條件生成對抗網絡的翼型反設計方法

吳明雨，陳志華，邱志明，吳威濤

(1. 南京理工大學瞬態物理重點實驗室，南京 210094；2. 海軍研究院，北京 102442；3. 南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

0 引 言

在空氣動力學領域,翼型形狀的設計對于旋翼式飛行器[1-2]、變形飛行器[3-4]是至關重要的,實時在線優化設計翼型形狀以適應飛行環境成為日益增長的需求,是影響其飛行性能與安全的關鍵因素之一。在特定流動條件下,形狀是決定翼型表面的壓力分布的主要因素,進而影響了氣動組件的性能。翼型正向設計方法通過多次給定翼型形狀和流動條件,反復求解納維-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations),直到獲得期望的壓力分布,此過程無疑是非常耗時的。翼型反設計一般基于減阻、提高升阻比或實現特定壓力分布的準則,通過復雜的優化程序在此約束條件下獲得翼型形狀,這通常也被稱為氣動形狀優化。在優化過程的每一次迭代中,翼型形狀都發生了改變,需要為新的形狀更新納維-斯托克斯方程的解。傳統的設計方法大部分是將翼型氣動反設計問題轉化為優化問題進行求解,如劉俊等[5]利用Kriging代理模型進行了翼型的單目標、多目標反設計,取得了較高的設計效率并具有通用性。另外,遺傳算法、模擬退火算法等優化算法也被應用于翼型反設計問題,取得了較好的效果。基于前述優化算法的形狀優化皆為基于梯度算法。形狀優化算法大致可分為無梯度算法和基于梯度算法。Skinner等[6]對無梯度和基于梯度的氣動形狀優化算法進行了廣泛的回顧。無梯度方法可以找到優化問題的全局解,但算法相對復雜,收斂速度慢;基于梯度的算法簡單,可用較少迭代找到最優解,收斂速度快,但可能找不到全局最優解。基于梯度的方法要求直接或使用伴隨方法計算目標函數的梯度。雖然基于梯度的方法已成功應用于氣動優化,但它們要求設計空間的連續性,在存在不連續的情況下,算法的魯棒性降低,導致收斂性差[7]。因此,需要一種無梯度、快速且穩健、全局和準確的方法來進行氣動反設計。

近年來,隨著機器學習領域蓬勃發展,物理系統的數據驅動建模方法在流體力學和空氣動力學領域得到廣泛發展與應用,如基于機器學習的流場建模或預測[8-11],流動控制[12-14],氣動性能預測[15-16]等。此外,研究者們也嘗試將機器學習技術結合代理模型應用于翼型設計與優化。Rais等[17]使用多層感知機(Multilayer perceptron, MLP)進行葉輪機械的氣動設計,發現它可以有效地實現設計目標。Kharal等[18]和Sun等[19]使用MLP和翼型參數化技術,從相對小的翼型數據庫中獲得與目標條件匹配的翼型形狀。閆妍等[20]采用CST參數化方法構建翼型設計空間,并以CST設計變量為輸入建立了卷積神經網絡氣動系數預測模型,結合遺傳算法實現高效快速的翼型優化。然而,這些翼型參數化技術在一定程度上缺乏精度,需要人工干預參數化。為避免使用傳統參數化方法,Chen等[21]開發了基于貝塞爾生成對抗網絡的翼型參數化方法,有效實現了翼型曲線的特征參數提取,加速了優化收斂速度。吳則良等[22]為降低翼型設計參數,減少計算工作量,設計了一種基于深度自編碼的神經網絡模型,實現翼型參數的降維表示,進而與Kriging代理模型結合進行翼型優化,提升了翼型優化效率。

然而,上述基于機器學習的氣動設計與優化仍然面臨許多挑戰,包括:1)翼型設計空間需要通過離散化函數或基函數對翼型形狀進行表示和參數化,才能提供足夠的自由度以開發良好的設計;2)需要選擇適當的成本函數實現多目標之間的平衡;3)建立實際工程解決方案所需的所有約束條件,包括符合設計師經驗但難以用數學形式給出的約束條件;4)檢測和處理不存在解決方案或滿足指定性能標準和約束的解決方案不止一個的情況。

