Boussinesq方程的孤子與Jacobi橢圓函數波的相互作用解及動力學研究

劉 鵬, 向靖峰

(貴州師范大學物理與電子科學學院, 貴陽 550025)

尋找非線性偏微分方程的解析解有助于解釋復雜的非線性物理現象, 非線性偏微分方程解析解的研究受到了許多數學家和物理學家的關注.隨著非線性研究的發展, 數學家和物理學家提出了很多有效的方法,例如分離變量法[1]、反散射法[2]、B?cklund變換[3]、Hirota雙線性變換法[4]、齊次平衡法[5]等,這些方法可以獲得非線性偏微分方程的孤立波解.隨著計算機技術的發展與非線性研究的深入, 計算機符號計算成為求解非線性偏微分方程的有力手段之一. 2000年,范恩貴[6]基于Riccati方程的精確解, 提出tanh函數展開法. 2001年, 劉式適等[7]提出了比Tanh函數展開法更通用的Jacobi橢圓函數展開法, 用于構造非線性波動方程的精確周期解. 2015年, 樓森岳[8]利用Riccati方程, 提出了求解非線性系統的相容的Riccati展開方法,即CRE方法, 該方法可根據非線性偏微分方程的CRE可解性條件來構造新的相互作用解．

1872年, 法國物理學家Boussinesq提出了著名的Boussinesq方程來解決兩個方向的淺水波運動問題.該方程為:

utt+αuxx+β(u2)xx+γuxxxx=0,

(1)

其中, 下角標x和t表示偏微分. Boussinesq方程主要用來研究等離子體物理、固體物理和流體力學等領域的物理現象[9]. 目前, 已經有很多報道尋找Boussinesq方程精確解的有效方法. 例如, 文獻[3]利用B?cklund變換得到Boussinesq方程的孤子解和周期波解. 文獻[10]利用Riccati展開法得到了Boussinesq方程的孤立波解和三角函數解. 文獻[11]利用F展開法得到Boussinesq方程的多種精確行波解. 文獻[12]使用雅可比(Jacobi)橢圓函數展開法得到Boussinesq方程的Jacobi橢圓周期波和孤立波解. 文獻[13]基于齊次平衡法給出了Boussinesq方程新的精確解, 并且研究了方程的混沌行為. 以上的這些方法沒有得到孤立波與Jacobi橢圓周期波的相互作用解. 本文將樓森岳教授提出的CRE方法應用于Boussinesq方程, 得到了孤立波與Jacobi橢圓周期波的相互作用解, 通過改變Jacobi橢圓函數的模數得到了相互作用解的不同動力學行為, 并作圖說明了這種復雜解的物理意義．

1 CRE方法簡介

考慮一個非線性偏微分方程

p(t,x1,x2,…,xn,u)=0,

(2)

設方程(2)有如下形式解

(3)

這里,u與w是關于x,t的函數;N為正整數,其值由方程(1)中的非線性項和最高階導數項平衡得到;R(w)是Riccati方程的嚴格解[8].Riccati方程的形式為

Rw=σ+R(w)2,

(4)

這里,Rw表示(dR(W))/dw,σ是常數.將(3)式和(4)式代入(2)式, 得到關于R(w)的方程, 并令R(w)各階次項的系數為零,求解得出ui的關系式,再將ui代入(3)式中進行求解就可以得到方程(2)的解.再令R(w)各階次項的系數為零,過程中得出方程數量多于未知數個數的情況,由此得到的代數方程組為超定方程組,解該超定方程組得到方程(2)的相容性條件

F(w)=0.

(5)

因此,只要方程(5)有解w(x,t), 將解w(x,t)代入(3)式中就可以得到方程(2)的解,即方程(5)是自洽的,說明非線性偏微分方程(2)是CRE相容系統[14].CRE方法可應用于證明一個系統為相容系統,并適用于尋找一個非線性系統的相互作用解．

2 Boussinesq方程的奇異孤立波解和三角函數波解

考慮形如(1)式的Boussinesq方程, 設其形式解為(3)式, 通過平衡非線性項和最高階導數項得到N=2, 由此得到方程(1)的截斷展開解為

u=u0+u1R(w)+u2R(w)2,

(6)

這里,u0,u1,u2和w是關于x,t的函數,R(w)是方程(4)的解,方程(4)含5個特解[15].

