2023年高考全國乙卷物理壓軸題探析

黃尚鵬

(湖北省監利市實驗高級中學)

2023年高考全國乙卷物理壓軸題嚴格依據高中物理課程標準,依托高考評價體系,深化基礎性和綜合性,聚焦學科核心素養,加強關鍵能力考查,在豎直下落小球和薄圓盤彈性碰撞多過程問題中,綜合考查勻變速運動、追及問題、彈性碰撞、動量守恒定律、機械能守恒定律等力學主干知識,深入考查了學生理性分析問題的思維過程,考查學科綜合應用能力、數學運算能力、創新能力,有較好的區分度,體現選拔功能,下面我們對此題進行全面深入的分析和探討.

1 知識準備:一般彈性碰撞的公式及推論

如圖1所示,光滑水平面上有兩個質量分別為m1和m2的小球發生彈性碰撞,碰撞前m1和m2的速度分別為v1、v2,求碰撞后m1和m2的速度.

圖1

分析此問題為彈性碰撞“動碰動”模型,計算碰后速度是難點,若采用降冪法求解計算量非常大,可先采用變換參考系法轉換成“動碰靜”模型,再用結論法直接表示碰后速度,最后再變回地面參考系即可表示碰后速度,具體操作方法如下.

如圖2所示,選以速度v2做勻速運動的物體為參考系(為慣性系,動量守恒定律和機械能守恒定律仍然成立),碰撞前m1的速度為v1－v2,m2靜止,故碰后m1、m2的速度分別為

圖2

因此在地面參考系中,由絕對速度＝相對速度＋牽連速度,得到碰后m1、m2的速度分別為

推論1)若m1＝m2,則,即碰撞后兩球速度發生交換.

2)v1－v2＝,v1－v2為碰前m1靠近m2的相對速度,稱為相對接近速度,為碰后m2遠離m1的相對速度,稱為相對分離速度,即相對接近速度等于相對分離速度.

2 對原題的分析與解答

原題(2023年全國乙卷25題)如圖3所示,一豎直固定的長直圓管內有一質量為M的靜止薄圓盤,圓盤與管的上端口距離為l,圓管長度為20l.一質量為的小球從管的上端口由靜止下落,并撞在圓盤中心,圓盤向下滑動,所受滑動摩擦力與其所受重力大小相等.小球在管內運動時與管壁不接觸,圓盤始終水平,小球與圓盤發生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短.不計空氣阻力,重力加速度大小為g.求:

(1)第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大小;

(2)在第一次碰撞到第二次碰撞之間,小球和圓盤間的最遠距離;

(3)圓盤在管內運動過程中,小球與圓盤碰撞的次數.

(1)設小球從管的上端口由靜止下落距離l時獲得的速度為v0,由動能定理得解得.

小球以速度v0與靜止的圓盤第一次發生彈性碰撞,碰撞后小球和圓盤的速度分別為,根據動量守恒定律(選向下為正方向)和機械能守恒定律,得,得

(2)第一次碰撞后,小球做豎直上拋運動,圓盤所受滑動摩擦力與重力平衡,勻速下滑,所以只要圓盤下滑速度比小球快,二者間距就不斷增大,當二者速度相等時,間距最大,設經過時間t二者速度相等,則有,解得.此段時間內小球和圓盤的位移分別為,故小球和圓盤間的最遠距離為

或者畫出碰撞后的v-t圖像如圖4所示,當二者速度相等時,間距最大,最大間距為圖中陰影部分的面積,即.

圖4

還可以圓盤為參考系,小球相對圓盤以向上的初速度v0做豎直上拋運動,最大間距為豎直上拋運動上升的最大高度.

(3)為了表述方便,我們約定第n次(n≥1)碰撞前瞬間小球和圓盤的速度分別為vmn、vMn,碰撞后瞬間小球和圓盤的速度分別為,則

方法1(數學歸納法)我們先分析前面幾次碰撞和運動過程,再歸納總結出一般規律.

小球與圓盤第二次發生彈性碰撞,根據動量守恒定律和機械能守恒定律,得

小球與圓盤第三次發生彈性碰撞,根據動量守恒定律和機械能守恒定律(方程略),得

小球與圓盤第四次發生彈性碰撞,根據動量守恒定律和機械能守恒定律(方程略),得

歸納總結:每次碰撞后到下一次碰撞前,經歷的時間都相等,即,每次碰撞后瞬間圓盤的速度依次為

即每次碰撞后瞬間圓盤的速度都比上一次碰撞后瞬間圓盤的速度增加,恰好構成等差數列,因此第一次碰撞后到第二次碰撞前,圓盤以速度勻速下降的距離

即圓盤每次碰撞后到下一次碰撞前下降的距離依次為2l,4l,6l,…,恰好構成以d＝2l為公差的等差數列,到第四次碰撞時,圓盤已下降的距離為2l＋4l＋6l＝12l,此時圓盤距離管下端口長度為20ll－12l＝7l,第四次碰撞后,若發生下一次碰撞,圓盤將向下移動8l＞7l,說明第四次碰撞后,圓盤將落出管口外,因此圓盤在管內運動過程中,小球與圓盤碰撞的次數為4次.

