超欠挖隧道斷面輪廓及分形特征研究

朱 林,陳 瑞

（葛洲壩集團交通投資有限公司,湖北 武漢 430033）

0 引言

眾多的公路工程實踐表明，公路隧道開挖中不可避免地存在超欠挖現象[1]，在采用鉆爆法開挖的公路隧道中尤為普遍、嚴重。超欠挖不僅會使得隧道圍巖的斷面輪廓與設計斷面存在明顯出入，改變初次襯砌的幾何形態，而且會影響局部隧道圍巖的應力狀態，進而削弱初次襯砌的承載能力。開挖后的隧道圍巖斷面輪廓，呈現明顯的不規則形態，如圖1 所示。

圖1 開挖后的隧道圍巖斷面輪廓

當前對于隧道超欠挖現象的研究主要集中在超欠挖現象的統計規律、原因分析和控制措施以及超欠挖發展預測等方面，例如IBRRA 和吳繼敏等[2-3]將超欠挖形成的原因歸為兩類：自然原因和人為原因，自然原因包括地下水、地下應力和穩定體等因素，人為原因包括預支撐不足和開挖方式不當等。劉冬[4]提出可以根據爆破效果和隧道圍巖地質條件，調整爆破參數，提高鉆孔精度。孫少銳等[5-6]基于地質統計模型理論和洞室超挖理論，編制計算程序對隧道的超挖情況進行了預測。顏敬[7]研究表明可以利用分維的動態特征評價巖體對象的安全性。

通過大量的統計分析，佘建[8]提出可以用鋸齒狀曲線近似模擬開挖后的隧道超欠挖樣本數據分布曲線，其具有較明顯的自相似分布特征，但目前對隧道圍巖級別與超欠挖斷面輪廓的分形特征研究較少。該文依托某隧道工程，基于現場實測數據，通過小波分析法研究了圍巖級別與超欠挖斷面輪廓分形維數的關系，為隧道的圍巖分級、支護設計提供依據，為超欠挖的治理提供參考。

1 超欠挖斷面輪廓的分形特征

1.1 測量方法

目前采集開挖后隧道斷面的超欠挖數值的測量方法有兩大類，分別是非接觸性方法和接觸性方法，非接觸性方法以激光斷面儀法、近景攝影法和三維激光掃描方法為主，接觸性方法以人員現場量測為主。其中，近景攝影法對測量段數據有直觀的立體認識，但受現場環境和相機性能影響較大；三維激光掃描法精度高、速度快、數據完整，但設備昂貴、后處理較為繁瑣；現場量測法簡單直觀，但工作量大且精度不高；激光斷面儀設站方便、處理簡單，但數據點相比三維激光掃描法較少，且數據存在偏差。

綜合對比上述方法的優劣勢，結合現場實際操作對比，該文采用激光斷面儀法為主，人員現場量測核對為輔的綜合方法，消除異常點數據的干擾。

1.2 小波分析法

佘健[8]研究表明，隧道超欠挖形成的斷面輪廓曲線具有較明顯的自相似分布特征，適用于分形理論研究。分形對象的典型特征是尺度變換而其分形維數保持不變，計算分形維數的方法眾多，近年來借助Matlab 軟件興起的小波分析方法具有計算簡單、抗干擾能力強的優點。基于小波的多尺度特點，運用其焦變特性，選擇適宜的小波變換，通過變換算法，即可計算出分形對象的分形維數。

分形理論研究表明，自相似性隨機過程X(n)的分形維數Df與自相似指數H有著線性關系：Df=2-H，基于王文圣[9]的研究成果可知：

式中，α——自相似性隨機過程X(n)的頻譜指數，當-1＜α≤1 時，α=2H-1；當1＜α＜3 時，α=2H+1。可以使用Matlab 軟件的小波分析工具箱得出頻譜指數α，從而基于上式計算X(n)的分形維數Df。在采集的隧道斷面超欠挖數據后，使用h表示超欠挖大小，h為正時表示超挖，h為負時表示欠挖，h的絕對值表示超欠挖的程度，絕對值越大，超欠挖越嚴重。n為測點序列號，規定右邊的第一個測點為起始點，每一個測點對應一個超欠挖值，排除異常測點和地面上的測點之后，將測點、超欠挖值（n、h）按順序依次排列，即可得到一個超欠挖數值序列：

h=X(n)，n=1,2,3,…N

將測點序列號n作為橫坐標，對應的超欠挖值h作為縱坐標，即可得到開挖后的隧斷面輪廓超欠挖數值序列曲線，如圖2 所示。

圖2 隧道斷面輪廓超欠挖數值序列曲線圖

超欠挖數值序列X(n)的離散小波變換系數設為dj,k，由分形理論可知，{dj,k}為X(n)在尺度a=j下的相似過程。對于該自相似過程，張鵬等[10]推導出dj,k的方差滿足：

