)。

(三)嘗試運用,分解因式——提公因式法

引例:ma+mb+mc。

這個多項式的各項含有公因式m,那么可以把公因式m提取出來作為多項式的一個因式,將提取公因式m后的式子放在括號里,作為另一個因式,即ma+mb+mc=m(a+b+c)。這種分解因式的方法叫作提公因式法。

如何找多項式中的公因式呢?

引例:嘗試找3x3y+6x2這個多項式的公因式,小組合作完成,并總結方法。找出多項式中各項公因式,需要從以下三個角度出發:系數,字母或式子,指數。

方法檢驗:

(1)3x+6y(2)ab+2a2c(3)4(m+n)2+2(m+n)x(4)-6x2y3z+8xy2

在方法檢驗的過程中,歸納出找多項式中各項公因式的方法:

(1)先找各項系數的最大公約數,作為公因式的一個因式。

(2)再找各項相同字母或因式的最低次冪,作為公因式的一個因式。

設計意圖:學生小組合作學習,學會用數學語言進行表達和概括,進而形成數感、量感和符號意識。以問題為驅動,可以更好地幫助學生理解和掌握找公因式的方法。

例1 知識應用,嘗試用提取公因式法分解因式。

(1)4m2-8mn(2)3ax2-6ax+3a

設計意圖:在這一過程中培養學生準確、嚴謹的思維品質。利用因式分解與整式乘法的互逆關系,檢驗分解是否正確,最后觀察是否漏項和分解是否徹底。

例2 能力提高,嘗試用提取公因式法分解因式

(1)2x(b+c)-3y(b+c) (2)3n(x-2)+(2-x)

設計意圖:關注項的符號,以及相反數等問題。通過課堂活動讓學生學會用數學的眼光觀察數量關系,抽象出研究對象的本質,形成數感、符號意識,以潤物細無聲的方式將數學學科素養落實到課堂教學活動中。

(四)綜合運用,鞏固拓展,分解因式

(1)-7a2+21a(2)x3y-x2y2+xy(3)6(x-y)3-3y(y-x)2

設計意圖:讓學生學會觀察,回顧解決問題的過程,反思解決問題的方法,形成具有個人特色的批判思維和創新意識。

(五)知識梳理,承前啟后

教師最后提問道:“本節內容學習已接近尾聲,同學們可以用自己的語言復述一下學習的相關知識點和學習方法嗎?以及涉及了哪些數學思想?后續會學習哪些知識點?”

設計意圖:學生能用準確的語言表述自己在數學探究活動中發現的新知和收獲,提升自信心。

(六)作業布置

基礎夯實題:

(1)復習今天上課的內容,整理好筆記,畫出本節課的思維導圖。

(2)完成教材75頁第2、3題,78頁第1、2題。

(3)復習完全平方公式知識后預習第二課時內容,標記出不明白的地方。

能力提升題:

(1)-4x3+x

設計意圖:在落實“雙減”政策的同時,做好因材施教,緊扣教材,精選練習,讓不同層次的學生在數學上得到不同的發展。

(七)板書設計

三、思考與建議

(一)立足課標,深挖教材,從整體看知識的前后關聯,促進數學概念的自然生成

本節知識在滬科版教材中僅僅是以舉例的形式呈現,需要教師深挖和細研教材,關注學段知識之間的聯系,厘清知識脈絡,精心設計,教學中才能更好地讓學生理解和掌握知識。為了實現既定的目標,將教學內容一分為二:首先是因數、分解因數的復習,有了方向上的引導,以類比的學習方式逐步引出因式、公因式,從整體看知識的前后關聯,新知自然生成,因式分解的概念正式登場,實現了知識點之間的無縫銜接,進而達到知識的自然遷移。學生只有理解了“因式”是什么,才能更好地理解“公因式”,所以授課時補充了教材中沒有直接呈現的知識點,當然教學中以學生小學時學習的“因數”概念引入“因式”概念,自然水到渠成。其次是提公因式法的教授,這部分內容以“數”的分解為開始,由“數”向“式”進行知識遷移,將類比的數學思想不斷融入教學中和學生的學習中,讓學生學會總結和歸納如何找到多項式中的公因式,同時用幾何語言進行概括與表達,這就是數學知識的自然生長以及數學素養的落實過程。

