體驗概念形成過程 發展數學學習能力

張子超

［摘? 要］ 數學概念是數學基礎知識的核心，是學好數學的“金鑰匙”. 為了幫助學生更好地理解和掌握數學概念，教師應多帶領學生經歷概念形成、發展、應用的過程，以此促進學生的數學學習能力和思維能力穩步提升.

［關鍵詞］ 數學概念；過程；學習能力

在高中數學教學中，大多數教師認為高中數學時間緊、任務重，對于那些已經得到驗證的概念沒有必要再“大費周章”地去探究，只要直接講給學生聽，讓學生背，然后利用相應練習幫助學生理解即可. 確實，這樣表面上看既節省了時間，提高了教學效率，又為學生提供了較多的練習時間，有利于學生解題能力的提升，是一件“一舉多得”的“好事”. 不過，直接講授很難讓學生深刻理解概念，這樣勢必影響學生后期靈活運用，限制學生長遠發展. 同時，練習難以體現概念的方方面面，不利于學生獲得全面的、正確的理解. 因此，在日常教學中，教師應注重概念教學，讓學生深刻理解概念，以此培養學生的“雙基”，落實學生的數學核心素養.

筆者以“直線的一般式方程”的教學為例，淺談幾點對概念教學的膚淺認識，供參考.

基本情況分析

1. 教材分析

在本節課教學前，學生已經學習了直線方程的四種形式，研究了直線斜率、傾斜角等概念，這些知識、經驗、方法為本節課教學提供了智力保障. 可見，本節課看似新課，然學生認識豐富，這為開展研究性學習活動打下了堅實的基礎. 另外，研究直線方程的一般形式，為研究兩直線的位置關系以及點到直線的距離做了充分準備.

2. 學情分析

學生基礎較好，獨立思考能力強. 根據教學反饋，學生已經熟練掌握了點斜式、斜截式等幾種直線方程的形式，并能夠靈活應用相關知識解決問題.

3. 教學目標

（1）理解直線的一般式方程的含義.

（2）掌握直線方程不同形式之間的轉化.

（3）通過研究二元一次方程來研究直線，體驗兩者的對應關系.

（4）激發學生的參與意識，鼓勵學生獨立思考和合作探究，培養學生良好的學習習慣，落實學生的數學抽象、邏輯推理等核心素養.

4. 教學重難點

探究并了解直線的一般式方程.

教學過程

環節1：回顧

師：前面我們已經學習了直線方程的四種形式，它們分別是什么？（教師點名讓學生回答）

生1：點斜式，y-y=k（x-x）.

生2：斜截式，y=kx+b.

師：非常好，看來大家對直線方程的四種形式已經了如指掌了，那么思考一下，這四種形式有沒有局限性呢？（學生積極交流，教師投影展示表1）

師：根據分析我們知道，以上四種形式各有一定的局限性，那么能否找到一種可以表示任意一條直線的一般形式呢？

生5：有，不過目前還沒有學.

師：探究這個問題前，請同學們先“做一做”. （教師用PPT給出練習）

練習：根據下列條件，寫出直線的方程.

（1）經過點P（-2，3），斜率是2；

（2）經過點（1，3），（-1，2）；

（3）在x軸上的截距為2，在y軸上的截距為-3.

（4）經過點（1，2），且與x軸平行；

（5）經過點（1，2），且與y軸平行.

練習給出后，教師選擇5名學生在黑板上作答，答案如下：（1）y-3=2（x+2）；（2）x-2y+5=0；（3）3x-2y-6=0；（4）y=2；（5）x=1.

師：很好，第（1）題中的直線方程還可以寫成什么形式呢？

生6：y=2x+7.

師：是否可以轉化為第（2）題和第（3）題那樣的形式呢？

生7：2x-y+7=0.

師：很好，如果將以上5個直線方程用統一的形式來表示，會是什么呢？（為了便于學生回答，教師給予提示：x的系數用字母A表示，y的系數用字母B表示，常數用字母C表示）

設計意圖 在教學中，引導學生從熟悉的直線方程的四種形式出發，通過探尋各種形式的局限性讓學生理解研究直線一般式方程的必要性. 在教學中，教師沒有直接給出直線方程的一般形式，而是引導學生經歷從特殊到一般的轉化過程，繼而得到直線的一般式方程Ax+By+C=0. 在教學中，教師從學生的已有知識出發，充分調動學生的積極性，發揮學生的主體作用，為接下來自主探究活動的開展奠定了基礎.

