基于多通道卡爾曼濾波方法的磚砌體墻基本頻率識(shí)別

謝良海 彭斌 單祎瑩 王卓琳 任赟昊

摘要：基本頻率是評(píng)定磚砌體墻安全性的重要指標(biāo)。為在識(shí)別磚砌體墻的基本頻率時(shí)有效降低噪聲干擾，設(shè)計(jì)了多通道的動(dòng)力測試方案，并將卡爾曼濾波與奇異值分解相結(jié)合進(jìn)行降噪處理。首先，通過偽靜力試驗(yàn)獲取磚砌體墻不同的損傷狀態(tài)，并在環(huán)境激勵(lì)下獲取墻體在對應(yīng)損傷狀態(tài)下多個(gè)位置的加速度響應(yīng)記錄。然后，分別針對單一位置的加速度響應(yīng)記錄，采用KF方法引入墻體的物理參數(shù)進(jìn)行降噪處理，進(jìn)而識(shí)別墻體的基本頻率。最后，采用奇異值分解綜合利用所有降噪處理后的加速度響應(yīng)記錄，再識(shí)別墻體的基本頻率。識(shí)別結(jié)果符合基本頻率因損傷而降低的規(guī)律，能定量表示降低砂漿強(qiáng)度、增加開洞率和增加高寬比時(shí)基本頻率的變化以及墻體損傷發(fā)展的過程。研究表明：采用卡爾曼濾波方法能夠利用對墻體物理參數(shù)的合理先驗(yàn)判斷有效降低噪聲影響，較準(zhǔn)確識(shí)別墻體的基本頻率；在此基礎(chǔ)上，結(jié)合奇異值分解能夠綜合利用多個(gè)加速度響應(yīng)記錄中的有用信息，提高基本頻率的識(shí)別效果。

關(guān)鍵詞：磚砌體墻；基本頻率；卡爾曼濾波；奇異值分解；環(huán)境激勵(lì)

中圖分類號(hào)：TU 362

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Basic frequency identification for brick masonry walls based on multi-channel Kalman filtering

XIE Lianghai1，PENG Bin 1，SHAN Yiying 1，WANG Zhuolin 2，Ren Yunhao 1

（1.School of Environment and Architecture，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China;2.Shanghai Key Laboratory of Engineering Structure Safety，Shanghai Research Institute of Building Sciences，Shanghai 200032，China）

Abstract：Basic frequency is an important index for safety assessment of brick masonry walls.To effectively reduce the interference of noise in basic frequency identification for the walls，a multi-channel dynamic testing scheme was designed，and the Kalman filtering（KF）was combined with the singular value decomposition（SVD）to denoise.First，different damage states on brick masonry walls were imposed by pseudo-static tests，and then the acceleration responses at different parts of the damaged walls were recorded under ambient excitations.As the next step，the KF method that introduced the wallsphysical parameters was used to denoise for each of the acceleration record.The wallsbasic frequency was identified by using each denoised acceleration record separately.Finally，all the denoised acceleration records were combined by SVD，and the wallsbasic frequency was identified again.The identified basic frequencies decrease along with the increase of damage severity.The identification results quantitatively relate the change of basic frequency to the decrease of mortar strength，the increase of the opening rate，and the increase of the aspect ratio，and they quantitatively reveal the damage process of the walls.The research shows that the KF can use reasonable prior judgment about the wallsphysical parameters to effectively denoise and then accurately identify the wallsbasic frequency.The identification results can be further improved by combining useful information in multiple acceleration records through SVD.

Keywords：brick masonry wall;basic frequency;Kalman filtering;singular value decomposition;ambient excitation

基本頻率是磚砌體墻的關(guān)鍵參數(shù)，對評(píng)估磚砌體墻的安全性、評(píng)價(jià)加固效果等有重要作用。對既有磚砌體墻，其基本頻率可基于現(xiàn)場動(dòng)力測試記錄進(jìn)行識(shí)別。進(jìn)行動(dòng)力測試時(shí)，由于人工激勵(lì)不易實(shí)現(xiàn)且成本昂貴，一般采用環(huán)境激勵(lì)[1-2]。但基于環(huán)境激勵(lì)所獲取的測試記錄信噪比一般很低，不能直接用于識(shí)別基本頻率[3]。因此，降低測試記錄中噪聲的影響是一個(gè)關(guān)鍵的問題。

