理性思維培養：核心素養下小學數學概念教學的根本

李國強　苗珠珠

【摘? ?要】數學核心素養指向理性思維的培養。數學概念是聯系數學與現實世界的橋梁，數學概念的習得過程蘊含豐富的理性思維，數學概念教學的根本就是培養學生的理性思維。核心素養下的小學數學概念教學，要通過“聚焦核心素養的主要表現，關注理性思維；重視數學概念的建構過程，凸顯理性思維；揭示數學概念的本質，促進理性思考；注重關鍵概念的教學，實現理性進階；嘗試概括數學概念，強化理性表達”等策略，培養學生的理性思維，發展學生的核心素養。

【關鍵詞】核心素養；理性思維；數學概念；概念教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）凸顯核心素養，并把核心素養確立為數學課程目標。然而，在“中國學生發展核心素養”的總體框架（如圖1）中，卻不見“數學”二字。那么，數學學科在學生核心素養培養中的價值到底是什么呢？

一、數學核心素養指向理性思維的培養

數學學科具有抽象性和嚴謹性。通過數學學習，學生能夠形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，增強理性精神。本質上，這與圖1中要發展的“理性思維”是一致的。具體而言，理性思維是人們把握客觀事物本質和規律的思維活動，它具有明確的思維方向和充分的思維依據，是一種能對事物或問題進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的思維。在人形成理性思維的過程中，數學發揮著不可替代的作用。

根據2022年版課標的要求，數學課程要培養學生的核心素養主要包括“三會”，即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。數學源于對現實世界的抽象，通過符號運算、形式推理、模型構建等，形成結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律。數學知識、方法與思想的獲得需要經歷觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括等學習活動，學習過程中處處體現著理性思維。從培養數學核心素養的角度看，會用數學的眼光觀察現實世界是“走進理性”，會用數學的思維思考現實世界是“體驗理性”，會用數學的語言表達現實世界是“理性表達”。小學階段核心素養的11個主要表現，是培養學生理性思維的載體和抓手（如圖2）。總之，小學階段數學核心素養的價值追求就在于“理性”，培養學生的數學核心素養就是發展學生的理性思維。

二、數學概念的教學蘊含豐富的理性思維

數學概念是客觀現實數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映，是數學知識的“細胞”，是一切數學規則的基礎。

小學生一般通過概念形成和概念同化兩種方式學習數學概念。概念形成是指學生在學習數學概念的過程中，通過觀察、比較、分析具體的事物，抽象概括出該事物的本質屬性，然后將其推廣到具有這些本質屬性的某類事物中，明確事物的外延，是從具體到抽象再到具體的過程。概念同化是指基于學生原有知識經驗，通過比較、分析、綜合、概括、判斷、推理等思維活動，給一類事物下定義，以揭示其本質屬性，讓學生充分認識原有概念和新概念之間的聯系，改變原有知識的認知結構，使舊概念得到改組或改造，從而獲得新的概念。總之，學生學習數學概念的過程是從具體事物到抽象本質的過程，充滿了比較、分析、綜合、概括、判斷、推理等豐富的思維活動。

數學概念作為判斷、推理、運算和證明的基礎，是數學思維和數學交流的重要工具，因此，理解數學概念對學生學好數學至關重要。但若從學生發展的視角看，當他們從學校畢業走進社會后，很多數學概念都會被忘記，真正積淀下來、對其長遠發展發揮作用的往往是學習數學概念過程中經歷的比較、分析、綜合、抽象、概括、推理等理性思維方式。從這個層面看，數學概念本身更像是概念教學的副產品，而學生理性思維的培養才是數學概念教學的根本。

三、核心素養下小學數學概念教學中理性思維的培養策略

（一）聚焦核心素養的主要表現，關注理性思維

核心素養的主要表現是培養學生理性思維的載體。因此，教師在設計教學時，不能只是簡單地關注具體知識點，還要從更高的層面關注核心素養的主要表現，并以此作為教學目標組織教學。

例如，在“用字母表示數”的教學中，不僅要關注如何用字母表示數，還要從符號意識的高度，讓學生經歷從數到字母的抽象、概括過程，感受數學表達的簡潔與準確；在“平均數”的教學中，不僅要關注平均數的含義與如何求平均數，還要考慮數據意識的培養，讓學生養成“用數據說話”的證據意識及理性思維習慣。

很多教師在教學人教版教材四年級下冊“圖形的運動（二）”中的“軸對稱”時，會把重點放在軸對稱的性質及如何補全軸對稱圖形上。而2022年版課標中的“學業要求”是“知道軸對稱圖形的對稱軸，能在方格紙上補全軸對稱圖形，形成推理意識”。因此，教師教學時，可設計諸如“你確定軸對稱圖形的依據是什么？”“補全軸對稱圖形時，為什么只要確定幾個對應點然后連起來就可以了呢？”等問題，以此引發學生思考，培養學生的推理意識，發展學生的理性思維。

