立足基礎，多元表征，辨析對比，感悟算理

袁慧

【摘? ?要】教材的改變引發了對學生算理理解的后測。測試結果顯示，很多學生將筆算乘法固化成了程序性的計算流程。在反思已有教學的基礎上，教師嘗試借助同一算式不同表征間的勾聯、不同算式多元表征間的辨析對比，拓展“兩位數乘兩位數”的教學，發現通過學習，學生更好地理解了算理、掌握了算法。

【關鍵詞】多元表征；異中求同；算理理解

一、教材的一處變動引發的思考

2023年新修訂的人教版教材在三年級下冊“兩位數乘兩位數”單元的“筆算乘法”中重現了歸納計算法則（如圖1）。而在這版教材之前，依據《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》編寫的人教版教材基本都未對計算法則進行整體梳理。這些教材通常只是以人物對話的形式呈現小組討論的要求，讓學生在互相討論的基礎上，歸納出乘數是兩位數的乘法的計算步驟，總結筆算乘法的計算法則。不過，早在2003年，浙江省使用的教材（浙江教育出版社出版，以下簡稱“省編教材”）就已經對計算方法進行了歸納呈現（如圖2）。

仔細研讀對計算法則有整體梳理的相關教材，發現：從表述上看，“省編教材”的計算法則明確表明要拆分第二個因數，2023版人教版教材的計算法則中則沒有這個規定，既可以拆分第一個乘數，也可以拆分第二個乘數。如今教材已經更新，那么教師的教學行為有沒有發生變化呢？

二、教學后測引發的教學反思

筆者對某區城鎮小學和農村小學共200名四年級學生進行了問卷調查，考查學生對“兩位數乘兩位數”算理的理解情況，調查問題如圖3所示。

從調查結果看，城鎮小學和農村小學四年級學生的差異不大，這說明教師的教學行為基本相似。約90%的學生能看懂圖3的豎式計算，其中約50%的學生認為這樣做是錯誤的，因為這樣計算違反兩位數乘兩位數的計算方法。有近100名學生認為這種做法是正確的，其中約44%的學生能正確表述這種做法的算理，約39%的學生是通過乘、除法的驗算確定答案正確才認同這種做法的，還有約17%的學生無法表述認同的理由。

從上述調查結果分析中發現，很多學生已將筆算乘法固化成了程序性的計算流程，他們沒有真正理解筆算乘法的算理，不能靈活地應用算理解決問題。這樣的結果與教師忽略對算理的理解，過于注重乘法計算方法的規范性有關。那么，如何破解筆算乘法中的教學難點呢？對此，整數乘法的歷史發展提供了啟示。歷史上整數乘法的計算方法多樣，其本質是依據位值原則、數的組成與分解、運算規律和性質，將多位數乘法轉化為表內乘法口訣，與拆分哪個因數、從哪一位上乘起無關。［1］因此，有必要讓學生“創造”出解決問題的多種方法，讓他們在對方法的分析、對比、聯系中理解算理、掌握算法。

三、基于理解算理的教學嘗試

為了讓學生真正理解乘法“先分后合”的運算本質，避免他們按照筆算乘法程序性的計算流程操作，在新授“兩位數乘兩位數”時，可以創設探究兩位數乘兩位數算理的系列學習活動，還可以在學生掌握豎式計算方法后，安排圖式幫助他們理解整數乘法“先分后合”原理的拓展內容。本次嘗試是在學生掌握豎式計算方法后開展的拓展內容教學，教學時強調立足知識基礎，引導大膽創新，通過圖式表征、意義表征和形式化表征的聯系，促進學生對算理的深度理解。

（一）聯系學習經驗，激活認知基礎

教學中應立足知識基礎，從學生已有經驗出發，激活知識的聯結點，為后續學習知識方法的聯系、遷移、轉化做好鋪墊。本環節按照“豎式表征—圖式表征—橫式表征”的流程，通過對三者的比較，幫助學生理解算理的一致性，引導學生從意義和形式兩個方面初步感知乘法分配律。