綜上分析,為應對上述挑戰,針對變體飛行器實時控制翼型形狀的需求,提升翼型設計的效率,簡化神經網絡輸入形式,本文建立了基于條件生成對抗網絡(Conditional generative adversarial network, CGAN)的翼型反設計模型,獲得了氣動參數到翼型形狀的直接映射。為驗證模型性能,引入了全連接神經網絡進行誤差分析對比,結果表明CGAN翼型反設計模型提高了翼型設計精度與效率,增強了翼型設計模型的魯棒性,避免了傳統氣動形狀設計所需的復雜優化流程,有效解決了前述挑戰,研究結果可應用于變體飛行器自適應在線最優氣動構型控制。

1 CGAN翼型反設計方法

1.1 CGAN結構設計

本文設計的用于翼型反設計的CGAN網絡結構如圖1所示。CGAN網絡由生成器(generator)和判別器(discriminator)兩部分組成。不同于生成對抗網絡(GAN),條件生成對抗網絡(CGAN)的生成器和判別器都以一些額外的信息y為條件,因此生成對抗網絡被擴展為條件模型。其中,y可以是任何類型的輔助信息,如類標簽或來自其他模態的數據,以此通過將y同時輸入判別器和生成器來約束網絡的輸出。本文以壓力分布系數Cp、升力系數Cl、阻力系數Cd、俯仰力矩系數Cm為條件,期望輸出配套的翼型曲線。生成器網絡與判別器網絡均是基于全連接層神經網絡搭建的多層感知機。

圖1 CGAN模型結構

1)生成器

生成器的輸入為先驗噪聲z與氣動參數條件y=[Cp,Cl,Cd,Cm],先驗噪聲服從均勻分布,即z～U(-1, 1),噪聲尺寸z選取為100×1。壓力分布系數Cp與翼型散點數目一致,尺寸為68×1,升阻力系數、俯仰力矩系數尺寸均為1×1,因此,氣動參數條件尺寸為71×1。將先驗噪聲與氣動參數堆疊,尺寸為171×1,形成生成器網絡的輸入。

生成器的輸出為翼型散點縱坐標。橫坐標從后緣開始,沿翼型上表面到前緣,并沿下表面回到后緣。為了使所有翼型的橫坐標相同,采用線性插值方法分別對翼型上下表面的點進行插值,具體描述將在第2節給出。最終輸出的翼型散點縱坐標尺寸為68×1。

生成器網絡由輸入層、2層隱藏層和輸出層構成。各層神經元數目及采用的激活函數如表1所示。生成器網絡的作用是從噪聲與氣動參數的聯合表示中捕捉到數據分布規律G(z|y),生成與氣動參數對應的合成翼型。

表1 生成器和判別器的網絡結構

2)判別器

判別器的輸入為生成器輸出的合成翼型或來自訓練數據的真實翼型,以及作為條件信息的氣動參數。將其堆疊,尺寸為139×1,形成判別器網絡的輸入。

判別器的輸出為1個標量,該標量表示樣本來自訓練數據而不是生成器的概率。

判別器的網絡由輸入層、4層隱藏層、輸出層構成。各層神經元數目及采用的激活函數如表1所示。判別器的作用是在條件y的約束下估計出輸入樣本來自真實翼型而不是合成翼型的概率D(x|y)。

此外,多層感知機的原理以及激活函數的作用將在1.2節介紹。

1.2 多層感知機結構與原理

本文以多層感知機為核心設計了由生成器和判別器構成的條件生成對抗網絡翼型反設計模型。以圖2為例,對于相鄰的兩層,給定層的每個神經元都連接到另一層的所有神經元。因此第l層全連接層的輸出為

圖2 多層感知機網絡結構示意圖

z[l]=W[l]a[l-1]+b[l]