卡爾曼濾波（Kalman filtering，KF）方法可將對系統(tǒng)狀態(tài)的先驗(yàn)判斷與實(shí)測響應(yīng)記錄相結(jié)合，避免完全依賴包含誤差的實(shí)測記錄，且通過擴(kuò)展能夠綜合利用多個(gè)實(shí)測記錄的有用信息，在工程實(shí)踐中應(yīng)用廣泛[4-6]。在外部激勵(lì)已知和響應(yīng)記錄完整的情況下，可用該方法基于響應(yīng)記錄識(shí)別結(jié)構(gòu)物理參數(shù)[7-9]。在外部激勵(lì)未知、響應(yīng)記錄完整[10-11]或激勵(lì)和響應(yīng)部分已知的情況下[12-14]，可用該方法識(shí)別系統(tǒng)物理參數(shù)和未知外部激勵(lì)。

相比傳統(tǒng)濾波器，卡爾曼濾波器在處理非線性系統(tǒng)和非高斯噪聲時(shí)表現(xiàn)更加優(yōu)秀[15]，因?yàn)樗軌蚋鶕?jù)系統(tǒng)的實(shí)際情況對狀態(tài)和噪聲進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)和控制，而傳統(tǒng)濾波器只能處理線性系統(tǒng)和高斯噪聲。此外，卡爾曼濾波器還能夠?qū)崟r(shí)更新狀態(tài)和噪聲的估計(jì)值，適應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化。最后，卡爾曼濾波器在一定程度上能夠?qū)ο到y(tǒng)建模誤差進(jìn)行補(bǔ)償，提高估計(jì)和控制的準(zhǔn)確性[16]。

該方法對于降低既有砌體結(jié)構(gòu)動(dòng)力測試記錄中噪聲的影響具有潛在優(yōu)勢，但當(dāng)前的研究尚不多見。為探索其有效性，本文設(shè)計(jì)了4片磚砌體承重墻模型，首先通過偽靜力試驗(yàn)使墻體處于不同程度的損傷狀態(tài)，并在不同損傷狀態(tài)下基于環(huán)境激勵(lì)獲取8個(gè)通道的加速度響應(yīng)記錄。然后，將墻體的物理參數(shù)矩陣作為先驗(yàn)判斷，采用KF方法分別對單一通道加速度響應(yīng)記錄進(jìn)行濾波處理，初步識(shí)別磚砌體墻的基本頻率。在此基礎(chǔ)上，通過奇異值分解（singular value decomposition，SVD）挖掘多個(gè)通道響應(yīng)記錄中的有用信息，進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，提升墻體基本頻率的識(shí)別精度。

1磚砌體墻動(dòng)力響應(yīng)的卡爾曼濾波（KF）模型

1.1離散化的系統(tǒng)方程

將磚砌體墻離散為多自由度系統(tǒng)，在一致環(huán)境激勵(lì)下其動(dòng)力平衡方程為

式（1）可改寫為如下形式的狀態(tài)方程[17]：

對式（2）進(jìn)行時(shí)間離散可得到墻體的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下：

d.返回步驟a繼續(xù)下一時(shí)刻的計(jì)算。

上述過程不斷循環(huán)，可確定各時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)向量的估計(jì)值。這些值是在指定先驗(yàn)判斷（即系統(tǒng)的狀態(tài)方程）和給定實(shí)測數(shù)據(jù)的條件下，對整個(gè)系統(tǒng)發(fā)展過程的最優(yōu)估計(jì)。

可利用對系統(tǒng)的先驗(yàn)判斷降低噪聲的影響，是卡爾曼濾波方法的潛在優(yōu)勢。先驗(yàn)信息指的是在當(dāng)前時(shí)刻，根據(jù)前一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)和傳感器測量信息，預(yù)測出下一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)信息。先驗(yàn)信息的作用是提供一個(gè)先前狀態(tài)的估計(jì)，作為當(dāng)前狀態(tài)的初始估計(jì)，并利用先前狀態(tài)的不確定性來預(yù)測當(dāng)前狀態(tài)的不確定性。本文將利用磚砌體墻的有限元模型提供先驗(yàn)判斷，確定系統(tǒng)狀態(tài)方程中的各參數(shù)，并通過以下方式利用先驗(yàn)信息：