方法2(相對運動法)我們以圓盤為參考系來描述小球的運動情況.

如圖5所示,第一次碰撞前小球相對圓盤的接近速度大小為v0,根據彈性碰撞的推論:相對接近速度等于相對分離速度,碰撞后小球相對圓盤的分離速度大小仍為v0,則第一次碰撞后到第二次碰撞前,小球相對圓盤做豎直上拋運動,當再次返回拋出點時,小球相對圓盤的接近速度大小仍為v0,此過程經歷的時間為.由于第二次碰撞前小球相對圓盤的接近速度大小仍為v0,以后小球相對圓盤的運動周期性重復,即每次碰撞前小球相對圓盤的接近速度大小和碰撞后小球相對圓盤的分離速度大小都為v0,每次碰撞后到下一次碰撞前,經歷的時間都為,且對于第n次(n≥1)碰撞,由一般彈性碰撞公式,可知

圖5

方法3(質心法)以小球和圓盤構成的系統的質心為研究對象來描述質心的運動情況.

小球和圓盤構成的系統的合外力始終為mg,根據質心運動定理,質心C的加速度,即質心的加速度恒定.

以小球從管的上端口由靜止下落開始計時,t＝0時刻,質心的初速度為零,故質心做初速度為零的勻加速運動.由于小球和圓盤的質量之比為1∶3,故系統的質心到小球和圓盤的距離之比為3∶1,即t＝0時刻,質心到小球和圓盤的距離分別為0.75l和0.25l,質心距離管下端口長度為19.25l,如圖6所示.

圖6

第一次碰撞前小球做自由落體運動的時間為

由方法2可知,每次碰撞后到下一次碰撞前,經歷的時間都為

故第n次碰撞時(此時小球、圓盤以及系統的質心三者重合)經歷的總時間為

質心C運動的位移為.因此,當n＝1時,yC1＝0.25l;當n＝2時,yC2＝2.25l;當n＝3時,yC3＝6.25l;當n＝4時,yC4＝12.25l;當n＝5時,yC5＝20.25l＞19.25l,圓盤已落出管口外,因此圓盤在管內運動過程中,小球與圓盤碰撞的次數為4次.

方法4(遞推法)我們直接分析第n次碰撞和運動過程,建立遞推關系式求通項.

小球與圓盤第n次發生彈性碰撞,根據動量守恒定律和機械能守恒定律得

解得

在管道中第n次碰撞后到第(n＋1)次碰撞前,設經過時間tn二者位移相等,則有,解得

此時小球的速度

圓盤的速度

顯然,

因此,每次碰撞后到下一次碰撞前,經歷的時間都相等,即

3 試題賞析

本題既源于教材又不拘泥于教材,粗看感覺很眼熟,讓學生有信心去完成答題,但細看后發現對能力的要求較高,體現了命題低起點高要求的特點.本題以學習探索情境為載體,除考查一般的理解能力、分析綜合能力外,還突出考查了模型建構能力、推理論證能力、用數學方法解決物理問題的能力和創新能力等關鍵能力,有較好的區分度,體現了選拔功能.

1)本題第(1)問考查彈性碰撞“動碰靜”模型,第(2)問考查“豎直上拋運動”模型和追及模型,強化必備知識考查,深化基礎性,引導教學回歸課標、教材.

2)本題第(3)問考查了彈性碰撞“動碰動”模型,并且為多次碰撞,一般考生都能根據動量守恒定律和機械能守恒定律列出方程組,但很難計算出正確結果,以致無法歸納總結出一般規律,這就要求學生最好記住一般彈性碰撞的公式及推論,或者先采用變換參考系法將彈性碰撞“動碰動”模型轉換成“動碰靜”模型,“動碰靜”模型可用結論法直接表示碰后速度,最后再變回地面參考系即可快速表示碰后速度,大大降低計算量.為使學生掌握利用一般彈性碰撞公式快速解題的方法和技巧,這里不妨再舉一個典型例子.

例題如圖7 所示,光滑水平面上有兩個質量分別為m1和m2的小球A和B,它們在一條與右側豎直墻面垂直的直線上前后放置.開始時B球靜止,A球以速度v向B球運動.不計各種摩擦,所有碰撞都是完全彈性碰撞.如果要求兩球只發生兩次碰撞,試確定的范圍.

圖7

分析選向右為正方向,第一次碰撞后A、B的速度分別為.

