一類非線性需求下漁業經濟模型的動力學分析

周 歡

(蘭州交通大學 數理學院,甘肅 蘭州 730070)

資源的可持續利用是國內外學者研究的重要課題.當多個競爭個體共同利用公共資源時,謀利行為便是一個典型的博弈問題[1].對漁業經濟的研究,通常用動態模型來描述資源數量的變化,進而獲得最優的捕撈決策,制定一些措施來防止過度捕撈.Munro[2]與Levhari 等[3]是最早將漁業經濟與博弈論結合起來的學者,其中Munro把漁業資源的動態模型與由 Nash 提出的兩個個體合作理論結合在了一起; Levhari 和Mirman 主要研究了在離散區域內,兩個體共同捕撈漁業資源的情形;Bischi[4]考慮了一個基于古諾寡頭壟斷博弈的多主體漁業經濟模型,研究了非負平衡及其表示;顧恩國等[5]研究了具有不對稱對手信息的兩寡頭博弈公共漁業資源的動力學模型.大多數模型中價格被看作是一個定值,但實際上價格取決于一些變量,如資源密度或捕撈努力量.Mansal[6]使用了關于價格的線性遞減需求函數,獲得穩定的無魚平衡的情況,即漁業(捕撈努力量)在下降,而魚類豐度趨于其承載能力.但是對于非線性需求函數,魚類生物密度可以趨于零,而捕撈努力量仍然保持正的.Sidy Ly等[7]應用了一個價格的雙曲線函數,考慮了資源的演變、不同地點之間的魚類和船只流動、捕撈努力量和價格隨供求關系而變化.事實上,在線性需求函數的情況下,存在一個最高價格,超過該價格,需求變為負(即等于零).相反,在雙曲需求函數的情況下,即使價格非常高,需求仍然是正的.Brochier等[8]考慮可變價格的雙曲需求函數,得出捕撈努力的流動性加上可變的魚類價格導致了從當地過度開發到次區域可持續開發的轉變.

在動態模型中研究非線性動力學行為是十分必要的.史曉琳[9]利用相圖和時間序列圖研究了幾類關于捕撈函數的漁業經濟模型.劉唯一[10]研究了幾類生物模型中的不動點的穩定性與分岔.Li Hui等[11]研究了經濟動力系統有兩條不同的混沌路徑,一條是通過flip分叉,另一條是通過Neimark-Sacker分叉.此外,吸引子和可行域也是許多學者感興趣的問題.Bischi[12]研究了雙寡頭博弈中的多重穩定性和極限環.燕嘉敏[13]利用最大Lyapunov指數圖,吸引子共存研究了異質企業的經濟動力學模型.朱彥蘭等[14]研究了系統中的吸引子的結構和數目隨參數的變化.張亞鵬等[15]研究了吸引子共存時可行吸引域的演化.

因此,針對傳統漁業經濟模型中線性需求函數無法代表實際中較為多變情形的問題,本文考慮了突破市場最高價格后,仍存在需求的實際情形,建立了一個非線性需求函數下漁業資源存儲量與捕撈量之間相互作用的多主體漁業經濟模型,其中多個主體是完全不合作的且通過數值模擬與非線性動力學知識研究了參數如何變化時,漁業資源會得到可持續發展,并且個體獲得更多的回報.

1 模型建立

假設有n個個體和m個市場,其中n,m>1.n個個體收獲魚,每個個體在m個市場上出售魚.根據Brochie[8]采用的非線性需求函數,本文假定逆需求函數為

(1)

其中:Ai表示市場i(i=1,2,…,m)的價格等于0時的最大瞬時需求;Bi表示需求相對于價格的敏感度的參數;xki表示t時間內,個體k(k=1,2,…,n)收獲并在市場i(i=1,2,…,m)上出售的魚的數量.

令X(t)是在時間t時魚類的總生物量,hk(t)是在時間t時個體k(k=1,2,…,n)收獲(和出售)的魚量,其中:hk(t)=xk1(t)+xk2(t)+…+xkm(t).

