靈活選用方法解決變力做功問題

李 華

(新疆生產建設兵團第六師五家渠市金科實驗中學)

翻閱歷年高考試卷不難發現,變力做功問題在高考中占有重要地位,幾乎每年各地高考卷中都要涉及.由于我們在學習力的做功時只知道一個基本公式W＝Flcosα,它只適用于恒力做功,對高考試題中復雜多變的物理過程,基本無法直接使用該公式計算力所做的功.本文將對變力做功問題做些歸納總結,希望對大家的解題有所幫助.

1 變力的類型

變力有很多情況,縱觀大量試題,我們可以將其大體分為以下5種類型:

1)如重力、彈簧彈力、萬有引力、庫侖力這類與勢能相關的力.這類變力,雖然在變化,但它們所做的功與路徑沒有關系,而是等于勢能的變化量(ΔEp).對于這類變力,可直接通過勢能變化量求解.

2)方向恒定、大小做線性變化的力.這類變力的最大特點就是變化是均勻的,因此,我們在求它們的功時,可以利用力的平均值進行計算.

3)大小恒定、方向在研究對象的速度方向所在直線上變化的力.常見的情況是往返運動和曲線運動,涉及的力有空氣阻力、動摩擦力等,這類變力的最大特點是變化是分段的,因此我們可以分段處理然后求和,從而求出變力所做的總功.但在計算時需注意,求各段的功時要用研究對象移動的路程,不要錯用成位移.

4)功率不變的變力.這類變力其實就是我們最熟悉的機車啟動模型中機車以恒定功率啟動的情況.解題時可利用公式W＝Pt來計算.

5)一般變力.在高中階段,除了上述4 種特殊變力,其余都屬于一般變力.這類變力最大特點就是無規律可循,無法直接套用所學公式進行求解,其實,這類變力才是與我們生活中遇到的力最相似的.這類變力在生活中最為普遍,但是研究起來也最為復雜,高考中一般不會涉及這類一般變力的做功問題,我們只需了解即可.

2 變力做功問題常用解題方法

2.1 動能定理法

動能定理是實用性最強的解題方法之一,適用于直線運動和曲線運動,也適用于恒力做功和變力做功,是求解力做功最常用的物理定律.在審題時,如果發現題目涉及力和運動或者變力做功,都可以優先考慮使用動能定理.

例12022年的北京冬奧會,中國運動健兒的精彩表現激起了國人的冰雪運動熱潮.某物理小組也對冰雪項目很感興趣,因此計劃應用自己所掌握的物理知識對“大跳臺滑雪”項目中運動員的運動情況進行分析.如圖1所示,是大跳臺滑雪助滑道的示意圖,AB是長為L、傾角為θ的斜面,BCD是圓弧面,斜面和圓弧面相切,且B點和D處在同一水平面上.運動員從A點靜止出發,最終從D點處以大小為v的速度沿著圓弧面的切線方向滑出滑道.假設運動員(包含滑雪裝備)的質量為m,滑雪板與斜面AB間的動摩擦因數為μ,不計空氣阻力,運動員可視為質點,重力加速度大小為g.求:

圖1

(1)運動員從A點運動到B點所用的時間;

(2)運動員通過圓弧面BCD過程中克服摩擦力所做的功.

(1)對運動進行受力分析,并由牛頓第二定律可得其從A點運動到B點過程中的加速度為

(2)設運動員通過圓弧面BCD過程中克服摩擦力所做的功為W,對運動員從A點到D點的全過程應用動能定理可得mgLsinθ－μmgLcosθ－W＝,解得.

【小結】動能定理適合解決類似本題的大小和方向都時刻變化的力的做功問題.另外,選擇正確的研究對象和過程是解題的關鍵.本題雖然是要求“運動員通過圓弧面BCD過程中克服摩擦力所做的功”,但是利用動能定理時則需要選擇“從A點到D點的全過程”為研究對象,只有這樣才能化繁為簡,讓解題過程變得簡潔.

2.2 微元法

微元法的基本原則是過程分割與代數累積.在實際解題應用中,就是將力或者運動軌跡無限分割成極小單元,每一個極小單元都可以認為是直線運動或者恒力,這時復雜的運動軌跡或者變力都可以視為是無數直線運動或恒力的代數和.利用這種方法,就能使原本復雜的變力做功問題轉變為我們最熟悉的恒力做功問題.

例2如圖2所示,一個半徑為R的圓盤在力F作用下轉動,已知力F的大小不變,方向始終沿著過接觸點的切線方向,求力F使圓盤轉動一周所做的功.

圖2

對該問題分析,如果將運動過程無限細分,每通過一個極短位移可認為力的方向與該位移的方向一致,則力F使圓盤轉動一周所做的功可等效為在這些極短位移所做功的代數和,即W＝FΔs1＋FΔs2＋FΔs3＋…＋FΔsn＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…＋Δsn)＝F?2πR.

【小結】本題是典型的力的大小不變、力的方向始終與速度方向一致的問題,解題首選方法就是微元法.解析中即是將運動軌跡無限分割成極小的單元,然后利用各單元的功的代數和求出力F使圓盤轉動一周所做的功.微元法是解決這類曲線運動問題最常用的方法,微元法同樣適用于力的大小不斷變化的情況,方法是將物體的位移無限分割成極小單元,每一單元物體所受的力可以等效為恒力,然后求出各單元恒力做功的代數和,即是所要求的變力所做的功.

2.3 化變為恒法

此方法的核心思維就是“轉化”,即將陌生、復雜的問題轉變為熟悉、簡單的問題,在解題過程中,有兩種思路可選:一是化變力為恒力,即將變化的力轉化為恒力,然后利用公式W＝Flcosα求解;二是化曲為直,即利用等效法,將研究對象的運動軌跡等效為直線,然后使用公式W＝Flcosα求解.這兩種解題思路都可以將變力做功問題轉變為恒力做功問題,究竟使用哪種思路要依據題目情境靈活選擇.

例3如圖3所示,某人利用一個定滑輪,通過一根質量不計的細繩,用F＝100 N 的恒力將一放置在水平地面上的物體由A點拉至B點處,圖中信息依次為α1＝30°,α2＝37°,h＝1.5 m.若細繩與定滑輪間的摩擦力不計,求物體由A點拉至B點處拉力所做的功.

圖3

本題隱含條件也即突破點是“細繩與定滑輪間的摩擦力不計”,所以恒力F所做的功就等于物體所受拉力對物體所做的功.因此,本題就轉變為我們熟悉的求恒力F的做功問題,只需要求出細繩最右端的位移s即可.

根據幾何知識,細繩最右端的位移為

物體由A點拉至B點處的過程中,恒力F所做的功為W＝Fs＝100 N×0.5 m＝50 J.

【小結】化變力為恒力是本題的解題關鍵,但要注意,本題給出了重要條件是“細繩與定滑輪間的摩擦力不計”,不然問題就會變得復雜.

以上,是對三種常用方法或思路的總結.此外,解變力做功問題,還有圖像法、平均力法等方法,限于篇幅在此不予詳述.

不論遇到何種力,解題時首先要做的就是對研究對象進行受力分析,明確要求哪個力做的功,判斷該力是恒力還是變力;明確要求哪個過程中力所做的功.如果是變力做功問題,首先可考慮是否能使用動能定理,如果不行,可根據變力的類型,靈活選用平均力法、微元法、化變為恒法和圖像法等進行解題.總之,抓住了變力的變化類型,我們就掌握了解題的訣竅,解題就變得容易了.

(完)