“數學建模”中的創新型教學實踐與探索

范馨月

（貴州大學 數學與統計學院，貴州 貴陽 550025）

引言

在國家“四新戰略”與地方大數據發展戰略的背景下，要支撐地方高速發展，需要在本地培養大量創新型人才。綜觀科學發展歷史及國家與地區的發展沿革，基礎科學的發展直接或間接地推動了科學技術的發展，并支撐了國家、地區的可持續發展，而數學作為基礎科學的核心，在創新型人才培養中的作用極為重要。因此，提升大學生數學應用能力、培養創新型人才已成為高校數學教師的首要教學目標。

在近些年的教學過程中，讓學生直接面對實際問題困難重重，暴露出傳統的大學數學教學存在著諸多問題，主要有以下幾方面：（1）理論教學與知識應用相分離，表現為教“書本”脫離“實踐”。（2）知識傳授與能力培養相脫節，表現為注重“知”疏于“識”。（3）教學創新路徑不清，表現為“重”方法模式“輕”學生發展關照。這些問題致使部分學生對數學既學不好，也用不好，嚴重阻礙了創新型人才的培養。

為解決這些問題，需要積極開展數學課程建設實踐探索，以培養創新型人才為目標、立德樹人為根本任務，圍繞創新能力導向、教學資源融合、數學課程建設、學習能力轉化，及時更新課堂教學理念，創新課堂教學方法，改革課程考核方式，切實提高本科人才培養質量。

數學建模是相關專業教學計劃中與數學應用緊密接觸的學科，已深入經濟學、自然科學與社會科學等各個領域，建立在數學分析、高等代數、概率統計、數值分析、計算機技術等理論知識的基礎上，為解決實際問題打下了堅實的基礎。課程的主要任務是讓學生掌握以下知識和技能目標：（1）訓練學生針對實際問題進行分析、建模的能力。（2）掌握數學建模的基本思想和方法，培養學生把實際問題化為具體數學模型的建模思維。（3）選用適當的數值方法并在計算機上實現編程的能力。（4）訓練學生對數值計算結果進行解讀與必要的分析能力。（5）鍛煉學生的計算思維、算法思維、建模思維能力，理解算法的構造思想，體會重要的科學和技術問題的算法構造思想。近年來，數學建模競賽在創新人才培養中起到積極的推動作用［1-2］，數學建模作為應用數學解決現實問題的思想和方法，是科學育人和創新人才培養的有效載體［3］，是學生科研能力提升的催化劑［4］。同時，數學建模思想已滲入初高中的數學教學和實踐任務中［5］。

一、創新性教學目標及教學內容

（一）課程教學理念及目標

“數學建模”課程遵循啟發引導、目標協同、動力支持、學以致用等方面多維并進的原則，注重理論聯系實際，將思政元素有機地融入課程設計中，多種教學方法和手段靈活應用，形成“以人為本，集知識傳授、能力培養、價值塑造于一體”的教學理念。構建“數學建模”課程的創新教學體系，制訂適應新時代的人才培養方案，在教學設計中倡導科教融合，切實提高學生的數學思維能力、數學應用能力、創新實踐能力，從而推動課程從知識體系為主逐步向知識體系與能力體系相融合，最終達到培養一流人才的目標，具體目標如下。

1.堅持立德樹人，切實開展課程思政建設。在課程的教學內容中滲入思政元素，把社會主義核心價值觀融入課堂教學中，引導學生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，實現課程與思政元素的有機結合，做到教書育人潤物無聲。

2.學以致用，做好課程的教學設計。本著“以學生發展為中心”的原則，按照“金課”“兩性一度”的要求，更新教學理念，挖掘課程內容的深度和廣度，以加深學生對本課程內容的理解，激發學生的科學鉆研精神，培養學生的創新意識。

3.崇尚實踐，豐富課堂教學手段。借助團隊社會實踐及合作單位實際問題，增加教學實踐環節，為學生提供豐富的實踐素材。

4.科學評價，完善教學評價體系。針對不同層次和專業的學生，實施個性化評價標準，強調學生自評的重要性，注重過程評價的及時分析和實時反饋，促進教師教學內容的調整和學生知識的鞏固，增強師生之間、生生之間的情感互動。