根據Clark[16]提出的柯布-道格拉斯函數,假設個體k(k=1,2,…,n)的捕撈成本函數為

(2)

其中:ck表示固定成本;γk表示技術參數.

假設si(t)=x1i(t)+x2i(t)+…+xni(t)為時間周期t內市場i(i=1,2,…,m)供應(和銷售)的魚量,且

H(t):=h1(t)+h2(t)+…+hn(t)=
s1(t)+s2(t)+…+sm(t).

(3)

假設每個個體都擁有完善的種群信息,在這種情況下,捕撈的魚群的動態是由一維系統控制,

X(t+1)=
X(t)(1+α-βX(t))-H(t),

(4)

其中:α表示內在增長率;K=α/β表示環境承載力.

當多個主體在完全合作的情形下,每個個體k(k=1,2,…,n)通過最大化群體的整體利益來決定收獲政策,則結合(1)和(2),可得個體k(k=1,2,…,n)在時期t的利潤函數為

(5)

使得個體k(k=1,2,…,n)目標函數最大的一階條件(邊際利潤)為

其中:π(t)是t時段多個主體的總利潤,

假設每個個體決定其自身的收獲活動,是使得參與的多個主體的聯合利潤最大化.每一時間段t所有個體決定t+1時段的捕撈量,必須形成其競爭對手的捕撈量的預期.則第k(k=1,2,…,n)個個體在t+1時段的捕撈量為

hk(t+1)=argmaxπk(hk(t),h-ke(t+1)),

(6)

其中:h-ke(t+1)表示第k(k=1,2,…,n)個個體關于其他個體的決策預期.

(7)

本文研究所有個體k(k=1,2,…,n)在市場i(i=1,2,…,m)出售的總捕撈量.因此對上式左右兩邊所有的i(i=1,2,…,m)和k(k=1,2,…,n)相加得到

(8)

(9)

(10)

結合(4)和(10),建立漁業資源儲量與捕撈量之間相互作用的模型為

(11)

2 均衡點的存在性以及穩定性

系統(11)的不動點滿足X(t+1)=X(t),H(t+1)=H(t),代入式(11),得

(12)

即不動點的坐標滿足

X(t)(α-βX(t))=
(nbX(t))/(2mc).

(13)

為了考慮模型本身的意義((X,H)∈{(X,H)|0

S={(b,c,α,β,n,m)|α>0,β>0,
α>(nb)/(2mc),c≠0,n>1,m>1}.

系統(11)的Jacobi矩陣為

(14)

因此有以下命題.

命題1當滿足下列條件時納什均衡點E*是局部穩定的:

(nb)/(2mc)<α<2+3M,M=min{1,α}.

證明系統在納什均衡點E*處的Jacobi矩陣為

(15)

J(E*)的特征多項式為

P(λ)=λ2-tr(J(E*))λ+det(J(E*))λ,

根據Jury判據:

(i)1-trJ(E*)+detJ(E*)>0;

(ii)1+trJ(E*)+detJ(E*)>0;

(iii)1-detJ(E*)>0.

由條件S可知(i′)是恒成立的,根據條件(iii′)可得

結合條件(i′)和上式可得

(16)

化簡條件(ii′),并將式(16)代入,則有

本節考慮有3個主體參與收獲,并且在3個市場中出售所收獲的魚類,即n=m=3.當其他參數分別取α=2.5000,β=0.3570,b=1.3600,c=2.3400時,可得

計算該Jacobi矩陣的特征值,可得:λ1=-0.4594+0.2820i和λ2=-0.4594-0.2820i.根據二維離散動力系統均衡點的局部穩定性條件可知,Re(λ1)=Re(λ2)=-0.4594,均小于1,可以證實該納什均衡點E*確實是一個穩定的焦點.

