“二元一次不等式確定平面區域”方法的優化探究

鄧志敏 繆詣欣

摘要：在高中數學教學中，教師如果能引領學生通過研究、討論、總結，形成一些簡捷、實用的方法或“二級結論”，將會對學生解決數學實際問題提供有力的幫助.本文中嘗試在“簡單的線性規劃問題”中，傳授給學生一種快速確定二元一次不等式所確定的平面區域的辦法，力求貼近學生實際，便于有效理解、記憶和運用.

關鍵詞：線性規劃問題；二元一次不等式確定的平面區域；“左右側判定法”

1 對教材意義的認識

“簡單的線性規劃問題”是數學實際應用的典范，是培養學生“數學建模”思想和能力的重要理想素材.對于高中學子而言，簡單的二元變量線性規劃問題貼近生活實際，讓他們覺得數學“并不遙遠”.而且，高中階段“線性規劃”問題一般涉及在一定條件下合理配置資源，為使某種目的達到最佳，統籌人力、物力等作出最優決策而提供數學解決依據.因此，該學習內容能夠激發學生學習數學的興趣，提高運用所學知識解決實際問題的積極性，并在問題解決中獲得“成功體驗”.該內容能進一步加深學生對“函數”的理解，多角度鍛煉學生“數形結合”能力，培養學生“應用數學”意識，是增強學生分析、解決問題能力的良好載體［1］.

2 問題的提出、解決及結論的推廣

2.1 問題的提出

關于二元一次不等式（組）所表示的平面區域的確定，以Ax+By+C>0或Ax+By+C<0，A2+B2≠0為例，一般有以下三種方法：

（1）取點判別法：直線定邊界，一點定區域，“合則在，不合則不在”.

（2）B符號判別法：直線定邊界，符號定區域，“同上異下”.

（3）A符號判別法：直線定邊界，符號定區域，“同右異左”.

其中后兩種判別法具體敘述如下：已知二元一次函數f（x，y）=Ax+By+C（A2+B2≠0）.

①B符號判別法：若B≠0，則有點P1（x1，y1）在直線Ax+By+C=0上方B與f（x1，y1）同號；點P1（x1，y1）在直線Ax+By+C=0下方B與f（x1，y1）異號.

②A符號判別法：若A≠0，則有點P1（x1，y1）在直線Ax+By+C=0右側A與f（x1，y1）同號；

點P1（x1，y1）在直線Ax+By+C=0左側A與f（x1，y1）異號.

良好的教學載體往往蘊含著豐富的數學思想和深刻的教育內涵.筆者對這部分內容作了一些研究，在研究和教學實踐過程中一直思索如下三個問題：一是哪種方法更貼近學生實際？二是怎樣揭示數學本質的思維，培養學生能力？三是怎樣讓學生快速、有效記憶數學知識和結論，以達到切實理解和準確運用？

2.2 問題的解決

方法：左右側判定法.

背景：在平面直角坐標系中，一旦直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的位置確定，則直線把平面區域分為“左上、右下”和“左下、右上”兩大類情況，如圖1、圖2.

結論1 對于二元一次不等式Ax+By+C>0或Ax+By+C<0（A2+B2≠0），

若A>0，則有：

不等式Ax+By+C<0表示的區域，在直線Ax+By+C=0的“左側”（含左上、左下）；

不等式Ax+By+C>0表示的區域，在直線Ax+By+C=0的“右側”（含右上、右下）.

背誦口訣：（在A>0的前提下）不等號小于零，區域在直線左側；不等號大于零，區域在直線右側.簡稱“左小右大”！

證明及思維引導（以斜率為正的情況為例）：

設f（x，y）=Ax+By+C（A2+B2≠0）.

（1）在直線左側任取一點P1（x1，y1），則它離直線“有一小段距離”，想一想怎樣才能“刻畫或計算”這個距離？

（2）引導學生作直線y=y1交直線l于點P0，設P0的坐標為（x0，y1），如圖3，則“距離”可以考慮用與“x1-x0”相關的式子來表示.

（3）進一步思考，怎樣計算能夠出現“x1-x0”？

（4）由P0（x0，y1）在直線l上，則f（x0，y1）=0.

考慮f（x1，y1）=f（x1，y1）-f（x0，y1）

=（Ax1+By1+C）—（Ax0+By1+C）

=A（x1-x0）.

因為P1（x1，y1）在直線l左側，所以x1-x0<0，而A>0，則f（x1，y1）-f（x0，y1）<0，

故f（x1，y1）＜0，即直線左側區域的點（x，y）

必滿足Ax+By+C<0.

因此A>0時，不等式Ax+By+C<0表示的區域在直線Ax+By+C=0的“左側”.

同理，若在直線右側取點，則x1-x0>0，由A>0，得f（x1，y1）-f（x0，y1）>0，

故f（x1，y1）＞0，即直線右側區域的點（x，y）必滿足Ax+By+C>0.

因此當A>0時，不等式Ax+By+C>0表示的區域在直線Ax+By+C=0的“右側”.

2.3 結論的推廣

根據結論1不難得出直線l同側的兩個點對應的二元函數的值符號相同，異側的兩個點對應的二元函數值符號相反，于是有如下結論：

結論2 已知二元一次函數f（x，y）=Ax+By+C（A2+B2≠0），則有：

①點P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直線Ax+By+C=0同側f（x1，y1）·f（x2，y2）>0;

②點P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直線Ax+By+C=0異側f（x1，y1）·f（x2，y2）<0.

證明略，可以留作學生思考.相信在結論1的基礎上，結論2很容易被學生接受.

3 方法對比和體會

“取點判別法”，即取特殊點，計算函數值，判斷點與直線的位置關系再確定平面區域.而“A，B符號判別法”需由A（或B）的符號與不等式的符號的異同來確定平面區域，其口訣“同上異下”“同右異左”的理解具有一定的難度.

相比之下，筆者認為“左右側判定法”是對“A符號判定法”的深化和進一步簡便，優勢在于：

（1）從根本上避免了“取點判別法”和“A，B符號判別法”中代入求f（x1，y1）的計算過程；

（2）先將不等式（或直線）的系數A化為“正”，符合直線的“一般式方程”系數A為正的要求，以及學生的一般思維習慣；

（3）對于給定的二元一次不等式（組），要快速判定相關區域得到線性規劃問題的“可行域”只需兩步：①

在坐標系中快速畫出直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）.②依據結論1的口訣“左小右大”，快速確定相關區域.

4 運用舉例

解：在坐標系中分別作出兩條直線（如圖4），

則x-3y+6<0表示的平面區域在直線x-3y+6=0（虛線）左上側，x-y+2≥0表示的區域在直線x-y+2=0（實線）的右下側，故可行域應是圖中的陰影區域，且兩直線的交點坐標為（0，2）.

設z=2x+y，得y=-2x+z，當斜率為-2的直線經過點（0，2）時，縱截距z最小，且

zmin=2×0+2=2.

故2x+y的取值范圍是（2，+∞）.

參考文獻：

［1］劉洪見.對二元一次不等式確定平面區域的探究［J］.語數外學習（高考數學），2011（5）：59-60.