1.豎式計算，回顧舊知

（1）布置任務：請你用豎式計算“23×14”，并說說每一步表示什么。

（2）學生用豎式計算后進行反饋。

師：誰來說說你是怎樣計算的？積中的每個數表示什么意思？

生：92是由23×4得到的，表示4個23；230是由23×10得到的，表示10個23；最后把兩部分積加起來，得出322。

2.動手操作，圖式表征

布置任務：讓學生在點子圖上分一分，把豎式的計算過程表示出來。

3.觀察比較，建立聯系

出示圖4，全班交流討論。

師：圖4中的豎式計算和點子圖有怎樣的關系，兩者之間有什么相同點？

生：都是把14分成10和4，得到4個23和10個23來計算的。

生：都是運用“先分后合”的方法，先把兩位數乘兩位數轉化為兩位數乘整十數和兩位數乘一位數，再把兩部分的積加起來計算的。

師：豎式計算和點子圖都可以用橫式“23×14＝23×（10＋4）＝23×10+23×4”來表示。

（二）基于最近發展區，創生生長點

數的運算中，很多時候是算法多樣、算理一致。因此在計算教學中，應鼓勵學生從不同的角度看待問題，追求算法的多樣性，探尋算理的一致性。

1.經歷“點子圖—豎式—橫式”的表征過程

（1）教師提問：剛才我們將點子圖橫著分，此外還可以怎么分？請你試一試，完成下面的學習任務單（一）。

學習任務單（一）

1.分一分，先在點子圖上分一分，并寫出每部分所表示的含義。

2.記一記，將分的過程分別用豎式和橫式記錄下來。

3.比一比，不同記錄方法有什么相同的地方。

（2）全班交流反饋。

在前面把14分成10和4的基礎上，學生能想到也可以將23分成20和3，于是他們將點子圖縱向分割成兩部分（如圖5），左邊部分表示20×14，右邊部分表示3×14。學生在列豎式計算時，自然會調換兩個乘數的位置，將其變成標準豎式，并動手圈一圈，將豎式中每一部分積與點子圖對應起來。

教師要求學生不交換乘數的位置，用豎式計算“23×14”，思考怎樣算出“42”和“280”，“逼”學生跳出標準豎式的固有模式。學生通過圈一圈，發現可以在豎式上拆分第一個乘數，用第一個乘數個位上的“3”乘第二個乘數14得到42，用第一個乘數十位上的“2”乘第二個乘數得到280，即“28個十”。最后，教師引導學生比較點子圖和兩個乘法豎式，得出橫式： 23×14＝（20＋3）×14＝20×14＋3×14。

2.對比兩種分法，建立聯系

教師引導學生思考：比較計算“23×14”的兩種豎式算法、兩種不同的點子圖分法以及兩種不同的橫式記錄，你們有什么發現？

基于前一環節的學習經驗，學生很容易在這一環節進行遷移應用。教師要引導學生分別從豎式、點子圖、橫式表示分的過程及結果，進一步建立三者之間的聯系。同時，對兩種不同的分法進行對比，找出其相同點：（1）分法相同，將一個乘數分成整十數和一位數，得到兩部分的積；（2）計算方法相同，都是括號外面的數分別與括號里面的數相乘。本環節通過兩個方面的引導，幫助學生尋找共性，為后面構建計算模型埋下伏筆。

（三）基于算理一致性，分析·解構·重組·遷移

建構主義理論認為，學習過程是學生借助已有知識經驗去同化、順應新知識的過程。學習了前面兩種計算方法后，學生可以借助點子圖、橫式、豎式三種表征形式深入理解算理。教師引導學生打破已有的認知結構，對知識進行重組，采用合二為一的新分法，將分的過程由兩步變為四步，分的結果由兩個變為四個，還原豎式原有的結構，看清算理算法的真面目。

1.改變分法，多元表征

產生新猜想：在計算“23×14”時，我們對其中一個乘數進行了拆分，相應的點子圖也產生了兩部分的積，得到兩個不同的橫式記錄。如果將兩個乘數同時進行拆分，可以用怎樣的橫式來記錄？