(1)

a[l]=σ(z[l])

(2)

式中:W[l]和b[l]為第l層的權重和偏差矩陣;a[l-1]為第(l-1)層的輸出激活值;z[l]為第l層的累計輸出值;σ為激活函數。

為了加深網絡深度,使網絡具有足夠的非線性表達能力,在每個隱藏層后都使用激活函數。具體地,所設計的網絡使用的激活函數ReLU和Tanh的計算公式分別為

f(x)=max(0,x)

(3)

g(x)=(ex-e-x)/(ex+e-x)

(4)

從式(3)可以看出,ReLU激活函數的輸出是不飽和的,可以解決反向傳播時梯度消失的問題。此外,在正向傳播過程中,ReLU函數避免了指數運算,這些優點加速了網絡參數W[l]和b[l]的更新。值得注意的是生成器的輸出層采用了Tanh激活函數,一方面是因為生成器的輸出要進一步輸入到判別器,另一方面是為了限制輸出層與歸一化的翼型散點標簽的數據范圍匹配。

1.3 模型訓練

所設計的條件生成對抗網絡的訓練過程包括前向計算和反向傳播兩大步驟。前向計算通過式(1)～(4)計算輸入樣本對應的輸出值。反向傳播采用均方根傳遞梯度下降優化算法RMSprop最小化損失函數[23]

Ez～pz(z)[ln(1-D(G(z|y)))]

(5)

式中:ln表示對網絡輸出的概率計算logistic損失

Llogistic(y,p)=-[yln(p)+ (1-y)ln(1-p)]

(6)

式中:y為0或1,其值取決于所計算的損失為生成器損失還是判別器損失;p為概率,具體值為生成器輸出概率G(z|y)或判別器輸出概率D(x|y)。

生成器網絡和判別器網絡是同時訓練的:調整生成器網絡的參數使ln(1-D(G(z|y)))最小化,判別器旨在調整網絡參數使得lnD(x|y)和ln(1-D(G(z|y)))最大化。二者正如在遵循價值函數V(D,G)的極大極小博弈,并且訓練結果是一個納什均衡。該優化算法在對網絡參數更新時首先計算權重和偏差參數平方的滑動指數平均值S1和S2

(7)

(8)

隨后權重和偏差參數更新如下

(9)

(10)

(11)

式中:λ為L2正則化系數;n為訓練集的樣本大小。那么式(9)權重參數的更新方式將變為

(12)

式中:(1-αλ/n)顯然小于1,從而限制權重參數W,達到抑制模型過擬合的效果。

2 數據準備

數據集準備是機器學習中的一個關鍵環節。本工作將翼型上下表面的壓力分布、升阻力系數、俯仰力矩系數作為條件輸入,翼型形狀作為輸出。為了節省時間成本,測試條件生成對抗網絡應用于翼型反設計的效果,采用XFoil程序快速獲得較多的訓練樣本,以盡可能發揮模型的泛化能力。為了創建訓練集,本文使用UIUC翼型數據庫開發了一個二維翼型數據集,該數據集包含1243個翼型。在氣動模擬之前,對這些翼型上下表面坐標分別進行了一維線性插值處理,以保證所有翼型的橫坐標一樣,便于模型的訓練。橫坐標取值為:

xi=1-cos[π·j/(2n)]j=0,1,2,…,n

(13)

式中:n=33。因此,插值后的翼型尺寸為68×2,壓力分布的尺寸也為68×2。

所有數據均在雷諾數為1×106、攻角為3°的工況下進行模擬并收集。此外,由于氣動參數之間存在數值差異,為了便于訓練網絡模型,對壓力系數、升阻力系數、俯仰力矩系數進行了歸一化。

3 模型評估與結果分析

本文將樣本數據集的1 243組樣本按9∶1的比例劃分為訓練集與測試集。訓練集用于CGAN翼型反設計網絡的訓練,優化模型的權重與偏差參數;測試集用于對模型的反設計能力進行評估。為了定量說明模型預測翼型的性能,本文計算了反設計翼型的均方根誤差ERMSE和最大誤差EMAXE,其定義如下