環節2：自主探究

師：現在請大家分組討論以下幾個問題.

問題1：平面直角坐標系內的任一條直線都可以用方程Ax+By+C=0來表示嗎？

（教師給學生3分鐘的時間進行分組討論，然后讓他們分享探究結果）

師：哪個小組來展示一下你們的探究結果？

生8：可以分兩種情況進行討論，①當直線斜率存在時，直線方程可以轉化為y=kx+b，即kx-y+b=0；②當直線斜率不存在時，直線方程為x=x，即x-x=0. 綜上可知，任一條直線都可以用方程Ax+By+C=0來表示.

師：說得非常好，其他小組有不同的意見嗎？（學生表示贊同該小組的探究結果）

師：接下來我們探究第2個問題. （教師用PPT繼續給出問題）

問題2：任一方程Ax+By+C=0都能表示平面直角坐標系內的一條直線嗎？

（同樣，教師讓學生分組探究，然后交流展示）

生9：我們小組認為，這個問題需要分三種情況進行討論.

③當B=0，A=0時，方程Ax+By+C=0表示一個點.

師：這位同學靈活運用了分類討論，是非常不錯的想法. 你們是否有不同的意見呢？

生10：我們小組非常贊同生9他們小組給出的前兩種情況，但是對于第三種情況我們有不同的意見. 當B=0，A=0時，方程Ax+By+C=0表示的不是一個點，不過具體是什么圖形我們現在也說不清.

師：當B=0，A=0時，到底是什么圖形呢？

生11：這個應該再分兩種情況進行討論，①當C=0時，表示平面內任一點均可；②當C≠0時，它不能表示任何圖形.

師：說得非常好，那么通過上述分析，若用方程Ax+By+C=0表示平面內的一條直線，對方程各項的系數有何要求呢？

生12：A，B不全為0.

師：很好. 通過問題1和問題2的探究，我們現在知道，直角坐標平面內的任一條直線都可以用方程Ax+By+C=0（A，B不全為0）來表示；反之，方程Ax+By+C=0（A，B不全為0）可以表示直角坐標平面內的任一條直線. 所以我們把方程Ax+By+C=0（A，B不全為0）稱為直線的一般式方程.

設計意圖 通過設計指向明確的問題，引導學生合作探究，互相啟發與幫助，最終發現直線和二元一次方程的對應關系，由此自然地引出直線的一般式方程的定義. 這樣讓學生經歷概念的形成過程，有利于他們理解概念，激發他們學習數學的熱情.

環節3：知識建構

師：通過前面的探究我們知道，直線的一般式方程可以表示任一條直線，這樣我們既可以用代數的方法來研究幾何圖形，也可以用幾何圖形來研究方程，實現數形統一. 現在請同學們思考一下，既然直線的一般式方程可以表示任一條直線，為什么我們還要苦苦探尋其他形式的直線方程呢？后面是否還會用到其他形式的直線方程？

設計意圖 引出直線的一般式方程前，對其他直線方程形式的局限性的探究，勢必讓學生產生以上疑惑. 在此將這些疑惑展示出來，利用生生互動和師生互動幫助學生排除疑惑，促使學生感悟直線的一般式方程的優越性，發現其在幾何意義表達上存在的缺陷，進而對直線的一般式方程的概念有更加深入的理解.

環節4：數學應用

師：我想大家一定迫不及待地想解決一些問題，現在問題就來了. 請大家看一下，以下問題如何解決呢？（教師用PPT給出問題）

問題1：求直線l：3x+5y-15=0的斜率以及它在x軸、y軸上的截距，并作圖.

求解問題1時，學生將直線的一般式方程轉化為斜截式方程，很快得到了答案.

問題2：直線l的方程為x+my-2m+1=0，請從形的角度補充條件，然后求出m的值.

問題2是一道開放題，教師為學生預留充足的時間讓他們獨立思考，然后師生互動交流，分享結論.

生13：直線的斜率為1.

生14：直線l與y軸相交于點（0，1）.

