2023年湖南省高考物理壓軸題賞析、溯源與拓展

姚華鑫

(北京師范大學未來教育學院)

2023年湖南省高考物理試題以物理學科核心素養為導向,知識點覆蓋面較廣,突出時代性和實踐性,同時兼顧基礎性與選拔性.試題立足物理學科知識網絡體系,注重數學知識的運用,加強了綜合性,體現了高考試題服務選才的功能.其中的壓軸題是一道綜合物理規律與數學知識的題目.該題目要求學生深入掌握模型的運動規律,綜合性和應用性較強,考查了學生的推理論證能力和數學方程化表達能力.

1 原題呈現

原題如圖1所示,質量為M的勻質凹槽放在光滑水平地面上,凹槽內有一個半橢圓形的光滑軌道,橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b,長軸水平,短軸豎直.質量為m的小球,初始時刻從橢圓軌道長軸的右端點由靜止開始下滑.以初始時刻橢圓中心的位置為坐標原點,在豎直平面內建立固定于地面的直角坐標系xOy,橢圓長軸位于x軸上.整個過程凹槽不翻轉,重力加速度為g.

圖1

(1)小球第一次運動到軌道最低點時,求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時刻運動的距離;

(2)在平面直角坐標系xOy中,求出小球運動的軌跡方程;

2 試題分析

2.1 試題情境

本題以一道動態的橢圓擺模型為情境,巧妙設置以數學知識為載體的物理試題,涉及動量守恒定律和機械能守恒定律,輔以運動軌跡的數學方程表達,屬于綜合性和應用性較強的題目,難度較大.

2.2 必備知識

該題通過對小球和凹槽運動過程中的狀態量的計算,考查動量守恒定律的應用、機械能守恒定律適用條件的判斷與運用、數學曲線方程表達、速度的分解與合成以及變換參考系分析問題等知識.

2.3 能力素養

本題考查的關鍵能力主要有理解能力、推理論證能力和模型建構能力,凸顯了物理學科核心素養.本題要求學生具備運用數學知識解決物理問題的能力,實現物理規律數學化表達的能力.在理解能力方面,該題要求學生能從基本的球擺模型中挖掘有效信息,認識到小球在不同形狀的軌道中運動所滿足的共同的物理規律與定律.在推理論證能力和模型建構能力方面,求解小球的軌跡方程要求學生具備運用物理知識建立相應的數學模型的能力,用數學化的表達式表現其中所蘊含的物理規律;第(3)問要求學生能充分挖掘題設軌跡的特點,并運用幾何關系分解小球速度,達到解決問題的目的.

2.4 解題過程

(1)水平地面光滑,小球運動到最低點的過程中,小球和凹槽水平方向不受任何外力,小球和凹槽組成的系統水平方向動量守恒.

設小球運動到最低點時的速度為v1,凹槽的速度為v2,于是可得mv1＝Mv2.

由于接觸面均光滑,可知系統機械能守恒,可得

解得

在水平方向采用微元法,由水平方向動量守恒得

對小球從釋放到第一次運動到軌道最低點過程求和,可得mx1＝Mx2,又x1＋x2＝a.

聯立上述各式解得

(2)解法1以地面為參考系,由于水平方向動量守恒,系統的質心在水平方向上不動,設小球在某時刻的坐標為(x,y),凹槽水平位移為z,可得Mz＝m(a－x),解得.根據數學知識可得此時小球運動軌跡的橢圓方程為.

該解法是在已知小球運動軌跡是橢圓的基礎上得出的.后面我們將分析此模型下小球運動軌跡是橢圓具有普遍性.

解法2設在地面S參考系中小球的橫坐標為x,小球和凹槽的水平位移分別為x1和x2;設在凹槽S′參考系中小球的橫坐標為x′,如圖2所示.

圖2

根據小球在兩個參考系中的相對關系,由運動情況不難得出在S′系中小球的坐標滿足

在S系中有x＝x′＋x2,x＋x1＝a,由水平方向動量守恒有mv1x＝Mv2,即有mx1＝Mx2,又y＝y′.

聯立以上各式解得

解法2是在變換參考系的情況下,根據二者的位移關系解得軌跡方程.該種解法比較符合學生的認知水平和知識儲備,是教學中處理該類問題的常見做法.

(3)解法1將代入式②整理可得

此時小球的運動軌跡是以(a－b)為圓心,b為半徑的圓.

