攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的自適應(yīng)有限時(shí)間預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律

許煒平，廖宇新，王忠森，殷澤陽，張燁琛

(1. 中南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，長沙 410083；2. 中南大學(xué)航空航天技術(shù)研究院，長沙 410083；3. 空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100076)

0 引 言

為了保證導(dǎo)彈能夠精準(zhǔn)地?cái)r截目標(biāo)并最大程度地發(fā)揮毀傷效果,攔截制導(dǎo)律應(yīng)當(dāng)在實(shí)現(xiàn)終端零脫靶量的同時(shí)滿足終端攻擊角約束。此外,制導(dǎo)律還應(yīng)具備較強(qiáng)的魯棒性,能夠在外部擾動(dòng)存在的情況下保證良好的制導(dǎo)性能。傳統(tǒng)比例導(dǎo)引形式簡單,容易實(shí)現(xiàn),是廣泛應(yīng)用的制導(dǎo)方法,但其無法直接保證終端攻擊角約束,且在制導(dǎo)精度和魯棒性等方面都有待提高[1]。因此,學(xué)者們基于最優(yōu)控制[2-3]、H∞控制[4]、微分對(duì)策[5]和滑模控制[6-9]等先進(jìn)非線性控制理論開展了一系列制導(dǎo)律研究。上述制導(dǎo)律能夠在保證精確攔截的同時(shí)實(shí)現(xiàn)終端攻擊角約束,具有較高的制導(dǎo)精度和較強(qiáng)的魯棒性,但需要反復(fù)調(diào)試制導(dǎo)參數(shù)才能使閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)獲得期望的瞬態(tài)性能。

為了在保證閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的同時(shí),對(duì)其瞬態(tài)性能進(jìn)行定量化設(shè)計(jì),近年來預(yù)設(shè)性能控制(Prescribed performance control, PPC)開始被應(yīng)用到導(dǎo)彈制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[10]應(yīng)用PPC架構(gòu)對(duì)視線角誤差進(jìn)行轉(zhuǎn)換,在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)滑模制導(dǎo)律,使得視線角誤差始終位于性能包絡(luò)之內(nèi),從而實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的高精度攔截。文獻(xiàn)[11-12]通過預(yù)設(shè)性能函數(shù)對(duì)滑模面進(jìn)行約束,滑模面的收斂性將確保視線角誤差的收斂,從而保證良好的制導(dǎo)性能。文獻(xiàn)[13]通過改進(jìn)預(yù)設(shè)性能函數(shù)和誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)使得滑模變量按預(yù)設(shè)性能收斂,有效改善了制導(dǎo)指令的動(dòng)態(tài)性能。文獻(xiàn)[14]針對(duì)映射后的誤差系統(tǒng)設(shè)計(jì)了輔助系統(tǒng)和自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律,在考慮輸入飽和的前提下使得視線角誤差按預(yù)設(shè)性能收斂。盡管上述的預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律都具有良好的性能,但仍然有進(jìn)一步改進(jìn)空間。目前提出的眾多預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律都采用傳統(tǒng)的指數(shù)型性能函數(shù),僅能保證受控狀態(tài)漸近收斂,并且大多以視線角誤差的快速收斂為目的,對(duì)導(dǎo)彈的過載需求較大,為了降低需用過載,可以降低視線角誤差的收斂速度,保證其在攔截時(shí)刻之前收斂至要求的精度范圍內(nèi)即可。

為了在目標(biāo)機(jī)動(dòng)的情況下提高攔截精度,需要對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)造成的外部擾動(dòng)進(jìn)行精確估計(jì)與補(bǔ)償。擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器能夠?qū)⑾到y(tǒng)復(fù)合擾動(dòng)擴(kuò)張為一個(gè)新的狀態(tài)并對(duì)擴(kuò)張狀態(tài)進(jìn)行精確估計(jì),在攔截制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用[15-16]。但目前的相關(guān)研究大多采用傳統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器,難以在保證觀測(cè)器性能的前提下靈活地選擇非線性增益函數(shù),且觀測(cè)器輸出和內(nèi)部狀態(tài)的峰值現(xiàn)象難以避免,從而導(dǎo)致制導(dǎo)指令的急劇增大。針對(duì)傳統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的缺點(diǎn),文獻(xiàn)[17]提出了一種具有級(jí)聯(lián)形式的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器,該形式提高了非線性增益函數(shù)的設(shè)計(jì)靈活度,并且可有效減小觀測(cè)器狀態(tài)的峰值,適用于制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[18]建立了考慮攻擊角約束、輸入飽和、自動(dòng)駕駛儀滯后等問題的導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)模型,設(shè)計(jì)了改進(jìn)非奇異超螺旋積分滑模制導(dǎo)律,并通過一種級(jí)聯(lián)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)重構(gòu)和擾動(dòng)估計(jì)。

