挖掘模型本質 深度拓展遷移
——以機車啟動模型為例

周建成 楊天才

(1.重慶科學城西永中學校 2.重慶市大學城第一中學校)

1 問題提出

?普通高中物理課程標準(2017 年版2020 年修訂)?中指出:“高中物理課程在義務教育的基礎上,幫助學生從物理學的視角認識自然,理解自然,建構關于自然界的物理圖景.”為了形象、簡捷地處理物理問題,人們經常把復雜的實際情況轉化成一定的容易接受的簡單的物理情境,從而形成一定的經驗性的規律,即建立物理模型.高考試題體現了考試作為教育的重要手段和必要環節,對中學教學有一定的導向作用.本文以2021年高考重慶卷第10題為切入口,回顧機車啟動模型的特點,針對模型的多變與遷移,由一道題改為一類題,抓住其物理本質,提升學生物理學科核心素養.

2 模型建構

2.1 例題呈現

例1(2021年重慶卷)額定功率相同的甲、乙兩車在同一水平路面上從靜止啟動,其發動機的牽引力隨時間的變化曲線如圖1所示.兩車分別從t1和t3時刻開始以額定功率行駛,從t2和t4時刻開始牽引力均視為不變.若兩車行駛時所受的阻力大小與重力成正比,且比例系數相同,則( ).

圖1

A.甲車的總重比乙車大

B.甲車比乙車先開始運動

C.甲車在t1時刻和乙車在t3時刻的速率相同

D.甲車在t2時刻和乙車在t4時刻的速率相同

由題意,兩車額定功率P相同,所受阻力Ff＝kmg.根據甲車t2時刻后和乙車t4時刻后牽引力不變,均做勻速直線運動,可知甲車牽引力大于乙車牽引力,由F＝Ff可知甲車的總重比乙車大,選項A 正確;如圖2所示,甲車在A點對應的時刻,牽引力與阻力滿足F＝Ff甲,所以甲車從這個時刻(圖2、3 中的t甲)開始做加速運動;同理,乙車在B點對應的時刻(圖2、3 中的t乙)開始做加速運動,故甲車比乙車先開始運動,選項B正確;兩車分別從t1和t3時刻開始以額定功率行駛,由P＝Fv,結合t1和t3時刻二者P、F大小分別相等,則二者速度相同,只是甲的加速度比乙的加速度小,選項C 正確;t2時刻甲車達到最大速度,t4時刻乙車達到最大速度,根據汽車的額定功率P＝Fv＝Ffvm＝kmgvm,由于甲車的總重比乙車大,所以甲車在t2時刻的速率小于乙車在t4時刻的速率,選項D 錯誤.故選A、B、C.

圖2

在F-t圖像中,當牽引力等于阻力時,汽車做勻速直線運動.汽車在啟動的過程中,當牽引力大于阻力時開始做加速運動;在牽引力等于阻力之前,汽車處于靜止狀態,此時阻力為靜摩擦力.根據v-t圖像即可判斷出誰先運動,甲、乙兩車v-t圖像如圖3所示,根據P＝Fv可求得速度.本題主要考查了機車的啟動,明確兩種啟動方式,抓住當牽引力等于阻力時,速度達到最大.需學生精準掌握功率P、牽引力F、速度v這三者之間的關系.本題脫離機車啟動的固有考查模式,未直接讓學生分析兩種啟動方式,而是讓學生通過分析牽引力的變化情況,分析機車所處的具體狀態,從而對相關信息進行判斷,考查學生運用圖像解決問題的科學思維能力,檢測了學生對于機車啟動問題物理本質的掌握情況,具有創新性.

圖3

2.2 圖說模型

兩種基本機車啟動方式對比如表1所示.

表1

2.3 模型拓展

三種特例及性質如表2所示.

表2

2.4 數學本質

對水平方向運動的機車受力分析,如圖4 所示,由牛頓第二定律有,其微分方程是,變形為,變形得,積分得

圖4

這是一個超級復合函數——朗伯函數,不能直接判斷速度和時間的關系,用高等代數只能寫出位移和速度的關系為

3 深度應用

例2(2015年全國Ⅱ卷)一汽車在平直公路上行駛.從某時刻開始計時,發動機的功率P隨時間t的變化如圖5 所示.假定汽車所受阻力的大小f恒定不變.下列描述該汽車的速度v隨時間t變化的圖線中,可能正確的是( ).

圖5

當汽車的功率為P1時,汽車在運動過程中滿足P1＝F1v,因為P1不變,v逐漸增大,所以牽引力F1逐漸減小,由牛頓第二定律得F1－f＝ma1,f不變,所以汽車做加速度減小的加速運動,當F1＝f時速度最大,且.當汽車的功率突變為P2時,汽車的牽引力突增為F2,汽車繼續加速,由P2＝F2v可知F2逐漸減小,又因F2－f＝ma2,所以加速度逐漸減小,直到F2＝f時,速度最大,以后做勻速運動.故選項A 正確.

本題解題關鍵是明確汽車恒定功率的加速過程是加速度逐漸減小的加速運動.注意速度不能突變,功率突變導致的結果是外力突變,加速度突變,顯然兩種功率下汽車最后都會達到平衡狀態.本題要求學生在解題時要整合必備知識,提升自身關鍵能力.

例3如圖6所示為汽車的加速度a和車速倒數的關系圖像.若汽車質量為2×103kg,它由靜止開始沿平直公路行駛,且行駛中阻力恒定,最大車速為30 m?s－1,則( ).