圖3

根據機械能守恒可得

解法2對式①進行隱函數求導可得

整理可得

3 題目溯源

如圖4所示,半圓形光滑槽質量為M,半徑為R,置于光滑水平地面上.一質量為m的小球可在槽內自由滑動.開始時小球由A處靜止釋放.求:

圖4

(1)m滑到最低點時,m、M對地的速度大小;

(2)在最低點時m對槽的壓力;

(3)m對地的運動軌跡在最低點的曲率半徑;

(4)m對地的軌跡方程.

(1)系統水平方向動量守恒且全過程系統的機械能守恒,可得在最低點有

(2)當m運動到最低點時,槽沒有加速度,可選作慣性參考系,此時m相對于M的速度為v1＋v2,m相對于M的運動半徑為R,根據牛頓第二定律可得

(3)以地面為參考系,小球的運動軌跡不是一個圓,設小球經過最低點時對應的曲率半徑為ρ,根據牛頓第二定律得

(4)以地面為參考系,建立向右為x正方向、向下為y軸正方向的平面直角坐標系,如圖5所示.設小球在某時刻的坐標為(x,y),光滑槽的水平位移為z,由于水平方向動量守恒,系統的質心在水平方向的位置不變,可得Mz＝m(R－x),解得.由圖可知任意時刻小球的坐標為

圖5

聯立上述各式可得可見小球的軌跡為橢圓的一部分,橢圓的中心為,半長軸為R,半短軸為.

小結通過上述解答過程,我們發現在一般情況下,無論凹槽的軌道是圓軌道還是橢圓軌道,小球相對于地面參考系的軌跡都是橢圓方程的一部分.不同點在于,凹槽是橢圓軌道時,我們可以調整小球與凹槽的質量比,使得小球的運動軌跡為圓弧.

4 拓展思考

4.1 揭開影響小球軌跡方程的面紗

如果凹槽的軌道形狀不再是圓或者橢圓,那么小球相對于地面參考系的運動軌跡還是橢圓或者圓軌道的一部分嗎? 接下來我們將推導凹槽軌道是拋物線時小球相對于地面參考系的軌跡方程.

我們以地面參考系為S系,以凹槽參考系為S′系.設小球在S系中的橫坐標為x,小球和凹槽的水平位移分別為x1、x2;在S′系中小球的橫坐標為x′,設凹槽曲線的拋物線方程為y＝－ax2＋a,如圖6 所示,根據相對運動情況有如下關系.

圖6

在S′系中小球的坐標滿足y′＝－ax′2＋a,在S系中有x＝x′＋x2,x＋x1＝a.由水平方向動量守恒可知mv1x＝Mv2,即mx1＝Mx2.又y′＝y.

聯立上述各式解得

由數學知識易知上述小球的軌跡為拋物線方程,開口朝上,軌跡的最低點向右平移個單位.這時我們得出結論,小球相對于地面參考系的運動軌跡取決于凹槽的形狀.

4.2 揭開小球速度最大值出現位置的面紗

為研究方便,我們選取凹槽形狀是圓的情況來探討小球最大速度出現的位置.當二者的質量之比滿足什么條件時,小球最大速度出現在最低點呢?

小球在S′系中做圓周運動,設圖中小球在該系中的速度為,二者在S系中的速度分別為v1、v2.此時小球和凹槽圓心的連線與水平方向所成夾角為θ,如圖7所示.

水平方向有v1x＝－v2.

豎直方向有v1y＝.

在S系中,根據動量守恒定律和機械能守恒定律可得mv1x＝Mv2,即

聯立上述各式可得

接下來,我們探討這個小球最大速度出現在最低點時k所滿足的條件.

令x＝sinθ∈(0,1),整理可得

令u＝x2∈(0,1),這是一個關于u的二次方程.對稱軸,故上式二次方程的最小值在u＝1時取到,如要恒成立,則需最小值都要大于零,即有

整理可得2k2＋2k－1≤0,解得,故當時,小球的速度最大值出現在最低點;當時,小球的速度最大值出現在最低點兩側.

5 教學啟示

一道高考題的設計是命題專家深思熟慮后完成的,經典模型不按套路出牌將會成為新高考試題的亮點.這道高考壓軸題實質上是一道經典模型題目的改編題,只是將圓軌道改成了橢圓軌道.這就啟示我們在未來物理教學中,要對教材和課后習題中的典型題目進行深入挖掘,開展“一題多解、一題多變、多題歸一”的變式訓練,讓學生透徹理解題目中的物理規律本質.當然,我們也可以通過小組討論的形式,讓學生自主改編試題并進行自我解答,從而引導學生在討論分享中形成多樣化的問題意識,碰撞出思維的火花.

(完)