水平低頻諧變電偶極子源在地下介質中的電磁響應特征

謝興兵，徐劍明，周磊，李弘

1.油氣資源與勘探技術教育部重點實驗室(長江大學)，湖北 武漢 430100

2.中國石油化工股份有限公司中原油田普光分公司，四川 達州 635000

3.中石化石油物探技術研究院有限公司，江蘇 南京 211103

水平低頻諧變電偶極子在地下介質中激發產生的電磁波傳播和響應分布規律的研究，對地球物理勘探和地下無線電通訊等領域具有重要的實用價值。對地球物理勘探領域而言，隨著數值模擬技術以及計算機硬件的快速發展，可控源電磁法的三維正演模擬已基本實現[1-2]。但其計算速度大大限制了可控源電磁法的三維正反演實用化步伐[3-6]。主要是由于在可控源電磁法三維正演模擬時的一次場計算常采用數值濾波算法[7-9]，需要占用計算機大量的計算時間。為了加快可控源電磁法三維正反演技術實用的步伐，提高可控源電磁法三維正演模擬的一次場的計算精度和速度勢在必行，因此推導水平低頻諧變電偶極子源在地下介質中響應的解析表達式具有重要的現實意義。為此，本文從謝昆諾夫勢函數出發，應用邊界連續性條件，利用索墨菲爾德積分以及福克積分公式，經過嚴格數學推導得到了準靜態近似條件下水平低頻諧變電偶極子源在地下介質中產生的電場和磁場分量的解析表達式，不僅可以深入揭示電磁波在地下介質中傳播和響應的分布規律，而且也可將其應用在可控源電磁法三維正演模擬的一次場計算，將加快可控源電磁法三維正反演技術的實用化。

1 地下電磁場的解析求解

假設水平電偶極子沿X方向位于均勻各向同性大地介質的表面，從麥克斯韋方程組出發可得到波數為k0的上半空間的TM勢函數A0(x，y，z)和TE勢函數F0(x，y，z)[10-14]：

(1)

(2)

在波數為k1的下半空間的TM勢函數A1(x，y，z)和TE勢函數F1(x，y，z)分別為：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：y0=σ0+iωε0；y1=σ1+iωε1；σ0、σ1分別為上、下半空間的電導率，S/m；ε0、ε1分別為上、下半空間的介電常數。

將式(5)和式(6)帶入到式(3)和(4)可得：

(7)

(8)

根據TM勢和TE勢與電磁場的關系可以求得均勻半空間情況下水平低頻諧變電偶極子源在地下介質中產生的電場E和磁感應強度B在X，Y，Z三個方向的表達式為：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

對式(9)～(14)利用Foster恒等式[15-16]得：

(15)

再利用Sommerfeld恒等式得：

(16)

進行化簡變換得到位于地表的水平諧變電偶極子在地下介質中的電磁場的解析表達式為：

(17)

(18)

(19)

(20)

(22)

2 解析解正確性驗證與計算速度

當一水平電偶極子源鋪設于地表時，在地下介質中和地表產生的電磁場各分量利用解析解和數值解分別計算。設在電阻率為10 Ω·m均勻半空間的地表原點處，有一電偶極矩為1 A·m沿著X方向布設的發射電偶極子源，水平X方向和Y方向分別從-1 000～1 000 m，垂直Z方向(向下為正)從0到地下1 000 m三維空間內分布有網度為100 m×100 m×100 m的測點，共計4 851個測點，發射頻率從10 000～1 Hz，共21個以對數等間隔分布的頻點。分別采用解析解和數值解計算每個測點的電磁場分量，圖1為均勻半空間地下100 m(Z=100 m)XY平面頻率為1 Hz時兩種方法計算的電磁場分量響應結果。由圖1可知，解析解和數值解的計算結果完全一致。同時采用同一臺計算機，測試了兩種不同方法計算4 851個測點各個分量所需要的總時間，兩種計算方法都是串行計算，占用同樣性質的一個計算內核，通過程序測定解析解耗時4.8 s，數值解耗時236 s，解析解比數值解快約50倍。不僅說明本文推導出的解析解表達式的正確性，而且證實解析解計算速度更快。

圖1 均勻半空間地下Z=100 m處電磁場分量響應平面圖(頻率為1 Hz)

為了進一步驗證本文推導出來的水平低頻諧變電偶極子源在地下介質中的電磁場解析表達式的正確性。圖2給出了坐標為(100，500，100)處的接收點的均勻半空間中電磁場隨頻率變化曲線。對比本文推導出的解析解與Kerry Key數值解計算的3個電場分量以及3個磁感應強度分量的結果曲線可知，每個分量在整個頻帶范圍內基本重合，說明本文推導出來的水平低頻諧變電偶極子源在地下介質中的電磁場的解析表達式是正確的。

圖2 接收點(100，500，100)處的電磁場隨頻率變化曲線

3 電磁場隨深度變化特征

圖3是以源為中心兩個正交方向不同深度電磁場響應變化圖。當電偶極子沿著X方向時，在以源為中心的兩個正交方向上，垂直于源方向的電場分量Ey和沿著源方向磁場分量Bx為0，而在地下介質中的其他位置，所有電磁場分量都不為0，且水平電偶極子源激發的電磁場具有明顯的方向性，這在地井電磁勘探中是非常關鍵的。

圖3 以源為中心X和Y兩個正交方向不同深度電磁場響應變化圖(頻率為1 Hz)

4 結束語

從謝昆諾夫勢函數出發，利用邊界連續性條件，推導出位于地表的水平電偶極子源在地下介質中的電磁場響應解析表達式。其計算結果與Kerry Key的數值解計算結果完全一致，解析解的計算速度遠高于數值解，這將提高可控源電磁法三維正演模擬中的一次場計算的精度和速度，為可控源電磁法三維正演技術提供基礎支撐。

感謝Scripps海洋研究所Kerry Key提供的數值計算程序。