a.增加預(yù)測步驟。在預(yù)測步驟中，利用先驗(yàn)信息來預(yù)測下一時(shí)刻的狀態(tài)和狀態(tài)不確定性。通過增加預(yù)測步驟，使得濾波器對狀態(tài)的估計(jì)更加準(zhǔn)確和穩(wěn)定。

b.調(diào)整卡爾曼增益。卡爾曼增益反映了測量信息和先驗(yàn)信息的相對權(quán)重，通過調(diào)整卡爾曼增益來平衡測量信息和先驗(yàn)信息的貢獻(xiàn)。在狀態(tài)估計(jì)誤差較大的情況下，增加先驗(yàn)信息的權(quán)重，使得濾波器更加穩(wěn)定。

c.優(yōu)化初始狀態(tài)估計(jì)。通過利用先驗(yàn)信息，可以更好地估計(jì)當(dāng)前狀態(tài)的初始值，并且在后續(xù)的濾波過程中，利用測量信息不斷更新狀態(tài)估計(jì)。優(yōu)化初始狀態(tài)估計(jì)可以提高濾波器的收斂速度和穩(wěn)定性。

2既有磚砌體墻的偽靜力試驗(yàn)和有限元模擬

通過偽靜力試驗(yàn)在磚砌體墻中實(shí)現(xiàn)不同程度的損傷，以模擬既有結(jié)構(gòu)中承重墻的真實(shí)狀態(tài)。

2.1偽靜力試驗(yàn)

以3層既有砌體結(jié)構(gòu)底層磚砌體墻為原型，設(shè)計(jì)縮尺比例為1∶2的磚砌體墻試件[20]。考慮砂漿強(qiáng)度等級(jí)、開洞率和高寬比3個(gè)因素對墻體基本頻率的影響，共采用4片試件，編號(hào)為W1～W4，如表1所示。

按圖1所示的裝置對各墻體試件進(jìn)行偽靜力加載[20]。試驗(yàn)過程中，考慮墻體的約束條件和損傷情況，分別選取5種不同的狀態(tài)進(jìn)行基本頻率識(shí)別，如表2所示。

2.2有限元模擬

有限元模態(tài)分析的振型結(jié)果，可作為加速度傳感器布置的依據(jù)；有限元模態(tài)分析的頻率結(jié)果，可作為評(píng)價(jià)識(shí)別效果的參考。同時(shí)，由有限元模型可確定狀態(tài)方程中的各參數(shù)，獲得對系統(tǒng)（墻體）的先驗(yàn)判斷。

有限元模型的材料特性由材性試驗(yàn)結(jié)果確定[21]，對于W1墻體模型，取其砌體的彈性模量為2815 N/mm 2，泊松比為0.15，密度為1837 kg/m 3；對于W2，W3，W4墻體模型，取其砌體的彈性模量為3370 N/mm 2，泊松比為0.15，密度為1837 kg/m 3；4個(gè)模型中，取混凝土的彈性模量為30000 N/mm 2，泊松比為0.17，密度為2450 kg/m 3。單元采用8節(jié)點(diǎn)6面體單元，位移邊界條件按試驗(yàn)方案設(shè)置，頂部施加均布荷載來模擬豎向壓力。進(jìn)行模態(tài)分析獲得基本振型，結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知，4片墻體的基本振型均沿Z方向彎曲，且Y方向相同位置處的曲率一致。因此，對每個(gè)墻體試件，將加速度傳感器沿墻面高度豎向均勻布置，可采集不同信噪比的記錄。同時(shí)，在同一高度布置多個(gè)傳感器，可使同一信噪比的多組記錄在頻率識(shí)別時(shí)實(shí)現(xiàn)信息互補(bǔ)。另外，再在底梁上布置一個(gè)傳感器用于采集環(huán)境激勵(lì)，作為系統(tǒng)的輸入。各傳感器通道布置如圖3所示。

從各墻體的有限元模型中提取其剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C，將其作為狀態(tài)A和狀態(tài)I的先驗(yàn)判斷。各損傷狀態(tài)下質(zhì)量矩陣保持不變，剛度矩陣根據(jù)退化比例折減[20]，阻尼矩陣采用Rayleigh形式，并取前兩階振型計(jì)算，阻尼比均為0.05。