(二)聚焦探知過程,厘清知識脈絡,關注知識本質,精心設計,突破知識難點

本節知識是在學生已經經歷了“數”與“式”等相關知識和整式運算的學習后,自然過渡到因式分解的知識學習,它不僅僅是整式乘法的逆過程,更是影響著后續學習的成敗,它是工具型的知識,起著承前啟后的作用,對于課堂中的問題設計既要精心,又要有深度。關注知識本質的同時要突破難點,特別是在“雙減”政策背景下要充分利用好課堂教學主陣地,發揮學生的主體作用,進行知識的拓展和延伸,以類比學習為核心,促進學生生長型思維形成,實現預定的教學目標。在“數”到“式”的過渡學習中,利用類比思想學習,可以更簡潔、更方便地引導學生使用準確、規范的數學語言進行表達和概括,進而促進其對新知的理解與掌握。以經歷知識形成過程為本,發展學生的核心素養,從而達到提高學生類比遷移的能力,同時將本節知識的學習方法遷移到后面的學習中,實現單元整體教學的目的,整個過程不斷滲透和培養學生的核心素養。

(三)尊重個體差異的同時實施多元評價,激勵學生與教師及時反思

學生的認知基礎和認知水平等存在個體差異,所以合理評價對于教學效率的提升至關重要,教學相長不是一句空話,按照馬斯洛的需要層次理論,學生渴望得到教師和同學的認可,迫切想成功,所以正面、積極、多元的評價可以更好地激勵學生,促進學生參與到課堂教學的活動中,將學生主體的作用真正發揮出來,讓數學核心素養落地生根,彰顯數學育人價值。當然評價的方式應該是多樣化、多角度、漸進式的,在遵循實事求是的基礎上,激勵措施“看得見”“摸得著”,也可以是肢體、動作和面部表情上的評價。“三分課堂、七分課下”,有“思”才有“悟”,教學更是如此,每節課無論課前怎么備課,課后反思時都會發現有這樣或那樣的遺憾。因為授課對象有太多的不確定因素,所以不能只關注表層的情況,而是需要更多的思考。比如本節課作為一節概念課,在使用類比學習的方法引入新知后沒有留更多的時間給學生思考,很難實現知識的遷移;為了使教學環節完整,節約課堂教學時間,減少了提問學生的人數,都是以追問的形式完成的,沒有讓更多的學生表達或是闡述自己的發現和總結,這就是留“白”少了;教學時語速過快,同時對于課堂生成的問題沒有利用好,過于依賴自己的課程預設;等等。教學的最終目的是“扶上馬,送一程”,所以教學中需要更多關注學生以及反饋,及時做出相應的調整。

(四)賦予知識以“生命”,促進其生長與延續,滲透數學思想

教師會在引入新知前復習了學生小學時所學的分解因數,賦予相關知識以“生命”,結合剛剛學習過的整式乘法,融入類比學習的思想,在“數”的生長過程中自然引入“式”,即因式分解的概念,過渡自然,前后知識完美銜接,實現知識的再生長、再遷移和再理解。同時為方便學生對概念的理解,提升學生的學習興趣,自然過渡到通過圖形等面積拼接來了解因式分解的意義,數形結合的思想潛移默化地滲透在教學中。利用了恒等變形的思想來檢驗因式分解是否正確。提取的公因式可能是單項式,也可能是多項式,這里也涉及了整體思想和模型觀念,在方法總結中應用了化歸思想。當然在后續的學習中,通過不斷完善關聯的知識點,將其他數學思想慢慢融入教學中,傳授給學生,使他們真正做到學以致用、融會貫通,培養其創新意識。

(五)將信息技術融入板書設計,構建知識框架,凸顯知識的脈絡

本節課是一節概念課,內容比較抽象,將信息技術融入板書設計中,利用信息技術中的動畫演示、音視頻播放、標記、放縮、拖拽等功能,將本節課的主要內容、重點內容、難點內容、學習方法、例題等呈現出來,板書時用不同顏色的筆做標記、打箭頭、畫圈等突出重點和難點,提醒學生記筆記,并掌握記筆記的方法和技巧。從聲、光、電等角度吸引學生,這樣既有課堂互動,又有留白時間給學生去理解和掌握知識,在合作交流中形成知識框架,不僅方便課后的復習,也為學生總結知識并繪制思維導圖做鋪墊。在例題講解中,板演過程體現了知識生成過程中嚴謹的邏輯關系,知識脈絡清晰,能夠有效培養學生的推理能力和良好的數學學習習慣,也有助于學生理解知識的來龍去脈和新知的應用,著眼于學生的長遠發展、終身發展。

簡而言之,厘清知識脈絡,賦予知識以“生命”,如在探知數學概念自然生長過程中,讓學生愿意去學習和思考這些有溫度的數學知識,達到知識的內化,培養創新意識,形成數學核心素養,實現數學教育的價值。