(14)

(15)

A=1-ERMSE

(16)

此外,對于多個翼型則采用均方根誤差的平均值來衡量CGAN模型的預測誤差,模型預測精度A則可根據式(16)計算。

3.1 CGAN模型收斂性能與復雜度分析

基于CGAN的翼型反設計模型的訓練超參數設置如表2所示,需要指出的是生成器和判別器的學習率均為0.000 1,并且每層全連接層的權重正則化系數為0.000 1。使用1.3節中的訓練方法進行訓練,迭代次數為100 000次。

表2 超參數設置

生成器與判別器的損失函數變化曲線如圖3所示,其中生成器與判別器的損失函數定義于式(5)中。可見,生成器與判別器損失函數曲線由初始出現交叉到逐漸趨于接近并收斂,表明生成器與判別器經過博弈達到了平衡。正如1.1節所介紹的,初始階段,由于生成器產生真實翼型的能力較弱,判別器識別其輸出翼型為“假”相對容易,生成器的損失則懲罰自身并據此更新網絡參數以增強“欺騙”判別器的能力,因此生成器的損失值會上升,判別器損失下降。判別器則根據預測為“真實”的生成翼型和預測為“假”的采樣翼型所對應的判別器真實損失和虛假損失更新自身的參數。經過多次迭代和網絡參數的更新,生成器產生的翼型能欺騙判別器使其識別為“真”,也表明生成器能夠很好地捕捉噪聲與氣動參數條件的數據分布,并將其映射到翼型曲線。此后,訓練好的CGAN網絡可在測試集上評估其翼型反設計的性能。

圖3 CGAN模型收斂歷史

考慮到全連接層神經網絡模型的復雜度基本由每層神經元節點數量決定,因此,為了說明網絡模型的計算復雜度,根據神經元節點數量統計了乘法量如表3所示。由于判別器需要將139×1的翼型與氣動參數混合輸入降維映射到1個表示真假的標量,相對來說難于生成器將171×1的隨機噪聲與氣動參數混合輸入降維映射到68×1的輸出,因此判別器網絡層數更深,乘法量約為生成器的3.5倍。

表3 CGAN模型乘法量

3.2 翼型反設計結果分析

測試階段,保持噪聲尺寸為100×1,取其值為0,將測試集的125組氣動參數輸入到生成器網絡,預測出對應的翼型縱坐標值。為了直觀地展示CGAN模型翼型反設計效果,圖4給出測試集中隨機一個翼型的預測結果,可以看出翼型的預測值與實際期望值吻合較好,這表明訓練好的CGAN模型能夠反設計出給定壓力分布、升阻力系數、俯仰力矩系數條件下的翼型。為了定量評估翼型預測誤差,根據式(14)～(16),計算出圖4中翼型的預測均方根誤差為0.14%,最大誤差為0.43%,其預測精度高達99.86%,125組測試集總體平均預測精度為99.83%,能夠滿足翼型反設計的要求。此外,翼型平均計算時間僅耗費23 ms。

圖4 翼型曲線的反設計結果

經過統計,測試集中94.4%的翼型均方根誤差低于0.3%,98.4%的翼型最大誤差低于0.6%,整體效果優于文獻[24]的0.65%均方根誤差。此外,本文設計的條件生成對抗網絡結構簡單易實現,輸入數據直接利用氣動參數,避免了文獻[24]中CNN網絡需將氣動數據轉換為圖片這一繁瑣的像素化操作,簡化了基于深度學習的翼型反設計流程,提高了翼型反設計效率。

另一方面,為了進一步充分體現條件生成對抗網絡翼型反設計模型的設計精度高、魯棒性強的優勢,引入了全連接神經網絡(Fully connected neural network,FCN)進行對比。其采用的網絡結構與CGAN的生成器網絡結構相同,訓練過程中配置的超參數、優化算法與CGAN保持一致,唯一不同之處在于FCN最小化的損失函數為均方誤差