當σ<0時,

(7)

(8)

當σ>0時,

(9)

(10)

當σ=0時,

(11)

將(6)式和(4)式代入方程(1)中,從而得到關于R(w)的方程:

R(w)2u2tt+mu1wtt+2mR(w)u2ttwtt+

R(w)2u2xx+mu1wxx+2mR(w)u2wxx)+

2β((u0x+R(w)(u1x+R(w)u2x)+

m(u1+2R(w)u2wx)2+(u0+R(w)(u1+

R(w)u2))(2mu1xwx+4mR(w)u2xwx+

6R(w)4(6wx(2u2xwxx+wx(u2xx+u1wxx))+

4wx(6σu2xwxx+u1xxx)+

4wx(24σu2xwxx+u1xxx)+

(12)

其中,m=σ+R(w)2．

令方程(12)中R6系數為零,可得

(13)

令方程(12)中R5系數為零,可得

(14)

令方程(12)中R4系數為零,可得

(15)

令方程(12)中R3系數為零,并將式(13)～(15)代入,可得

(16)

將式(13)～(16)代入方程(12),求得Ri(w)的系數,應用軟件mathematica 12.0驗證其系數均為零.所以, 方程(1)是CRE方法可解的.(16)式是Boussinesq方程的相容性條件,只要證明w是方程(16)的解,則方程(1)有解

(17)

構造方程(16)有如下行波解

w=k1x+w2t,

(18)

這里,w是關于x,t的函數,k1,k2為任意常數．

由式(17)、 (18)和(7)可得孤立波解

(19)

由式(17)、 (18)和(8)可得奇異孤立波解

(20)

由式(17)、 (18)、 (9)和(10)可得三角函數波解

(21)

(22)

3 Boussinesq方程的孤立波-周期波相互作用解

由方程(1)的CRE性質,可構造該方程孤立波與Jacobi橢圓函數周期波的相互作用解.設(16)式的形式解為

w=k1x+w1t+F(k2x+w2t),

(23)

其中,k1,k2,w1和w1為任意常數.且令

F(k2x+w2t)=F(ξ)=F,

(24)

其中,F滿足第一類橢圓函數方程

(25)

這里,F1=Fξ;C0,C1和C2是常數.當

C0=1,C1=-(1+k2),C2=k2,

(26)

方程(25)存在特解[16]

F1=sn(ξ,k),

(27)

其中,sn表示Jacobi正弦函數,k(0

(28)

這里,令Fξ的各階次項系數為零,可以解得

(29)

將(26)式代入(29)式,可以得出(28)式成立的條件,

(30)

這里,k1,k2和w2是不全為零的任意常數.如上式(30)成立,則根據式(23)～(27),方程(16)有特解

(31)

其中,cn表示Jacobi余弦函數,dn是第三種Jacobi正弦函數[16].由(31)式可知σ<0,滿足Riccati方程的特解為式(7)和(8).將上式(31)和(7)代入方程(17),同時取C=0,從而通過求解得出方程(1)的一個孤立波和Jacobi橢圓周期波的相互作用解,

(32)

基于式(32),如果自由參數取值如下:

k2=-0.6,k1=0.8,w2=0.5,β=-1,

(33)

可以得到孤立波-Jacobi橢圓周期波相互作用解的空間結構和時間演化,如圖1所示.不同顏色曲線表示模數取值不同, 其取值分別為k=0.001(綠色),k=0.5(紅色),k=0.999(藍色).圖2是圖1對應的時-空演化圖及其密度圖.從圖1(a)結構圖可以看出,k=0.001(接近模量下限0的值), 相互作用解u退化為單個鐘型孤立波, 且幅度數值只接近1.808; 當k=0.5, 相互作用解u表現出含周期波的孤立波, 且幅度數值達到10左右.從圖2可看出, 當k=0.001和0.5時, 孤立波-Jacobi橢圓周期波相互作用隨時間變化的過程中,振幅幾乎保持不變, 體現了孤子能量守恒的性質.但當k=0.999(接近模量上限1的值)時, 從圖1(a)和圖2(c)看出u呈現出周期型變化,但從密度圖2(f)可以看出, 孤立波-Jacobi橢圓周期波相互作用導致了波形和幅度發生了變化．

4 結論

本文用CRE方法求解Boussinesq方程, 得到Boussinesq方程的相容性方程(16), 說明該非線性方程CRE可解.通過構造相容性方程(16)的不同形式解, 得到了Boussinesq方程單孤子解, 以及孤子與Jacobi橢圓正弦周期波的相互作用解.進一步, 作圖說明了在不同模數k條件下, 孤子與Jacobi橢圓正弦周期波的相互作用解的結構,以及隨時間演化的動力學行為. Boussinesq方程是一個著名的孤立子方程, 應用于眾多科學領域, 本文結論有利于深入認識該方程的物理意義．