3 數值模擬

前面對納什均衡點進行了穩定性分析,本節將通過數值模擬,利用單參數分岔圖、吸引子和可行吸引域數目和結構的變化進行系統的動力學行為分析.在非線性動力系統中,系統參數的改變可能會導致系統動態行為的顯著改變.此外,共存吸引子意味著系統的多穩態運動,即非線性系統的分岔演化行為隨參數或初始條件的改變導致系統解數目的變化,分岔產生的穩定解導致了多個吸引子共存現象,因此多穩態運動被認為與分岔現象密切相關.在以下的數值模擬中,討論兩個主體參與收獲并且在兩個市場出售的情形,即:n=m=2;假定固定成本ck=0,并且假定兩個參與者擁有同樣技術捕獲漁類生物,之后在相同的市場上出售.

3.1 可行吸引域

首先根據文獻[1],對系統(11)給出可行吸引域的定義.

(17)

這里?Ω表示可行吸引域Ω的邊界.由(17)可知,X(t)的原象是H(t),因此可得

選取參數α=2.8075,β=0.5369,b=0.3500,c=2.9300,可以得到這組參數條件下的可行吸引域,如圖1所示.此時,可行吸引域Ω是由H(t)在T-1的一次映射下得到的一階原像H-1和X(t)軸所圍成的區域,在圖中用淺灰色標記.

圖1 可行吸引域

3.2 參數對系統穩定性的影響

由于納什均衡點的穩定性與α,b,c有關,所以選取這3個參數作為分岔參數.首先固定參數β=1.5887,b=1.2100,c=2.8400,初始條件選取為(1.5000,0.9600),得到關于α的單參數分岔圖,如圖2(a)所示,黑色代表漁業資源存儲量X(t),淺灰色代表總的捕獲量H(t).可以發現系統在經歷了一系列的flip分岔后,將從周期態進入混沌狀態.其相應的一維最大Lyapunov指數圖如圖2(b)所示,分岔發生在最大Lyapunov指數等于零處,分別是2.6360,3.0380,3.1150,3.1330,3.1380等處.雖然在α∈(3.2220,3.2340)(圖2(a)灰色虛線之間)時,單參數分岔圖有一個小的“周期窗口”,此時系統處于短暫的6-周期,但是要想在實現多個主體利潤最大化的同時,實現資源的可持續發展,需要將漁類生物的內在增長率控制在小于3.1380的范圍內(圖2(a)灰色虛線左側),系統(11)才會處于一個穩定的狀態.

為了研究“周期窗口”附近系統的狀態變化,在圖2相同的參數條件下,模擬參數α∈(3.1000,3.2300)系統中吸引子演化過程如圖3所示.α=3.1000時,系統(11)存在著一個4-周期不動點吸引子,如圖3(a)所示.隨著內在增長率α的增加,這個不動點吸引子在α=3.1500通過局部分岔變為一個4-周期的混沌吸引子,如圖3(b)所示.進一步增大α,4-周期的混沌吸引子的范圍會不斷變大,并且互相靠近,如圖3(c)所示,在α=3.2000時,4-周期的吸引子變為2-周期的混沌吸引子.當內在增長率α持續增加至α=3.2300時,2-周期混沌吸引子進行了擴展合并的動態行為,最終形成一片混沌吸引子,如圖3(d)所示.

圖2 (a)關于α的單參數分岔圖;(b)(a)對應的一維最大Lyapunov指數圖

圖3 吸引子的演化(a)α=3.1000;(b)α=3.1500;(c)α=3.2000;(d)α=3.2300.