基于上述討論,本文提出了一種攔截三維空間內(nèi)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的自適應(yīng)有限時(shí)間預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律。首先,基于彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程建立面向制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型;然后,設(shè)計(jì)了一種級(jí)聯(lián)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器,實(shí)現(xiàn)了對(duì)外部擾動(dòng)的在線精確估計(jì),在此基礎(chǔ)上基于一種關(guān)于視線角誤差的預(yù)設(shè)性能函數(shù)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)有限時(shí)間制導(dǎo)律,使視線角誤差具備預(yù)設(shè)的收斂特性。兩種目標(biāo)機(jī)動(dòng)模式下的仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提制導(dǎo)律的有效性和魯棒性。

1 數(shù)學(xué)模型及問題描述

1.1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

將導(dǎo)彈和目標(biāo)均視為速度大小不變的質(zhì)點(diǎn),則三維空間中的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。圖1中OIXIYIZI表示地面慣性坐標(biāo)系,OTXTYTZT和OMXMYMZM分別表示目標(biāo)和導(dǎo)彈速度坐標(biāo)系,OMXLYLZL表示視線坐標(biāo)系。θM和φM分別為導(dǎo)彈相對(duì)于視線坐標(biāo)系的速度傾角和速度偏角;θT和φT分別為目標(biāo)相對(duì)于視線坐標(biāo)系的速度傾角和速度偏角;導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度分別表示為VM和VT;R為彈目相對(duì)距離;θL和φL分別為視線傾角和視線偏角。

圖1 彈目三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖

彈目三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程及導(dǎo)彈和目標(biāo)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程分別如式(1)～(3)所示[19]:

(1)

(2)

(3)

(4)

由式(1)～(3)可知,視線角θL和φL的二階導(dǎo)數(shù)滿足式(5):

(5)

1.2 問題描述

為了在考慮終端攻擊角約束的同時(shí)進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì),將式(5)進(jìn)一步整理為如下形式:

(6)

(7)

本文的設(shè)計(jì)目標(biāo)可概括為:設(shè)計(jì)一種需用過載較小且指令平滑的制導(dǎo)律u,使得在未知干擾d作用下,在終端攔截時(shí)刻前,有e1→0和e2→0。

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本節(jié)首先設(shè)計(jì)了一種級(jí)聯(lián)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)外部擾動(dòng)進(jìn)行精確估計(jì),然后基于預(yù)設(shè)性能控制和擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)乃枷雽?duì)式(6)所示的系統(tǒng)進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換,并針對(duì)轉(zhuǎn)換后的模型設(shè)計(jì)了自適應(yīng)有限時(shí)間制導(dǎo)律,在保證導(dǎo)彈能夠有效攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的同時(shí),降低了需用過載。基于本文制導(dǎo)律的閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

2.1 級(jí)聯(lián)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

針對(duì)系統(tǒng)(6),將外部擾動(dòng)d作為擴(kuò)張狀態(tài),可將系統(tǒng)(6)擴(kuò)展為式(8):

(8)

(9)

(10)

(11)

由上述性質(zhì)可知,非線性增益hi(x)/x能夠根據(jù)觀測(cè)誤差x在由ki1和ki2決定的區(qū)間內(nèi)自適應(yīng)調(diào)節(jié)。當(dāng)觀測(cè)誤差較大時(shí),觀測(cè)器增益也隨之增大,從而使觀測(cè)誤差快速收斂;當(dāng)觀測(cè)誤差趨于穩(wěn)態(tài)時(shí),觀測(cè)器增益較小,可降低觀測(cè)噪聲對(duì)觀測(cè)器狀態(tài)造成的不利影響。

