例析兩類與菱形有關的動點問題的解決策略

石宏丹

摘要：菱形中的動點問題時常出現，是學生學習與菱形有關的知識點的一道關卡.本文中主要介紹兩類與菱形有關的動點問題，并以例題分析的形式探討這兩類問題的解決策略.

關鍵詞：菱形；動點問題；面積；策略

在與菱形有關的動點問題中，求圖形的面積、根據圖形的形狀求時間是兩大主要類型.求圖形的面積是以動態的視角討論面積變化趨勢，而根據圖形的形狀求動點運動的時間則比較多見，是動點問題中比較有代表性的類型[1].無論是哪種類型，難度都較大，多數學生不容易掌握.所以，教師積極探究其解決策略顯得尤為必要.基于此，本文中特選此兩類問題進行解決策略的探討，即根據點的運動情況求面積、根據點的運動情況求時間，一方面為一線教師解決教學難點提供廣泛的素材，另一方面，幫助學生掃除學習障礙.

1 根據點的運動情況求面積

例1? 如圖1，在等腰三角形ABC中，BC=AB=5 cm，AC=6 cm.現將△ABC向右平移，使得點B與點C重合，點D與點C、點E與點A分別是對應點.連接BE和AC并交于點O.

（1）判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由；

（2）如圖2，在線段BC上有一個動點P（在運動時不與點B，C重合），連接PO并延長，使之與線段AE相交于點Q.過點Q作BD的垂線，垂足為R.試分析在點P運動的過程中，四邊形PQED的面積的特點.

分析：（1）首先，根據圖形的平移可證得四邊形ABCE是平行四邊形；然后，結合AB=BC，利用“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得它為菱形.（2）四邊形PQED的面積不變，始終是24 cm2.

解：（1）四邊形ABCE是菱形．

∵將△ABC向右平移，使得點B與點C

重合，點D與點C、點E與點A分別是對應點，

∴EC AB.

∴四邊形ABCE是平行四邊形.

∵BC=AB，

∴四邊形ABCE是菱形.

（2）在點P運動的過程中，四邊形PQED的面積不變，始終是24 cm2.

理由如下：

由（1）可知，四邊形ABCE是菱形.

∴BE⊥AC，OC=12AC.

∵AC=6 cm，

∴OC=3 cm.

∵BC=5 cm，

根據勾股定理，易得BO=4 cm.

如圖3所示，過A作BC的垂線，垂足為H.

∵S△ABC=12BC·AH=12AC·BO，

∴AH=245 cm．

∵四邊形ABCE是菱形，

∴易證得△PBO≌△QEO.

∴BP=QE.

∴S四邊形PQED=12（QE+PD）·QR

=12（BP+PD）·AH

=12BD·AH

=12×10×245

=24（cm2）．

方法總結：根據點的運動情況求圖形的面積，首先需分析點的運動特點，將其中幾種運動的情況分析出來，然后從整體上把握圖形形狀的變化及面積的變化過程[2].在分析出圖形的形狀之后，可利用如下兩種方法求圖形的面積：

（1）根據面積公式求.如果是規則圖形，則按照規則圖形的面積公式直接求出即可.

（2）利用若干個面積之間的關系求.如果圖形的形狀不規則，則利用若干個面積之間的關系求，即把不規則的圖形分割成若干個規則圖形，然后求出若干個小規則圖形的面積，再將它們的面積相加或相減.

2 根據點的運動情況求時間

例2? 如圖4，在△ABC中，AB⊥BC，∠C=30°，BC=53.在CA和AB上分別有兩個動點D，E，它們的速度分別是每秒2個單位長度和每秒1個單位長度，且運動方向如圖示.過點D作DF⊥BC，垂足為F，并連接DE和EF．現規定：D，E兩點都進行勻速運動，且當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設兩個動點的運動時間是t秒（t＞0）．

（1）試判斷：四邊形AEFD可能是菱形嗎？如果可能，請求出相應的t值.

（2）試判斷：△DEF可能是直角三角形嗎？如果可能，請求出相應的t值.

分析：（1）證明一個四邊形為菱形，通常先證明該四邊形為平行四邊形，然后結合鄰邊或對角線的特點，利用相關的判定定理就可以證得該四邊形為菱形.

（2）先從結論出發逆推，根據分類討論思想進行分析，最后總結即可.

解：（1）四邊形AEFD可能是菱形．

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴DF∥AE．

∵AE=t，CD=2t，且∠C=30°，

∴AE=DF=t.

∴四邊形AEFD是平行四邊形．

∵AB=BC·tan 30°=5，

∴AC=10.

∴AD=AC-DC=10-2t．

∴t=10-2t．

故t=103.

（2）△DEF可能是直角三角形.

①當∠EDF為直角，四邊形EBFD就是矩形．

∵∠ADE=∠C=30°，

∴10-2t=2t.

故t=52．

②當∠DEF為直角時，∠ADE=∠DEF=90°．

∵∠A=90°-∠C=90°-30°=60°.

∴AD=AE·cos 60°=12t.

∴10-2t=12t.

故t=4.

③當∠EFD為直角時，該情況不存在．

綜上所述，當t=52或4時，△DEF是直角

三角形．

方法總結：根據圖形求運動時間最關鍵之處在于找準圖形的特點，然后據此列方程并求解.在此過程中，可能會因為圖形的形狀發生變化而需要分類討論.對于這類問題，可按如下過程解決：

首先，針對每種類型畫出相應的圖形，并利用圖形分析相應的情況；

然后，將分析的情況進行總結，便得到了符合題意的解決過程.

綜上所述，求圖形面積通常會在菱形中有運動點的情況下討論圖形面積的變化特點，而圖形的面積變化主要是由點的運動造成的.根據圖形的形狀求運動時間，是菱形中動點問題的典型代表，需根據這些圖形的性質找到等量關系，然后利用等量關系列方程并求解.這些都是轉化思想、數形結合思想或分類討論思想的體現，教學中教師不應僅局限于問題的分析，而應該充分發展學生的數學思想.

參考文獻：

[1]錢華.菱形何時有？——菱形動點問題品賞[J].中學生數理化（八年級數學）（配合人教社教材），2022（Z2）：30-31.

[2]仇玉祥.“動中求靜，處變不驚”——與函數有關的動點問題解題策略[J].新高考（升學考試），2017（5）：30-31，61.