最后研究參數c對系統穩定性的影響,固定參數α=2.9465,β=2.2380,b=1.1700.初始條件選取為(1.5300,0.3300)時,系統關于參數c的單參數分岔圖如圖5(a)所示,系統首先從1-周期態在c=1.3620時發生跳躍到7-周期態,之后在c=1.5420時又回到1-周期態,之后經歷一系列flip分岔,最后進入混沌態.選取另外一組初始條件(0.9100,0.2200)時,系統的單參數分岔圖如圖5(b)所示.對比圖5(a)和圖5(b)可以看到系統在c∈(1.1800,1.5420)之間時(虛線之間),兩幅單參數分岔圖有明顯的不同(灰色線處).圖5(b)中系統從1-周期態跳躍到4-周期態,隨后又進入1-周期態,之后又在c=1.4040發生跳躍到7-周期態,在c=1.5420時又回到1-周期,之后經歷一系列flip分岔,最終進入混沌態.值得注意,在圖5(b)中的跳躍發生了兩次,分別是在c=1.1820和c=1.4040.以下利用可行吸引域和吸引子討論單參數分岔圖在這兩處跳躍的原因.當c=1.1820時,系統(11)中存在兩個吸引子,如圖5(c)所示,一個是3-周期吸引子(用“*”標記),另外一個是1-周期吸引的不動點(用“☆”標記),這兩個吸引子的吸引盆分別用黑色和灰色標記,逃逸區域用白色標記.這個1-周期的不動點是一個穩定的焦點,因為該點處的Jacobi矩陣為

計算可得特征值分別為λ1=-0.4783+0.5159i和λ2=-0.4783-0.5159i,Re(λ1)=Re(λ2)=-0.4783,均小于1.當c=1.4040時,系統中存在兩個吸引子,如圖5(d)所示,一個是6-周期吸引子(用“*”標記),另外一個是1-周期吸引的不動點(用“☆”標記),這個1-周期的不動點仍然是一個穩定的焦點,因為該點處的Jacobi矩陣為

計算可得特征值分別為λ1=-0.5566+0.3269i和λ2=-0.5566-0.3269i,Re(λ1)=Re(λ2)=-0.5566,均小于1.綜上所述,單參數分岔圖中出現跳躍現象的原因是吸引子共存.

除此之外,從兩組單參數分岔圖發現,系統每隔一段時間就會發生同樣的分岔行為,這在可行域內就是可行吸引域的自相似結構.圖5(c)和圖5(d)的可行吸引域的形狀像一座橋.不同吸引子的吸引盆的形狀像橋洞,每座大橋里面又有很多小橋和小橋洞.圖5中的自相似結構是一種弱分形結構[1],因為可行吸引域邊界上只有有限個尖點.綜合以上所述,當成本參數c保持在(1.5000,4.2000)之間時,系統將會保持在一個穩定的狀態,在這個范圍內漁類的生物量和各個主體捕撈量會實現可持續發展,而且多個主體也會獲得更多的收益.

4 結語

針對傳統漁業經濟模型中線性需求函數無法代表實際中較為多變情形的問題,本文考慮了突破市場最高價格后,仍存在需求的實際情形,建立了一個非線性需求函數下漁業資源存儲量與捕撈量之間相互作用的多主體漁業經濟模型.其中多主體之間是完全合作,他們以集體利益最大化作為自己下一階段的收獲決策.利用系統的Jacobi矩陣和Jury判據討論了不動點及其局部穩定性.隨后討論了各個參數條件對系統穩定性的影響,根據單參數分岔圖,價格敏感性和生物的內在增長率相對較小,成本參數保持在一定范圍內時,將有助于漁業資源的可持續發展,參與的多個主體也會獲得更多的回報.然后通過奇異吸引子的演化分析發現系統具有良好的自相似結構;通過系統的多穩態性分析發現由于吸引子的共存會讓單參數分岔圖有跳躍現象;通過吸引子與其吸引盆的接觸導致的“邊界危機”, 研究可行吸引域結構的變化.此外,通過可行吸引域的形狀和大小,可以防止過度捕撈、魚類資源枯竭和經濟效益低下.對這一復雜系統的分析會支持漁業資源的可持續發展,也會增加各個主體的經濟收益.

圖4 (a)關于b的單參數分岔圖;(b)b=0.3518時系統(11)的可行吸引域;

圖5 (a)初始條件選取為(1.5300,0.3300)分岔參數c的單參數分岔圖;(b)初始條件選取為