2.3環(huán)境激勵(lì)下的動(dòng)力測試

當(dāng)每片砌體墻處于表2所列的5種損傷狀態(tài)時(shí)，分別在環(huán)境激勵(lì)下進(jìn)行采樣，采樣頻率大于信號(hào)中最高頻率的兩倍即可保證采集的信號(hào)不失真。對于砌體墻來說，其基本頻率一般不超過70 Hz，根據(jù)有限元模態(tài)分析的結(jié)果并考慮到噪聲的影響。本試驗(yàn)按200 Hz進(jìn)行采樣，獲取其8個(gè)通道的加速度記錄，記錄長度均為213。其中，通道8的記錄為環(huán)境激勵(lì)、通道1～7的記錄為墻體加速度響應(yīng)。

3基于KF方法識(shí)別磚砌體墻的基本頻率

3.1基于單通道測試記錄的識(shí)別結(jié)果

從有限元模型中提取出參數(shù)矩陣，將動(dòng)力測試獲取的墻體加速度響應(yīng)進(jìn)行積分，得到速度響應(yīng)和位移響應(yīng)，將兩者應(yīng)用到上文的系統(tǒng)方程中。經(jīng)卡爾曼濾波濾除響應(yīng)中包含的噪聲，后對位移響應(yīng)求功率譜密度（power spectrum density，PSD），進(jìn)而拾取峰值確定墻體的基本頻率。以W1墻體在狀態(tài)A和狀態(tài)I下通道1為例，功率譜分別如圖4所示。

從圖4中可以看出：不論在簡單受力狀態(tài)A還是復(fù)雜受力狀態(tài)I，KF方法均能有效降低噪聲的影響，使功率譜突出峰值減少且均集中在低頻處，更好地反映砌體墻的動(dòng)力特性。

W1墻體經(jīng)KF濾波后各狀態(tài)各通道的基本頻率識(shí)別結(jié)果如表3所示。從表中可以看出：狀態(tài)B、狀態(tài)III下各通道識(shí)別結(jié)果相同，狀態(tài)A、狀態(tài)I下各通道識(shí)別結(jié)果較為接近，但狀態(tài)II下通道5，6的識(shí)別結(jié)果較其他通道明顯偏高。因此，在某些狀態(tài)下識(shí)別結(jié)果是穩(wěn)定的，體現(xiàn)了利用KF方法的降噪效果。但仍有部分狀態(tài)的識(shí)別結(jié)果不理想，還可作進(jìn)一步的處理。

3.2基于多通道測試記錄奇異值分解的識(shí)別結(jié)果

為了進(jìn)一步改善識(shí)別結(jié)果，引入SVD綜合利用所有通道記錄中的有用信息。可以采用先SVD后KF（方法一）和先KF后SVD（方法二）兩種處理方法。

按方法一， 將得到的 7 個(gè)輸出通道的速度、 位移響應(yīng)記錄分別組合為一個(gè)測試記錄矩陣 Ya， Yb 。 對Ya， Yb按下式進(jìn)行奇異值分解：

式 中 ： U 是 N×N維 酉 矩 陣 ； S=diag（λ1 ; λ2 ; ··· ; λr），常數(shù)λ1 ; λ2 ; ··· ; λr為奇異值； VT是l×l維酉矩陣。

對應(yīng)于奇異值λ1 ，可按下式構(gòu)造矩陣Ya（1） ; Yb（1）：

式 中 ： U（：; 1）為 矩 陣 U 的 第 一 列 ； V（1; ：）為 矩 陣 V 的第一行。

矩 陣 Ya， Yb綜 合 了 所 有 輸 出 通 道 的 信 息 ，Ya（1）， Yb（1）則包含了Ya， Yb中主要的信息成分。之后對Ya（1）， Yb（1）經(jīng) KF 方法處理，識(shí)別出基本頻率。

按方法二，將KF方法處理后的7個(gè)輸出通道的速度、位移記錄分別組合為一個(gè)測試記錄矩陣，進(jìn)行奇異值分解，同樣將除以外的奇異值置零，重構(gòu)矩陣后識(shí)別基本頻率。