（二）課程教學內容

“數學建模”課程是各個學科領域中將理論知識應用于實踐工作的能力體現。一個是建模的能力，它是學科領域知識和專業理論知識應用的能力；另一個是求解模型的能力，它是數學建模的重要環節。

在建模能力的教學中側重如下三個方面：（1）從初等模型、離散模型入手引出數學建模的全過程，完整介紹數學建模的基本方法和步驟。（2）以經典數學模型入手，講授優化模型、微分方程模型、概率模型、統計回歸模型、博弈模型、圖論模型，讓學生掌握經典數學模型的建模方法及其特點。（3）引入優秀的建模案例及目前數學建模的新方法，比如蒙特卡洛方法、元胞自動機、神經網絡與深度學習方法等。從全國大學生數學建模賽題和合作單位提供的實際數據及問題讓學生動手實踐，開闊學生的視野并培養學生的建模思維。在求解模型的能力教學中側重如下三個方面：（1）介紹數據分析方法，包括數據處理、插值、擬合等，為建立數學模型打好基礎。（2）介紹求解數學模型的數值方法，包括數值積分、數值微分、常微分方程的求解、線性方程組的數值方法及非線性方程等，培養學生用數學方法解決問題的能力。（3）引入全國大學生數學建模競賽經典賽題以及合作單位的實際數據，讓學生動手建立數學模型并進行求解驗證。

在上述教學內容中要圍繞“加強基礎，強調應用”，著重培養學生分析與解決問題的能力及熟練運用數值方法進行計算的能力，訓練學生的邏輯思維能力、推理能力和建模能力。

二、創新性教學實例

數學模型的求解是傳統經典數值算法的主要載體，也是新工科的思想工具，為大數據、人工智能領域的主流算法奠定了基礎。其核心思想目前應用于科學計算的前沿領域，將課程思政貫穿教學設計和實施的全過程，可以實現創新性、教學形式先進性和互動性、學習結果探究性和個性化的教學［6-7］。

（一）Romberg求積法教學設計思路

積分的計算是具有廣泛應用的古典問題，在很多實際問題中，積分的數值計算問題是值得研究的。Newton-Cotes求積公式當n≥8時不穩定，復化求積公式對提高精度是行之有效的，但使用前必須給出合適的步長h，h太小則計算量增加，h太大則精度不能滿足，如何確定h的值是復化求積公式面臨的一個重要問題。Romberg求積法就是利用反復外推得到的精度較高的一種求積方法，可以通過外推技巧提高計算的精度。具體地說，就是在求積過程中將步長逐次折半，反復利用復化求積公式，直到相鄰兩次的計算結果之差的絕對值小于允許誤差為止。Romberg求積法單元課程目標主要包括知識與技能、過程與方法和情感態度三個類別。（1）知識與技能目標：重點理解Romberg求積法的構造思想，掌握Romberg求積法的構造方法和步驟，熟練采用Romberg求積法求解積分問題。（2）過程與方法目標：通過“劉徽神算”理解外推的基本思想方法及Romberg求積法，通過方法的講解和實例實現相關積分問題的計算，通過Romberg求積法求定積分的近似解。（3）情感態度目標：培養學生的數學思維和計算思維能力，樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀；可以適時激勵、感染、教育學生努力奮斗，攀登科研高峰；在新知識講解的過程中，不斷引導學生分析問題、解決問題，培養學生的思維能力、應用能力和創新能力；通過課堂新知識理論的教學，讓學生深刻感悟解決問題的不同方案及其優缺點，培養學生發現問題，利用數學思維思考問題并解決問題的能力，培養學生科學研究和創新創造的精神。

課程教學的邏輯環節采用BOPPPS模型的教學理念進行設計，具體包括情景引入、目標呈現、課前摸底、參與式學習、課內評估和總結提升六個基本環節，以確保課堂教學有更好的效果。（1）情景引入：采取與教學內容密切相關的智能機器人進行引入，幫助學生建立學習動機，通過理論聯系實際，啟發學生思維。（2）目標呈現：采用高爾頓釘板現場實驗的方式引出關鍵知識點，讓學生從總體上了解本節課的學習任務和要求，促進學生在后面各個教學環節里主動圍繞目標進行探索。（3）課前摸底：通過提問求積分的傳統方法、復化公式的誤差等形式引出關鍵知識點，讓學生從總體上了解學習任務和要求，促進學生在后面各個教學環節里主動圍繞目標進行探索。（4）參與式學習：通過演繹推導、討論等策略提出外推法的效果，鼓勵學生大膽猜測和交流，利用自由探索和有效互動促進學生更加積極主動地達成課程目標。（5）課內評估：單元知識點講解完成后，通過觀察、提問和互動、解題等形式來檢查學生對所學知識點的理解情況，檢驗學生的學習效果和教學目標是否達成。（6）總結提升：通過重點概念、方法及應用圖示回顧知識點，加深學生記憶，最后從規律、方法、應用等方面進行歸納提升。