①當m1＞m2時,A、B均向右運動,B碰墻后彈回與A發生第二次碰撞,碰后A、B的速度分別為

將v1、v2的表達式代入后,可得

當m1＞m2時,,B向右運動,要使不發生第三次碰撞,首先要求,其次要求B球碰墻返回后追不上A,即要求,因此有

②當m1＝m2時,第一次碰撞后A靜止,B向右運動,B碰墻后彈回與A發生第二次碰撞,碰后B靜止,A向左運動,只發生兩次碰撞,故可取.

③當m1＜m2時,則第一次碰后,v1＜0,A向左運動,B向右運動,B碰墻后返回.若能追上A,則要求－v1＜v2,即,解得故.

將以上3種情況綜合起來,便得到可使A、B能且僅能發生兩次碰撞的的取值范圍為

3)本題第(3)問考查了數學歸納法在物理問題中的應用,歸納法是一種研究問題的基本方法,它是從認識個別的、特殊的事物推出一般原理和普遍事物,對考生的思辨性思維要求較高,考查學生的高階思維能力,突出關鍵能力考查,引導減少死記硬背和機械刷題現象,有較好的區分度,體現選拔功能,并且此問還能夠運用相對運動法和質心法巧解,從而可快速總結出一般規律,體現了物理思想方法的靈活運用,引導學生多角度思考,培養學生的創新能力.

4)在本題的解答中,方法1即數學歸納法只分析了前面幾次碰撞和運動過程,再歸納總結出一般規律,為不完全歸納法,在物理解題中經常采用.而方法4即遞推法,直接分析第n次碰撞和運動過程,建立遞推關系式,然后由遞推公式求通項公式,為完全歸納法.顯然遞推法比數學歸納法更為嚴謹,且計算過程更簡潔,但對考生的數學能力要求更高.所謂遞推法,即當問題中涉及的物理過程較多,且各物理過程具有相同的特點和遵循相同的規律時,可選取有代表性的任一物理過程分析,得出聯系相鄰物理過程的相關物理量的遞推關系式,再根據遞推公式求解相關物理量的通項公式,從而達到解決問題的目的的一種科學思維方法.由數列的遞推公式求通項公式的問題一般比較復雜,不過只要我們抓住遞推數列的遞推關系,分析結構特征,善于合理變形,就能找到解決問題的有效途徑,使學生深入理解遞推法,掌握遞推法的應用技巧.

4 教學啟示

高考物理命題要落實立德樹人的根本任務,堅持正確的育人方向,促進學生德智體美勞全面發展;堅持守正創新,依托高考評價體系,深化基礎性,突出對關鍵能力的考查.在課程改革進入新時期之際,物理學科考試內容改革將在一定程度上推動物理教學變革、高考改革乃至課程改革的發展,同時,也為物理教學提供了一些啟示.

1)強調物理必備知識.高中物理課程在結構上注重為全體學生打好共同基礎,重視對基本概念、基本規律的理解和掌握.物理知識體系的建構是學生解決物理問題的基礎,教科書是教師教學和學生學習的主要資源.因此,要重視教科書內容的選擇與編排,注重對教材例題和習題的研究,發掘教材的指導價值.另外,教學中我們不能將知識靜態化與孤立化,應注重知識間的聯系和知識的遷移.

2)注重培養理解、推理論證、模型建構、實驗探究和創新等關鍵能力.要結合物理學科核心素養進行教學,要通過好的情境素材把核心素養和課程內容進行深度關聯.教學中要注重引導學生經歷物理概念的建構過程和物理規律的形成過程,體會建構物理模型的思維方式,認識物理模型在探索自然規律中的作用,培養學生建構模型的意識和能力.就習題教學而言,要通過增強習題的開放性和探究性,鼓勵學生討論與多角度作答,促進對學生推理論證、質疑創新等關鍵能力的培養.要特別重視實驗探究,凸顯物理實驗在發展學生核心素養方面的重要地位和作用,要開足開好實驗課,鼓勵學生開展各種科學探究活動,提高學生的實驗探究能力.

3)加強理論聯系實際,發展學生的問題解決能力.教學中要創設聯系生產生活實際、科學技術進步的真實情境,把物理知識跟實踐情境進行關聯,引導學生用物理學的視角觀察周圍世界、建立物理模型,培養學生靈活運用所學物理知識解決實際問題的能力.要加強習題情境化設計,重視情境化習題教學.情境化試題在高考物理命題中的比例將逐漸加大,代表高考物理命題改革的方向,引領物理教育本原的回歸.

總之,一道高考題的設計是經過命題專家深思熟慮的,經典模型不按套路出牌,常考常新將是新高考試題的亮點.教學中要對教材中的典型例題和課后習題多進行“一題多解、一題多變、多題歸一”的訓練,通過自主獨立思考和小組合作探究,挖掘學生潛力,激發學生思維的火花,引導學生在討論分享中形成多樣化的問題解決意識.這樣學生才能在新的命題情境和設問方式中明確思維去向,快速找到解決問題的突破口.

(完)