兩種多通道處理方法和上文單通道處理方法識(shí)別的基本頻率結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差如表4所示。

從表3可以看出，采用方法二即先KF后SVD的方式，標(biāo)準(zhǔn)差為0，識(shí)別結(jié)果最理想。采用該方法，不同損傷狀態(tài)下的基本頻率識(shí)別結(jié)果如表5所示。

4墻體損傷過程的量化分析

將表4中的頻率識(shí)別結(jié)果以最大值為基準(zhǔn)，通過其他值占最大值的比例來量化基本頻率的變化規(guī)律，如圖5所示。偽靜力試驗(yàn)獲取的墻體剛度退化也以同樣的方法進(jìn)行量化，如圖6所示[20]。

在圖6中，對比狀態(tài)Ⅰ下各墻體的識(shí)別結(jié)果，可見砂漿強(qiáng)度的降低、開洞率的增加、高寬比的增加都會(huì)使砌體墻的剛度降低，從而使其基本頻率減小。相較于砂漿強(qiáng)度等級(jí)和開洞率，高寬比的變化對墻體基本頻率的影響更大。

在加載至開裂（狀態(tài)Ⅰ至狀態(tài)Ⅱ）及開裂至破壞（狀態(tài)Ⅱ至狀態(tài)Ⅲ）的過程中，W3的基本頻率下降幅度最大，其次是W1，最后是W4。這說明在砌體墻受力過程中，開洞率對墻體破損的影響最大，其次是砂漿強(qiáng)度，高寬比影響最小。

對比圖5和圖6，可以看出在各墻體加載至破壞的全過程中，所識(shí)別的頻率變換規(guī)律均與剛度退化規(guī)律一致。可見基本頻率識(shí)別結(jié)果是可靠的，能正確反映并量化砂漿強(qiáng)度等級(jí)、開洞率和高寬比對墻體損傷發(fā)展的影響。

5結(jié) 論

通過偽靜力試驗(yàn)使磚砌體墻處于不同損傷狀態(tài)，基于環(huán)境激勵(lì)獲取墻體對應(yīng)狀態(tài)的加速度響應(yīng)。采用KF和SVD相結(jié)合的方法進(jìn)行降噪處理，進(jìn)而識(shí)別對應(yīng)狀態(tài)下墻體的基本頻率。研究結(jié)果說明：

a.KF方法可將磚砌體墻的物理參數(shù)作為先驗(yàn)判斷，有效降低其動(dòng)力測試響應(yīng)記錄中噪聲的影響，為準(zhǔn)確識(shí)別基本頻率提供基礎(chǔ)。

b.KF方法對單個(gè)測試通道響應(yīng)記錄的降噪效果明顯，但多個(gè)測試通道之間基本頻率識(shí)別結(jié)果存在離散性。

c.將KF方法與SVD相結(jié)合，可綜合利用多個(gè)測試通道的有用信息，實(shí)現(xiàn)有效降噪，改善磚砌體墻基本頻率的識(shí)別效果。所識(shí)別的基本頻率可靠，其變化規(guī)律與偽靜力試驗(yàn)中墻體剛度退化規(guī)律一致。

d.采用本文方法降噪處理后，能夠通過所識(shí)別的基本頻率的變化，量化砂漿強(qiáng)度、開洞率和高寬比等因素對磚砌體墻損傷發(fā)展過程的影響，為評(píng)估其安全性提供依據(jù)。

總的來說，本研究成果對于砌體結(jié)構(gòu)墻體損傷識(shí)別方法具有一定的實(shí)用價(jià)值。但是鑒于實(shí)驗(yàn)中所使用的砌體墻由磚砌塊和砂漿砌筑成，非線性顯著，而且經(jīng)歷長期使用，本身損傷不確定，觀測噪聲也并不是高斯噪聲，常規(guī)的卡爾曼濾波方法可能具有局限性。在未來的研究中可以考慮一些針對磚砌塊和砂漿砌筑結(jié)構(gòu)的損傷檢測和監(jiān)測的非線性濾波方法，如擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）、無跡卡爾曼濾波（UKF）、粒子濾波（PF）等方法，同時(shí)也可以使用蒙特卡羅方法進(jìn)行粒子濾波來處理非高斯噪聲。

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（編輯：丁紅藝）