為了防止產(chǎn)生過大的制導(dǎo)指令,對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行自適應(yīng)限幅處理,經(jīng)過限幅后的觀測(cè)器形式如下:

(12)

(13)

(14)

(15)

2.2 自適應(yīng)有限時(shí)間預(yù)設(shè)性能函數(shù)

(16)

由上述討論可知,ρ(t)將在Te處收斂至ρ∞,Te由估計(jì)攔截時(shí)間Tgo+t和可調(diào)參數(shù)w決定。因此收斂時(shí)間Te可根據(jù)攔截時(shí)間自適應(yīng)調(diào)節(jié),能夠適應(yīng)不同任務(wù)場(chǎng)景。此外,令w接近于1可使Te接近于攔截時(shí)間,有利于降低需用過載。

(17)

式中:Mmax>0;Mmin=2-Mmax。當(dāng)且僅當(dāng)ξ1i=1時(shí),ε1i=0。因此當(dāng)ε1i→0時(shí),e1i→ρi。

由式(6)、式(17)可知:

(18)

(19)

(20)

2.3 自適應(yīng)有限時(shí)間制導(dǎo)律

本小節(jié)對(duì)式(20)所示的預(yù)設(shè)性能架構(gòu)下的誤差系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)有限時(shí)間制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。

定義函數(shù)sig(x)α∈Rn如下所示:

sig(x)α=[|x1|αsgn(x1),…,|xn|αsgn(xn)]T

(21)

式中:x=[x1, …,xn]T∈Rn;α∈(0, 1)。

(22)

(23)

(24)

將u代入式(24)可得:

(25)

(26)

證.構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

V2關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為:

(33)

由Cauchy-Schwarz不等式和范數(shù)相容性原理知:

(33)

Q可進(jìn)一步改寫為如下形式:

(34)

式中:q11,q12,q12和q22的具體形式如式(35)～(37)所示:

(35)

(36)

(37)

由式(27)可得:

(38)

(39)

式中:λmin(·)和λmax(·)分別為矩陣的最小特征值和最大特征值。

由于β∈(0,1),故由式(39)可知:

(40)

進(jìn)而有

(41)

(42)

(43)

(44)

式中:i=1,2;σi, Δi為相關(guān)的容限值參數(shù)。

3 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

本節(jié)通過導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的數(shù)值仿真驗(yàn)證所提制導(dǎo)律的有效性。仿真條件設(shè)置為:仿真步長為1 ms,攔截彈最大過載為25,重力加速度g=9.8 m/s2,θLf=35°,φLf=5°,導(dǎo)引頭盲區(qū)為10 m,仿真初始條件如表1所示。

表1 仿真初始條件

目標(biāo)機(jī)動(dòng)模式設(shè)置如下:

模式2:aYT(t)=aZT(t)=3gsin(4t)

為充分驗(yàn)證所提制導(dǎo)律及觀測(cè)器的優(yōu)越性,選擇對(duì)比制導(dǎo)律為文獻(xiàn)[25]中的有限時(shí)間滑模制導(dǎo)律,并將文獻(xiàn)[10]中的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器改進(jìn)后作為對(duì)比觀測(cè)器。對(duì)比制導(dǎo)律形式如式(45)所示:

u1=-b-1(f+G1+k1S+c1sig(S)α1+c2sig(S)α2)

(45)

式中:α1>1; 0<α2<1;k1,c1和c2均為正常數(shù);S的具體形式如式(46)所示,其中φ和λ均為待設(shè)計(jì)的正常數(shù)。

S=e2+φe1+λl1(e1)

(46)

(47)

G1的具體形式如式(48)所示:

(48)

對(duì)比擴(kuò)張觀測(cè)器形式如式(49)所示:

(49)

式中:Z(ev)的具體形式如式(50)～(51)所示:

Z(ev)=[Z1,Z2]T

(50)

(51)

本文制導(dǎo)律、對(duì)比制導(dǎo)律和對(duì)比觀測(cè)器的參數(shù)設(shè)置如表2所示。在后續(xù)仿真分析中,GL1表示基于本文級(jí)聯(lián)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的自適應(yīng)有限時(shí)間預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律;GL2表示以對(duì)比制導(dǎo)律為基準(zhǔn),本文觀測(cè)器作為擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律;GL3表示以本文自適應(yīng)有限時(shí)間預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律為基準(zhǔn),對(duì)比觀測(cè)器作為擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律。