師生討論得出：23×14＝（20＋3）×（10＋4）＝？

師：想一想，現在將兩個因數都進行拆分，那點子圖又該怎么分割呢？

生：將點子圖橫豎一起分，也就是將14分成10和4，將23分成20和3。

請你試一試，完成下面的學習任務單（二）。

學習任務單（二）

1.在點子圖上按照23×14=（20+3）×（10+4）的方法分一分。

2.用算式寫出點子圖上每部分所表示的含義。

3.用豎式、橫式記錄分的過程。

2.集體交流，突破難點

師：我們一起來討論學習任務單（二）。

生：我先在點子圖上把14分成10和4，把23分成20和3，得到四部分的積。每部分的積我都算出來了，但我不知道怎么用豎式來表示。

生：我根據點子圖上的四部分列了四個豎式，最后又寫了一個加法豎式，一共列了五個豎式。

生：我覺得可以把這五個豎式合并成一個長的豎式。

師生合作，將長豎式中的每一個積與點子圖上四部分的積、學生列的五個豎式一一對應（如圖6）。

師：那橫式“23×14＝（20＋3）×（10＋4）”該怎么計算，結果是多少呢？

師生合作，將這四部分的計算過程依次寫在橫式后面，再求出結果，并引導學生用連一連的方式表示橫式中的每一部分是括號中哪兩個數相乘得到的積，滲透多項式的乘法。

3.反思比較，建立模型

師：這三種不同表征方式有什么共同點？

引導學生理解乘法計算的算理，就是把兩位數拆分為整十數和一位數，可以拆其中一個乘數，也可以拆兩個乘數，將其變成四部分的積來計算兩位數乘兩位數，把各部分的積合并起來就是最后的結果。

本環節由兩步跨越到四步，不僅是一個量變的積累，更是一種質變的飛躍。采取“圖式表征—豎式表征—橫式表征”的交流方式，借助直觀圖式幫助學生理解橫式、豎式的四步記錄方式，能夠幫助學生構建初步計算模型。

（四）建構算理一致性下的計算知識與方法體系

在計算兩位數乘兩位數時，古今中外的很多方法都由四部分構成。為了讓學生進一步理解算理、算法的一致性，教學中可以介紹四步計算的多種方法，加深學生的理解。

1.溝通古今，建構模型

教師利用課件演示將點子圖換成長方形圖，讓學生理解求一共有多少個圓點就相當于求長方形的面積，求大長方形的面積可以先求出四個小長方形的面積，再求和，其中四個小長方形的面積相當于長豎式中四部分的積。

全班交流討論：古今中外還有很多方法也是分成這樣的四部分來進行計算的，如格子乘法和畫線算法（如圖7），如何在這兩種方法中找到長豎式中的四個積？在這兩種算法中最終又將如何求呢？

教師以面積圖和長豎式為學習支架，讓學生理解格子乘法和畫線算法，建立多種計算方法的內在聯系，理解“先分后合”的運算本質。

2.比較升華，體會算理一致性

師：我們以“23×14”為學習材料，討論了兩種短豎式和一種長豎式，在點子圖中找到了每種算法的計算過程，并用橫式將豎式計算的過程分別記錄下來，還發現格子乘法和畫線算法也是分四部分來進行計算的。那么，這些方法有什么共同點？你喜歡用哪一種？如果要推薦一種算法給明年的三年級同學，你會推薦哪一種？為什么？

每一種整數乘法的計算方法都能在歷史上找到原型，對格子乘法、畫線算法的原型進行分析能夠加深學生對計算模型的認知。實際上，整個教學過程都是圍繞乘法計算在歷史上的原型進行設計的，本拓展內容教學的目的是讓學生在對比聯系中更好地理解算理、掌握算法。因此，教學中讓學生對不同算法的多種表征進行比較，能夠幫助他們在表征的聯結中真正理解其背后的算理。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：通過數學學習，要讓學生體會數學之間聯系，并運用數學的知識與方法分析問題和解決問題。“兩位數乘兩位數”拓展內容的教學立足學生的已有認知，打破了知識間的阻隔，建立了知識間的內在聯系，加深了學生對兩位數乘兩位數算法背后算理的理解。其實，無論是整數乘法，還是小數、分數乘法，其算理在本質上是一致的，因此，在設計教學時應注重引導學生感悟知識與方法之間的聯系，引領學生對算理的一致性進行解讀與理解，幫助學生構建互相貫通的知識體系。

參考文獻：

［1］潘麗云.小學數學教師提升數學史素養的意義與路徑：以“豎式乘法”教學為例［J］.教學月刊·小學版（數學），2021（6）：14-18.