（二）重視數學概念的建構過程，凸顯理性思維

數學概念是發展理性思維和建立數學知識體系的基本單位。數學概念的教學不僅要關注概念的內涵、外延，更要關注如何促進學生理性思維的發展，讓學生在觀察、分析、類比等思維活動中，積累抽象、概括、推理、辯證的思維經驗，提升數學理性思維水平。

在數學概念教學中，較為突出的理性思維包括抽象思維、推理思維、類比思維、辯證思維等，以下作簡要說明。

抽象思維：指舍棄物體的部分具體特征，在比較、辨析的過程中逐步得出同類事物共同的內在特征。如從文具盒、粉筆盒等實物中抽象出長方體。又如從“紅蘿卜是胡蘿卜的3倍”“黃花是藍花的3倍”“男生是女生的3倍”等具體的數量關系中，抽象出“3倍”的概念。抽象思維能使學生對事物的感性認識轉化為理性理解。

推理思維：指借助已有知識經驗對新的概念進行比較、辨析，并作出判斷。概念學習中蘊含推理思維。下面以“三角形分類”的教學片段進行說明。

（教師準備了幾個裝有三角形圖片的信封，出示其中的一個信封，只露出一個直角，讓學生猜猜里面是什么三角形）

師：里面是什么三角形？

生：我看到一個直角，這個三角形一定是直角三角形，因為有一個角是直角的三角形叫作直角三角形。

（教師出示第二個信封，只露出一個鈍角，讓學生猜猜里面是什么三角形）

師：里面是什么三角形？

生：我看到一個鈍角，這個三角形一定是鈍角三角形，因為有一個角是鈍角的三角形叫作鈍角三角形。

（教師出示第三個信封，只露出一個銳角，讓學生猜猜里面是什么三角形）

師：里面是什么三角形？

生：我看到一個銳角，這個三角形可能是直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，因為這些三角形中都有銳角。

師：為什么這個三角形不一定是銳角三角形呢？

生：銳角三角形必須三個角都是銳角，而我只看到了一個銳角，所以不能確定這個三角形一定是銳角三角形。

師：怎樣才能確定這個三角形一定是銳角三角形呢？

生：要看到三個銳角。

生：如果看到這個三角形最大的角是銳角，也能確定這個三角形是銳角三角形。因為連最大的角都是銳角了，那么其他兩個角也一定是銳角，這個三角形也一定是銳角三角形。

學生借助不同三角形的概念進行推理，得出信封里裝的是什么三角形，猜測、說理的過程很好地訓練了學生的推理意識。

類比思維：對于相似的新舊概念，可以運用類比思維，將相似的屬性進行比較，并借助內在邏輯，把相似屬性遷移到新的概念中。如有一位教師借助類比思維，將“長度與長度單位”的教學方法運用至“面積與面積單位”的教學中，達到了良好的教學效果。

辯證思維：客觀世界是“變與不變”的和諧統一，許多事物間的關系既對立又統一。反映客觀事物的數學概念也是如此。比如：加法、減法、乘法、除法是四種不同的運算方式，統稱四則運算，但四者又都可歸結為加法運算；正多邊形是直邊形，圓是曲邊形，但從極限的視角看，圓又可以看成邊數無窮多的正多邊形；等積變形中，圖形的形狀雖千變萬化，面積卻恒為定值。在概念教學中，引導學生感受不同概念中蘊含的辯證關系，既能幫助他們深刻理解概念，又能提高他們的辯證思維能力。

弗賴登塔爾說過：“與其說學數學，不如說學習數學化。”馮俊業教授進一步指出：“對學生而言，數學化就是‘從無到有、從粗糙到精致的過程。”將其引申至數學概念就是：學生學習概念，不如說是學習概念化。數學概念的教學應讓學生真切體會數學概念從無到有、從粗糙到精致的思維過程。

（三）揭示數學概念的本質，促進理性思考

數學學習依賴數學思考。如果數學概念的教學僅僅停留在表層理解與機械記憶，缺乏對數學概念本質的理解，那么概念教學就已經失去了它最本質的價值，理性思維培養也就無從談起。

在教學數學概念時，教師應創造條件，引導學生深度思考“3W”：為什么要學習數學概念（why）？數學概念的內涵是什么（what）？該概念在數學知識體系中處于怎樣的地位（how）？例如，在“認識方程”的教學中，除了讓學生理解方程的定義和兩個要素（含有未知數、等式），會識別方程，還要體現方程的本質，即數量（包括已知數和未知數）之間的等量關系（“結構性觀念”），讓學生認識到等號不僅具有指向作用，還體現為等量關系。在“扇形統計圖”的教學中，要引導學生思考：有了條形統計圖、折線統計圖，為什么還要學習扇形統計圖？為什么是扇形，而不是其他形狀的統計圖？在“比”的教學中，要引導學生思考：已經學習了分數、除法，為什么還要學習比？分數、除法、比之間有什么區別和聯系？足球比賽中的1∶2與數學中的1∶2是一回事嗎？等等。