(17)

基于上述條件,對CGAN與FCN模型分別探究了測試過程中隨機噪聲對翼型反設計結果的影響。圖5展示了對圖4中翼型進行三次帶有隨機噪聲與氣動參數混合輸入CGAN模型進行預測的結果。可以發現,預測結果與真實翼型依然吻合較好,基本與圖4一致。同時,表4還分別給出了CGAN與FCN三次預測的均方根誤差、最大誤差及其平均值。可見,CGAN網絡誤差值與表4中翼型的預測誤差相比,雖有略微浮動,但其平均誤差低于不帶噪聲輸入情況下的預測誤差;而FCN網絡的誤差在有無噪聲的情況下均明顯高于CGAN網絡,且FCN網絡的平均均方根誤差大于其在無噪聲輸入情況下的均方根誤差。上述結果表明CGAN翼型反設計模型設計精度高于FCN網絡,魯棒性也強于FCN網絡。其原因在于FCN是一種純粹的氣動參數與翼型形狀之間映射關系的學習網絡;而CGAN則首先通過生成器捕捉氣動參數數據的分布規律,其次引入判別器網絡的判斷生成器產生翼型的真假,其實質是通過對抗博弈的方式實現了氣動參數與翼型曲線數據對之間的特征對齊,從而提高了設計精度,增強了翼型設計模型的魯棒性。

表4 帶有隨機輸入噪聲的翼型曲線預測誤差

圖5 不同隨機噪聲的翼型反設計結果

綜上所述,訓練好的網絡模型即可根據期望的氣動布局,快速生成準確的配套翼型,有效提高了設計精度與效率。此外,在有噪聲干擾情況下依舊保持良好的設計性能,增強了翼型設計模型的魯棒性。該翼型反設計模型可以作為特殊環境下變體飛行器自適應在線最優氣動構型設計的快速代理模型,亦可用于旨在減阻、提高升阻比或實現特定壓力布局的翼型優化設計提供一種兼具準確性和快速性的有效工具。

3.3 模型收斂性能的影響因素研究

為確保所訓練的CGAN翼型反設計模型具備最優性能,本節探究了輸入噪聲尺寸、超參數(學習率和批量大小)以及不同網絡結構對模型收斂性能的影響。

3.3.1噪聲尺寸對模型收斂性能的影響

為了探究噪聲尺寸的選取對本文所構建的CGAN翼型反設計模型收斂性能的影響,在保持其他參數和網絡結構不變的同時,選取了噪聲尺寸為50、100、150三個尺寸分別對網絡進行訓練,訓練方法參見1.3節。

訓練過程的損失函數收斂歷史如圖6所示,為了方便表示,圖例中的“n-50”代表噪聲的尺寸為50,其他兩個以此類推。明顯可以看出,隨著噪聲尺寸的增加,生成器和判別器的損失值收斂得都越來越慢,這表明噪聲尺寸的增大給網絡學習噪聲與氣動條件組成的混合輸入的數據分布加大了難度。因此,噪聲尺寸并非越大越好,存在一個最優值:過小的噪聲尺寸雖然使得網絡收斂快,但不利于生成器與判別器在博弈過程中達到納什平衡;過大的噪聲尺寸則會使得雙方博弈難度加大,需要更多的迭代次數才能達到平衡。因此,本文選擇噪聲尺寸為100作為最終的輸入參數。

圖6 不同噪聲尺寸的CGAN模型收斂歷史

3.3.2超參數對模型收斂性能的影響

使用合適的超參數對模型進行訓練,能使得模型具備最優的權重與偏差參數,充分發揮模型的預測性能。因此,研究超參數對模型收斂性能的影響尤為必要。本工作中選取了訓練過程中對網絡參數更新影響較大的學習率和批量大小進行研究。