表2 本文制導(dǎo)律、對(duì)比制導(dǎo)律和對(duì)比觀測(cè)器參數(shù)設(shè)置

3.1 單次仿真分析

首先分別在兩種機(jī)動(dòng)模式下進(jìn)行單次仿真分析。圖3～5對(duì)比了三種制導(dǎo)律的三維攔截軌跡和視線角誤差曲線。由圖3可知,三種制導(dǎo)律都能實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效攔截,但GL1和GL3作用下的彈道更加平滑。由圖4～5可知,GL1和GL3作用下的視線角誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂至預(yù)設(shè)性能剖面上,并且沿剖面收斂至預(yù)設(shè)精度,而GL2作用下的視線角誤差存在較大的超調(diào)。

圖3 三維攔截軌跡

圖4 機(jī)動(dòng)模式1下的視線角誤差曲線

圖5 機(jī)動(dòng)模式2下的視線角誤差曲線

圖6～7為過載曲線圖,由圖可知,與GL2相比,GL1和GL3的過載需求較小;與GL1相比,由于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的觀測(cè)誤差較大,GL3的制導(dǎo)指令存在較大波動(dòng)。

圖6 機(jī)動(dòng)模式1下的過載曲線

圖7 機(jī)動(dòng)模式2下的過載曲線

表3 機(jī)動(dòng)模式1下的制導(dǎo)律性能對(duì)比

表4 機(jī)動(dòng)模式2下的制導(dǎo)律性能對(duì)比

3.2 蒙特卡羅仿真分析

為了進(jìn)一步展示本文制導(dǎo)律的有效性,本小節(jié)進(jìn)行了500次考慮導(dǎo)引頭測(cè)量噪聲和初始條件偏差的蒙特卡羅仿真測(cè)試。在相對(duì)距離、相對(duì)距離變化率、視線角以及視線角速率的測(cè)量值中分別加入三倍標(biāo)準(zhǔn)差為10 m、10 m/s、0.008°和0.008/((°)·s-1)的高斯白噪聲,考慮偏差的初始條件滿足如表5所示的正態(tài)分布,其余仿真條件保持不變。

表5 初始條件偏差設(shè)置

蒙特卡羅仿真結(jié)果如表6～7所示。由表中數(shù)據(jù)可知,GL1和GL3的各項(xiàng)指標(biāo)均值都優(yōu)于GL2,各項(xiàng)指標(biāo)的波動(dòng)范圍也明顯較小。機(jī)動(dòng)模式1下,GL1的脫靶量略大于GL3,但兩者相差不大,除此之外,在兩種機(jī)動(dòng)模式下,GL1的各項(xiàng)指標(biāo)均值均略優(yōu)于GL3。兩者均能夠在考慮導(dǎo)引頭量測(cè)噪聲和初始條件偏差的情況下以較低的過載實(shí)現(xiàn)有效攔截。

表6 蒙特卡羅仿真中的制導(dǎo)律性能對(duì)比(機(jī)動(dòng)模式1)

表7 蒙特卡羅仿真中的制導(dǎo)律性能對(duì)比(機(jī)動(dòng)模式2)

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于級(jí)聯(lián)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的自適應(yīng)有限時(shí)間預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律,在滿足終端攻擊角約束的前提下完成了對(duì)三維空間內(nèi)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截任務(wù)。針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度信息未知的情況,設(shè)計(jì)了級(jí)聯(lián)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器精確估計(jì)了目標(biāo)機(jī)動(dòng)造成的外部擾動(dòng),同時(shí)設(shè)計(jì)自適應(yīng)預(yù)設(shè)性能函數(shù)定量刻畫了視線角誤差的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性,在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)自適應(yīng)有限時(shí)間制導(dǎo)律,保證視線角誤差按預(yù)設(shè)性能收斂。在兩種目標(biāo)機(jī)動(dòng)模式下進(jìn)行了仿真分析,首先通過單次對(duì)比仿真驗(yàn)證了所提制導(dǎo)律能夠以更小的過載和特定的終端攻擊角攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo);進(jìn)一步通過蒙特卡羅仿真驗(yàn)證了所提制導(dǎo)律的魯棒性。