（二）具體實施方案

以智能機器人切蔬菜做沙拉的場景引發學生學習興趣，機器人自由曲線運動的位置規劃問題的核心技術為求解定積分問題。高階能力提升，補充目前機器人自由曲線運動位置規劃的一般方法為用三次樣條插值函數逼近準確函數后，對其求差分的導數近似，代入穩定控制器后為一個優化問題，最優參數的確定便涉及求解多個定積分，將實際智能科技技術分解為學生能夠通過學習課程知識點可以達到的目標，激發學生的求知欲和探索精神。

直接推導變步長梯形公式余項得出Romberg求積稍顯生硬，很多漂亮的數學公式背后是數學家苦苦探尋得到的，將冰冷的數學公式呈現給學生不利于培養學生的探索精神和創新精神，也并非提升學生學習興趣的有效手段。我國當代著名計算數學家陳傳淼先生在紀念劉徽“割圓術”1 753周年時首次談對劉徽數學思想的新認識，延續王能超教授破解“割圓術”之謎的發現，揭開了“劉徽神算”的神秘面紗［8］。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，劉徽采用外推的思想計算了3 072邊形面積，得到π的近似值3 927/1 250（3.141 6）。“劉徽神算”中的外推思想比Richardson提出外推法早了16個世紀。

在教學時通過數形結合給學生講述劉徽的方田（圖1中的ABEF為“方田”，面積記為Tn），從而得到圓面積S*的區間范圍（S2n，S2n+（S2n-Sn）），再逐步導出外推式，在逼近的過程中，圓內接正2n邊形面積與正n邊形面積的偏差S2n-Sn作為校正量，生成圓面積S*的強近似值，從而舍棄了圓的外切多邊形的計算，相比阿基米德的窮竭法顯著地節省了計算量，劉徽用192邊形和96邊形面積進行加工的結果相當于3 072邊形的面積，在教學過程中讓學生跟著數學家的思維進行發現和探索，感受外推技巧的神奇，弘揚我國數學家不斷探索的數學精神。之后，通過推演與學生共同探討變步長梯形法的計算規律，由復化梯形公式的余項可得

圖1 劉徽“割圓術”中的方田ABEF

完全延續“劉徽神算”的外推思想，并驗證其為復化Simpson序列Sn。類似的思想得到具有5次代數精度的Newton-Cotes序列以及具有7次代數精度的Romberg序列。

結語

經典算法的構造思想在現代科學算法的構造中起著舉足輕重的作用，并且對數學模型的構造方法有一定的創新導向作用。數學是描述世界的一門語言，在這門語言上建立了一套理論體系。華羅庚在和王元院士一起編寫的《數學模型選談》［9］中開門見山地提出了他在多年具體實踐中體會到的普及數學方法的三個原則，即“為誰？”“什么技術？”“如何推廣？”。基礎科學怎樣和生產實踐緊密而有效地結合起來，這就是數學建模的過程。模型的求解就需要用到現代的數值方法，數值方法為模型服務，最終目標是回答現實問題、解決現實問題。Romberg求積是非常經典的且實用性很強的數值積分方法，其具有精度高、便于程序實現、收斂快等優點，廣泛應用于科學工程、人工智能、機電工程學及生物醫學領域等，計算機輔助制造依賴于對指定路徑上的運動的精確控制。在電影工業中，計算機生成的動畫、計算機游戲、虛擬現實應用面臨相同的問題［10］。正是面對如此廣泛的實際應用問題，如何教才能讓學生學會、學懂、學之有興趣、學之有所用，是值得我們深思的。課程思政并非口號，需要在課堂中自然融入科學研究和創新創造精神，發揮小課堂的大作為——立德樹人。