首先,選取學習率為0.000 05、0.000 1、0.000 5分別對網絡進行訓練。訓練過程的損失函數變化如圖7所示,圖中“lr”表示學習率(learning rate)。與噪聲尺寸類似,學習率同樣存在一個最優值使得網絡模型具有最優的收斂性能:學習率太小導致網絡參數更新較慢,需要更多的迭代次數才能達到收斂;過大的學習率導致參數更新較快,可能陷入局部最優,并在此附近波動,無法收斂至全局最優。因此本文選取0.000 1為作為最終的學習率,使得網絡參數得以較好地更新。

圖7 不同學習率的模型收斂歷史

其次,在確定了噪聲尺寸與學習率大小后,選取批量大小為8、16、32對網絡進行訓練,訓練過程的損失函數變化如圖8所示,圖中“bs”表示批次大小(batch size)。類似地,可知:過小的批次導致相鄰批次之間數據的差異較大,迭代過程中梯度震蕩較大,不利于收斂;過大的批次則反之,然而若相鄰批次數據間差異過小,梯度差別太小,則會使得參數一直沿著某個梯度方向更新,容易陷入局部最小值。根據圖8顯示的研究結果,本文所設計的網絡結構選取批次大小為16最為合適。

圖8 不同批量大小的模型收斂歷史

3.3.3網絡層數對模型收斂性能的影響

為了分別研究生成器和判別器網絡層數對模型收斂性能的影響,通過增加或減少生成器與判別器的網絡層數設計了4種網絡結構進行訓練,其結構分別如表5～6所示。訓練中采用控制變量法,即只改變生成器或判別器其中一方的結構,另一方保持表1中的結構。損失函數收斂歷史如圖9～10所示,其中“net”代表網絡,網絡2為本文所最終采用的網絡,前述的結果與分析都是基于此網絡。

表5 不同生成器網絡結構

表6 不同判別器網絡結構

圖9 不同判別器結構的模型收斂歷史

從圖9可見,在網絡2的基礎上增加或減少判別器的層數對于判別器的性能影響幾乎很小,但是減少判別器的層數使得生成器“欺騙”判別器的能力過剩,模型出現過擬合,難以和判別器達到平衡。

觀察圖10可知,網絡4的生成器損失下降很緩慢,說明當減少生成器的層數時,生成器產生的翼型不足以“欺騙”生成器,難以從噪聲與氣動參數的混合輸入中學出到翼型曲線的映射關系;反之,網絡5前期雖然能快速與判別器達到平衡,但是后期損失低于判別器,呈現出輕微過擬合。

圖10 不同生成器結構的模型收斂歷史

綜上所述,本文最終采用的網絡結構(見表1)使得模型的收斂性能最佳。

4 結 論

本文針對翼型反設計時效性與準確性的需求,建立一種基于條件生成對抗網絡的翼型反設計模型,該模型有望作為一種快速準確的翼型優化設計工具,服務于旋翼式飛行器或變體飛行器氣動構型控制,具體內容總結如下:

1) 基于多層感知機搭建的CGAN模型以包括壓力分布系數、升力系數、阻力系數和俯仰力矩系數在內的氣動參數為輸入條件,經訓練后,能夠產生符合氣動條件的對應翼型曲線,測試集上的平均預測精度為99.83%,僅耗時23 ms,保證設計精度的同時兼具快速性。

2) 相較于FCN模型,CGAN模型通過對抗博弈的訓練方法能使得氣動參數與翼型曲線之間的內在特征對齊,增強了翼型反設計模型的魯棒性,提高了設計精度。

3) 基于CGAN的翼型反設計模型網絡結構簡單易實現,輸入數據直接利用氣動參數,避免了CNN網絡中將氣動數據轉換為圖片這一繁瑣的像素化操作,簡化了基于深度學習的翼型反設計流程,提高了翼型反設計效率。

4) 探究了噪聲尺寸、超參數以及網絡結構對CGAN翼型反設計模型收斂性能的影響,據此使得模型配備了最優的網絡結構與參數。