利用不動點方法求遞推數列的極限

殷峰麗

摘 要：求遞推數列的極限是數列極限中一個非常重要的內容，常用單調有界定理，壓縮映射原理解決.本文利用不動點給出該類數列的解法，在解決復雜問題中有一定的優越性.

關鍵詞：遞推數列；遞推函數；不動點

數列極限在極限理論中占有非常重要的地位，遞推數列極限更是很多高校研究生入門考試中的考點之一.目前已有文章給出了用單調有界定理解決此類問題的方法^［1］，也有研究應用壓縮映射原理處理部分遞推數列極限^［2］，還有研究以不動點定理為依托，給出了判斷遞推數列極限的方法^［3］.不動點定理是泛函分析中的重點，也是難點.本文在已有研究的基礎上^［4］，僅僅利用不動點（與不動點定理的內容無關），給出了比較全面地解決此類問題的方法.

1 主要結果

2 應用舉例

3 小結

文中不僅給出了遞推函數為增函數的情況下遞推數列收斂性及極限值的求法，更重要的是還給出了遞推函數為減函數時如何判斷數列的收斂性.綜合以上情況，所給出的判別方法步驟可以分為以下三點：1） 求f（x）的不動點；2） 判斷f（x）的單調性；3） 若f（x）為增函數，由定理1判斷收斂性；若f（x）為減函數，由定理2判斷收斂性.步驟清晰明了，操作簡單易行，并且所用知識點：解方程、單調性、不等式等為學生所熟知的內容，學生更容易接受.

參考文獻：

［1］ 李淑鳳，謝威.求遞推數列極限的一種方法［J］.牡丹江師范學院學報（自然科學版），2015（2）：11-12.

［2］ 李萍.壓縮映像原理在判別數列極限存在中的應用［J］.中國高教論叢，2004，26（2）：19-22.

［3］ 張金.遞推數列的單調性與收斂性的進一步探討［J］.齊齊哈爾大學學報（自然科學版），2010，26（5）：85-87.

［4］ 裴禮文.數學分析中的典型問題與方法［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［5］ 朱少平.判定遞推數列極限存在的一種方法［J］.西安工程科技學院學報，2000，14（1）：109-110.

［6］ 單墫.解題研究［M］.上海：上海教育出版社，2013.