圖6

A.汽車所受阻力為2×103N

B.汽車在車速為15 m?s－1時,功率為6×104W

C.汽車勻加速所需時間為5 s

D.若汽車在變加速階段歷時15 s達到最大速度,則此過程中汽車通過的位移為15 m

設汽車從v1＝10 m?s－1加速至v2＝30 m?s－1的過程中的功率為P,阻力大小為f,則根據牛頓第二定律可得,變形可得,與圖像比較a與呈線性關系,顯然汽車從v1＝10 m?s－1加速至v2＝30 m?s－1的過程中的功率P恒定,且W?kg－1.在v1＝10 m?s－1時,設牽引力大小為F1,則有,并且P＝F1v1,聯立解得f＝2×103N,P＝6×104W,選項A、B 正確;汽車勻加速所需時間＝5 s,選項C正確;若汽車在變加速階段歷時15 s達到最大速度,設此過程中汽車通過的位移為x,根據動能定理有,解得x＝50 m,選項D 錯誤.故選A、B、C.本題考查學生用圖像解決實際問題的能力,但題目涉及的圖像不是大家熟悉的四圖(P-t、v-t、F-t、a-t)中的一個,而是圖像,這就要求學生將所學內容進行遷移和拓展.

如果題目已知條件中沒有機車,我們可以從隱含條件分析題意為類機車模型.

例4如圖7-甲所示,質量為m＝0.4 kg可視為質點的物塊靜止放在水平地面上,物塊與地面間的動摩擦因數為0.2,且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.距離物塊s＝7.5 m 處有一光滑半圓軌道,軌道最低點P的切線水平.t＝0時用水平拉力F由靜止拉動物塊,使物塊沿水平地面向半圓軌道做加速運動.物體的速度v與拉力F大小倒數的圖像如圖7-乙所示,AB平行于v軸,BC反向延長過原點O.物塊運動過程中0～t1時間內對應圖像中的線段AB,t1～t2時間內對應圖像中的線段BC,時刻t2＝1 s,t2時刻后撤掉拉力.重力加速度g取10 m?s－2.

圖7

(1)求0～t1時間內物塊的位移大小;

(2)物塊能夠經過半圓軌道最高點Q,求半圓軌道的半徑R滿足的條件;

(3)物塊經半圓軌道最高點Q后拋出落回地面,落地后不再彈起.圓軌道半徑R多大時物塊落點離P點的距離最大? 最大值為多少?(1)物塊在0～t1時間內拉力不變,做勻加速運動,產生位移為x1,則有F1－μmg＝ma1,＝2a1x1,聯立解得x1＝0.25 m.

(2)由運動學公式可得v1＝a1t1,得t1＝0.25 s,由題意知P＝Fv,解得,結合圖像,說明物塊在t1～t2時間內拉力的功率恒定且為圖像的斜率.物塊在t1～t2時間內做變速運動,位移為x2,由動能定理得

撤去外力后,物塊做勻減速運動,根據牛頓第二定律和運動學公式可得

代入數據解得R＝0.1 m.

綜上所述,R應滿足條件為R≤0.1 m.

(3)設物塊到達圓軌道最高點的速度為v4,則有

物塊離開Q點做平拋運動,因此可得

可得數學表達式

本題解決第(2)問的關鍵是從圖像中分析出物塊的運動情況,知道圖像的斜率表示拉力的額定功率,且功率恒定,將題目的問題轉化為類機車啟動模型.

例5(2021年天津卷)如圖8所示,兩根足夠長的平行光滑金屬導軌MN、PQ間 距L＝1 m,其電阻不計,兩導軌及其構成的平面均與水平面成θ＝30°角,N、Q兩端接有R＝1Ω 的電阻.一金屬棒ab垂直導軌放置,ab兩端與導軌始終有良好接觸,已知ab的質量m＝0.2 kg,電阻r＝1Ω,整個裝置處在垂直于導軌平面向上的勻強磁場中,磁感應強度大小B＝1 T.ab在平行于導軌向上的拉力作用下,以初速度v1＝0.5 m?s－1沿導軌向上開始運動,可達到最大速度v＝2 m?s－1.運動過程中拉力的功率恒定不變,重力加速度g取10 m?s－2.

圖8

(1)求拉力的功率P;

(2)ab開始運動后,經t＝0.09 s速度達到v2＝1.5 m?s－1,此過程中ab克服安培力做功W＝0.06 J,求該過程中ab沿導軌的位移大小x.(1)在ab棒運動過程中,由于拉力功率恒定,ab棒做加速度逐漸減小的加速運動,速度達到最大時,加速度為零,設此時拉力大小為F,安培力大小為FA.由平衡條件得F＝mgsin 30°＋FA,此時ab棒產生的感應電動勢為E＝BLv.

設回路中感應電流為I,根據閉合電路歐姆定律得,ab棒受到的安培力大小為FA＝BIL,拉力的功率P＝Fv,聯立以上各式解得P＝4 W.

(2)ab棒從v1到v2的過程中,由動能定理得

解得x＝0.1 m.

本題與汽車恒定功率啟動類型相比,只是阻力由恒力改變為了變力,具體的運動過程用數學表達非常復雜,但定性分析仍然是加速度減小的加速運動,且速度達到最大時,加速度為零,利用平衡狀態即可求解,然后利用動能定理求解位移.這個改變在考試中能考查學生的知識遷移能力,在練習中能激發學生學習興趣、求知欲和探究熱情,又有助于培養和提升學生的物理學科核心素養.

4 結語

機車啟動模型是機械能守恒定律章節中一類重要問題,是高考中的常客,對培養學生相互作用觀、能量觀,提升邏輯推理和科學論證能力有積極意義.

(完)