深刻理解概念才能解答好數學問題

俞新龍

如果說2022年新高考數學Ⅰ卷第18題顛覆了“高考題中三角大題是送分題”的認識，那么2023年新高考數學Ⅰ卷第20題則教訓了“新高考Ⅰ卷數列大題不會成為難題的師生觀”，綜合考生答題情況看，2023年的數列大題成為許多考生的“攔路虎”，甚至成為“送命題”.造成這種情況的原因是什么？能給新一年的高考復習帶來怎樣的教學啟示？

一、高考題及解答

（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求an的通項公式；

（2）若bn為等差數列，且S99-T99=99，求d.

注意：從qt=0不難發現，若兩個等差數列通項公式之積是關于n的無常數項的二次函數，則這兩個等差數列通項公式必定有一個是關于n的無常數項的一次函數，有一個是關于n的有常數項的一次函數.

二、造成解題困擾的原因探析

從考試結束后全國各地考生普遍反饋2023年新高考Ⅰ卷試題相比前三年容易，但卻一致認為數列大題出乎意外給自己難住了，或者根本找不到解題思路，失去了“應該得到的分數”.我們認為，主要是以下兩方面的原因.

1.被數列大題位于第20題進行了心理上的打擊.新高考Ⅰ卷前面3年數列大題分別位于第18題（2020年）、第17題（2021年和2022年），再加上在平時高考復習中師生心理預期都是一致認為數列大題不會難，大概率屬于中檔以下問題，但2023年數列大題卻一下子成為倒數第3題，并且題中條件“似乎比較新穎”，無形中加深了考生的心理恐懼，增加了解題緊張，影響了解題發揮.

2.缺少深刻理解數學概念.數學概念是比較枯燥乏味的，除了新學習時直面概念外，在其他復習時間都少有再認真對待數學概念的時候，學生寧愿多做數學題也不愿意回歸教材理解概念是常態，在復習中教師大多數也僅是投影概念，缺少深入挖掘相關概念的內涵和外延.于是，在平常復習中一些習得的解題方法只是表面看起來會了，稍有變化（情境改變、知識交叉等）就只能無可奈何.

四年高考新高考Ⅰ卷在“去套路化”方面做出了成功嘗試，命題更加重視考查考生對基礎知識的理解，尤其是對數學概念的深刻理解，所以第二個原因更加值得我們重視并努力去改變和提高.

三、數列高考題身影探析

如前所述，沒有比較完美解答2023年數列大題主要原因是缺少深刻理解等差數列通項公式和前n項和公式這兩個概念，因為無論是在教材還是在平常習題中都有類似“身影”呈現.

1.普通高中教科書數學選擇性必修第二冊（A版）《4.2.1等差數列的概念》在推導得到通項公式an=a1+（n-1）d后有一個“思考”欄目，探討了等差數列通項公式與一次函數的關系.

3.常見習題：

（1）已知等差數列{an}、{bn}的前n項和為Sn、Tn，若

其實2023年新高考Ⅰ卷選擇題7也是考查等差數列的通項公式是關于n的一次函數和等差數列的前n項和是關于n的沒有常數項的二次函數，如果深刻理解了等差數列概念的這兩個結論，則馬上就會得到答案C.

A．甲是乙的充分條件但不是必要條件

B．甲是乙的必要條件但不是充分條件

C．甲是乙的充要條件

D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

題在書外，根在書中.華羅庚先生“厚-薄-厚”是學習數學概念經典概括，只有把概念領悟透徹，我們做題時才能夠以概念實質去應對具體題目的變化形態，這與孔子說的“學而不思則惘，思而不學則殆”是一致的.

四、要把握高考題對高考復習的指導作用

其實2020～2023年新高考Ⅰ卷中每年均有一定量試題是考查概念的，只不過有些是比較明確的，有些是比較隱蔽的，缺少的是我們探究發現的眼光和行動，例如2020年新高考d卷第20題立體幾何大題就在隱性提醒我們要特別注意對教材中直線與平面所成的角這個概念進行深刻理解.

2020年新高考Ⅰ卷20題：如圖1，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l.

（1）證明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

解析：（1）因為AD//BC，AD平面PAD，所以BC//平面PAD，有線面平行性質知l//BC.因為PD⊥BC，CD⊥BC，PD∩CD=D，所以BC⊥平面PDC.因此，l⊥平面PDC.

因為高考題具有比較好的空間直角坐標系結構，所以絕大多數都會選擇向量坐標方法求解，鮮有常規幾何法求解，這就造成了一種錯覺：常規幾何法無法求解高考題，或者說這樣就掩蓋了常規幾何法的精妙，這就是由于對教材中相關概念理解不到位、不深入造成的.

人教A版必修第二冊151頁：

如圖2，一條直線l與一個平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

（2）如圖3，另有一包含直線AB的平面β，若PO1⊥β，作O1b1⊥Ab1，所以∠PAO1<∠PAB.這就告訴我們，∠PAB比直線l與經過直線AB的任意平面所成的角都要大；進一步可以知道，若另有一條平行于直線AB且與直線l異面的直線CD，則異面直線l與CD所成的角是直線l與經過CD的任意平面所成角的最大角.

呢？從前面定義內涵知，此時∠PBA就是直線PB與平面QCD所成的角，如圖4，平面QCD∩平面PAB=MN，根據題意可知AB//MN，所以∠PBA=∠PNM，即∠PNM應為直線PB與平面QCD所成的角，則此時MN應是直線PB在平面QCD上的射影，即應該有PM⊥平面QCD，故可得PM⊥QD，再注意到PD=AD=1，PD⊥AD，l//AD，所以四邊形ADPQ只能是正方形，因此，PQ=1.

數學教材是學習數學知識的藍本，大多數知識都是顯性呈現的，但也有相當一部分知識是隱性呈現的，需要我們去努力挖掘找出來，即特別要重視教材知識發生的核心要義，即知識的內涵與外延.

五、深刻理解概念永遠在路上

大家都認同高考題對教學的指揮棒作用.所以說，教材中每一個概念都需要我們去認真對待并深入理解，許多時候我們自認為對某一個概念已經理解得比較好了，但實際上遠遠沒有到深刻理解的程度.下面我們通過2023年高考復習中一個比較典型的例子來提醒.

解析：首先要找出多邊形Γ在頂點D1處的內角，怎么找？利用基本事實2（如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內）和基本事實3（如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線）.如圖5，延長D1M和DA相交于點G，則易得AG=AD，連接GN交BC于

概念理解永無止境；深刻理解概念永遠在路上.

李邦河院士在2009年4月榮獲華羅庚數學獎并作報告時指出：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.”概念不是學習時重要，解題時不重要，概念是“萬丈高樓平地起的地基”，只有深刻理解數學概念才能解答好數學問題，讓我們始終牢記概念、深入理解概念.