生15：直線l與x軸、y軸圍成的三角形的面積為1.

……

師：對于直線l的方程x+my-2m+1=0，當m變化時，直線有何共同的特征呢？

生齊聲答：直線l過一定點.

師：說說你的理由.

生16：直線l的方程x+my-2m+1=0可以轉化為x+1+m（y-2）=0，由此可知，直線l恒過點（-1，2）.

設計意圖 通過應用，讓學生正確理解直線的一般式方程的含義，并借助相互轉化讓學生理解直線方程各種形式的價值，增強學生的數學應用意識. 另外，開放題的設計有效拓寬了學生的視野，發展了學生的思維，有助于提升學生的解決問題的能力.

環節5：課堂小結

師：通過本節課的學習，你有哪些收獲？

生17：掌握了直線的一般式方程的含義.

生18：知曉了直線與二元一次方程的對應關系.

……

設計意圖 預留時間讓學生反思回顧，引導學生從整體和全局的角度更好地理解本章內容，幫助學生建立正確的、完善的認知體系，提高學生的數學應用能力.

教學思考

概念教學作為數學教學的重要組成部分，教師應注重學生對概念的深刻理解，這樣有利于培養學生的數學素養和創新能力. 反思本節課的教學過程，筆者談幾點心得體會.

首先，數學概念教學要從具體實例出發，讓學生更好地感知概念，能經歷概念抽象的過程，以此培養學生的數學概括能力，幫助學生理解概念的內涵、掌握概念的本質. 在高中數學教學中，有的教師認為，高考考查的就是解題能力，只要學生會解題，考試能夠取得好成績就是學好數學了. 因此，在概念教學中，部分教師只重點關注結果，很少帶領學生經歷概念形成和發展的過程，常將自己理解的知識、自己的經驗直接交給學生，然后用大量的練習，依靠“灌輸”和“題海戰術”讓學生理解和掌握概念. 不過，這種以“灌輸”和“題海戰術”為主線的教學活動，難以讓學生體驗數學探究的樂趣，不利于提升學生的數學學習能力.

數學概念教學不應只重點關注結果，也要重點關注概念形成和發展的過程. 在概念教學中，教師不妨從具體實例出發，帶領學生經歷數學探究和數學抽象的過程，以此培養學生的數學探究能力，激發學生的數學學習興趣. 例如，在本節課的回顧環節中，教師從兩方面入手，一是復習舊知，二是列舉實例. 在復習舊知階段，讓學生先回憶直線方程的四種形式，然后分析四種形式的局限性，從而引導學生主動探尋直線的一般式方程. 這樣通過新舊知識的對比，既易于引發學生思考，又能為學生學習知識鋪設臺階，有利于學生學習興趣的培養和學習能力的提升.

其次，概念教學應關注問題情境的創設，注重激發學生的數學思維. 數學學習離不開問題，它是激發學生潛能的“動力源”. 在傳統的概念教學中，大多是先學習理論再解決問題，體現了以“教”為中心的教學理念，影響了學生終身發展. 而“問題驅動教學法”體現的是“以生為本”的教學理念，其以相關問題為起點，讓學生利用已有知識和經驗探尋問題的解決方法，其關注學生獨立思考和合作探究能力的培養，關注學生綜合能力的提升. 教師作為數學課堂的啟發者和組織者，要善于結合教學實際提出有價值的問題，以此提高學生學習的主動性，激發學生的探究欲.

例如，在本節課的自主探究環節中，教師提出了兩個核心問題，讓學生親身體驗了由數到形、由形到數的過程，這樣不僅深化了學生對直線方程的理解，而且體現了“以生為本”的教學理念，發展了學生的數學思維能力.

最后，教師要放權給學生，為學生提供一個開放的、平等的學習環境. 在概念教學中，教師要鼓勵學生提出問題，這樣不僅有利于深化學生對概念的理解，而且有利于培養學生的創新意識. 例如，在本節課的應用環節中，教師提出了一個開放性問題，有效拓寬了學生的視野，豐富了課堂教學內容.

總之，在概念教學中，教師要改變傳統的灌輸式策略，要通過問題設計，引導學生去探究、去合作，讓學生體驗成功的樂趣，推動學生思維能力和探究能力的發展.