在對數學概念的內涵與外延、數學概念的學習價值及相關概念內在聯系等的深度思考中，學生對數學概念本質的理解更加深刻，對數學概念蘊含的理性思維的體驗也更透徹。

（四）注重關鍵概念的教學，實現理性進階

關鍵概念可以把教學主題內零散的知識聯系起來，體現教學主題的內在本質，促進知識和方法的遷移，使學生體會到概念之間的關聯互通，從而提升理性思維層次。同時，重視關鍵概念的教學還能實現觸類旁通，達到“教是為了不教”的效果，進而切實減輕學生的學業負擔。

例如，在數概念的教學中，教師要借助計數單位，突出整數、小數、分數之間數的概念的一致性，引導學生用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，用數學的思維思考問題。同樣，在量概念的教學中，教師要借助計量單位，溝通長度、面積、體積以及角度等概念，讓學生在形成量感的同時，感悟量的概念的一致性。不管是角的度量，還是長度、面積和體積的度量，量都是借助數來表達的，都是計量物體含有計量單位的個數。由此可見，數概念與量概念具有一致性。

關鍵概念將零散的數學概念，依據共同的數學本質構建起富有整體化、系統化、邏輯化的知識體系，促進學生的思維進階，進而發展核心素養。

（五）嘗試概括數學概念，強化理性表達

會用數學語言表達是數學核心素養的“三會”之一，教師要重視培養學生利用數學語言描述和分析概念的能力。在數學概念的教學中，教師要引導學生通過觀察、猜測等方式嘗試描述概念，將自身的理解與概念本質進行多次對比，在逐步矯正的過程中，體會數學概念的簡明性與嚴謹性。學生“嘗試描述—揭示概念”的語言表達過程，既是將感知的概念特征內化為認知的建構過程，也是逐步舍棄事物的非本質屬性而突出本質屬性的理性表達過程。

例如，在“質數與合數”的教學中，教師先列出1～20各數，引導學生對這些數進行分類。當有學生提出可根據因數個數進行分類時，教師便讓他們充分表達想法，充分經歷概念的理性表達過程。下面是該教師的教學片段。

師：（教師用手指著2、3、5、7……）請大家認真觀察，這些數的因數個數有什么共同的特征？

生：這些數都有兩個因數。（板書：兩個因數）

生：我要補充。這些數的因數只有1和它本身。

生：我同意第二個同學說的。這些數的因數只有1和它本身，說明這些數只有兩個因數，除了1和它本身外沒有別的因數。（板書：1和它本身）

師：誰明白他的意思？

（再讓幾名學生進行表達）

師：看來我們得加上“只有”二字。

（教師用彩色粉筆在板書中加上“只有”二字）

師：在數學中，像這樣的數叫質數，也叫素數。你能跟同桌說說什么叫質數嗎？

師：自然數中，很多數的因數個數并非只有兩個，如4、6、9，它們的因數個數是……

生：不是只有1和它本身，至少有三個因數。

生：也就是說，這些數除了1和它本身外還有其他因數。

師：誰理解他說的意思？

生：比如4這個數，它有三個因數，除了1和本身的4以外，還有一個因數是2。

生：像6、8、9這幾個數，它們都有除了1和本身以外的其他因數。

師：一個數，如果除了1和它本身外，還有其他的因數，這樣的數就叫合數。你能跟同桌說說怎樣的數是合數嗎？

語言是思維的外顯，是理性思維的觀念載體。引導學生用語言描述進行推理的過程，不僅能使學生加深對概念的理解，體會數學概念的簡潔、嚴謹，更能提高學生運用數學語言合乎邏輯地討論和判斷的能力，從而鍛煉理性思維。

2022年版課標的亮點之一是提出了數學核心素養。數學核心素養指向理性思維培養。數學概念的教學過程中蘊含著豐富的理性思維，數學概念的教學就是培養學生理性思維的過程。在以后的概念教學中，希望教師們重視學生的理性思維培養，并不斷嘗試探索小學數學概念教學的新路徑，讓核心素養真正在教學實踐中落地生根、開花結果。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］林崇德.21世紀學生發展核心素養研究（修訂版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2021.

［3］黃鵬，熊衛.立足思維教學 落實學科核心素養：初中物理“認識浮力”的教學實踐與反思［J］.物理教學探討，2022，40（1）：73-77.

［4］董海濤，李響.數學核心素養視角下基于理性思維的教學設計與反思：以“數系的擴充與復數的引入”為例［J］.數學通訊，2020（10）：17-20.

［5］劉兆偉.建構數學概念 發展數學眼光：“倍的認識”教學片段與思考［J］.小學數學教育，2021（18）：46-47.

［6］林武.小學數學概念教學：行與思［M］.北京：教育科學出版社，2014.

［7］周禎祥，胡澤洪.邏輯導論：理性思維的模式、方法及其評價［M］.廣州：廣東高等教育出版社，2004.

［8］曹才翰，章建躍.數學教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，1999.