式中，Var(dj,k)——j尺度下的小波方差，Nj——j尺度下的小波系數個數。等式兩邊同時取對數，即可得到：

1.3 基于小波分析計算Df

首先需要計算小波變換系數，從而求解線性回歸方程，得到頻譜指數，代入式（1）即可得到分形維數。該文借助Matlab 軟件提供的小波分析工具箱計算出小波變換系數，進而完成一元線性方程繪制。

（1）使用Db8 小波函數和5 層分解，對隧道斷面輪廓超欠挖數值序列進行逐層分解，計算不同尺度下的小波系數。

（2）根據式（3）計算5 層尺度下不同的小波變換系數對應的方差對數yj。依據計算得到的5 組(j,yj)數據，建立自變量為j、應變量為yj的一元線性回歸方程，由回歸方程可以得到頻譜指數α，即一元線性回歸方程的斜率。

（3）在得到頻譜指數α后，將其代入式（1），即可計算該超欠挖斷面輪廓的分形維數Df。

1.4 工程應用

某隧道位于廣西省西林縣境內，隧道總體走向約310°，進出口均為端墻式，隧道左線起止樁號ZK141+875～ZK142+200，設計長度為325 m，最大埋深約76 m，隧道圍巖以Ⅲ、Ⅳ級圍巖為主，采用鉆爆法開挖。

挑選17 個典型的開挖后隧道斷面現場量測數據，按照上述三個步驟進行數據分析，某一隧道斷面現場測量數據，如表1 所示。

表1 超欠挖現場量測數據

篇幅所限，該文隨機挑選一個開挖后隧道斷面現場量測數據進行計算演示，借助Matlab 軟件中的小波分析工具箱得到的不同尺度下小波系數方差的對數，如表2所示。

表2 不同尺度下小波系數方差的對數

擬合得到的一元線性回歸方程如下式：

由式（4）可以得到頻譜指數為0.600 1，如圖3 所示為小波5 層分解下擬合的回歸直線圖，該一元線性回歸方程相關系數R的平方為0.985 3，相關程度較高。將所得的頻譜指數0.600 1 帶入式（1），計算得到該隧道斷面輪廓超欠挖數值序列的分形維數Df為1.199 9。

圖3 Db8 小波5 層分解求取的回歸直線圖

對剩下的16 個隧道斷面現場量測數據同樣進行數據分析，分別得到16 組頻譜數值α、對應的分形維數Df和擬合的一元線性回歸方程相關系數R2，結果如表3 所示。

表3 超欠挖斷面輪廓頻譜指數和分形維數

由表3 可知，所有開挖后隧道斷面輪廓超欠挖數值序列的分形維數均在1.15～1.28 的范圍內，分形維數的平均值為1.213，具有很強的自相似性；同時，所有開挖后隧道斷面輪廓超欠挖數值序列擬合得到的一元回歸直線的相關系數平方均大于0.97，表明其具有明顯的分形特性。

17 個典型開挖后隧道斷面均對應著不同的圍巖級別，該文進一步研究了對應的分形維數與所屬圍巖級別的關系，得到圖像如圖4所示。由圖4可知，隨著圍巖級別增加，對應的分形維數也逐漸增大；同級別圍巖下分形維數也存在差異，分形維數的大小反映了該斷面的粗糙程度，分形維數越大，表明該斷面輪廓越粗糙。

圖4 圍巖級別與超欠挖數值序列分形維數關系圖

2 結論

該文針對傳統山嶺隧道鉆爆法開挖形成的超欠挖情況，基于激光斷面儀采集的現場超欠挖數據，采用小波分析方法求得超欠挖斷面輪廓界線的頻譜指數和分形維數，研究了隧道超欠挖斷面輪廓的分形特征，得到如下結論：

（1）所有開挖后隧道斷面輪廓超欠挖數值序列的分形維數均在1.15～1.28范圍內，分形維數的平均值為1.213，具有很強的分形特性和自相似性。

（2）隧道圍巖級別與分形維數的趨勢關系：隨著圍巖級別變大，對應的隧道斷面輪廓超欠挖數值序列的分形維數也逐漸增大，同時分形維數越大，意味著該斷面輪廓越粗糙。