一道與斜率和積關(guān)聯(lián)的定值定點(diǎn)問題溯源與推廣

廣東省惠州仲愷中學(xué) (516229) 陳偉流 黃 培

作為解析幾何中的經(jīng)典知識(shí)背景,“手電筒模型”內(nèi)容在近年的全國(guó)高考試題中頻繁亮相.試題通常以斜率和積為定值,直線過定點(diǎn)或有定斜率的呈現(xiàn)形式靈活有序地在條件和結(jié)論進(jìn)行合理編排,以熱點(diǎn)和難點(diǎn)的試題定位吸引了一線師生和專家學(xué)者的廣泛關(guān)注.

文[1]中筆者以定點(diǎn)在圓錐曲線上為例,探索出在斜率和積為定值的前提下,動(dòng)直線有定斜率或過定點(diǎn)的屬性;文[2]以圓錐曲線的右焦點(diǎn)為例,全面論證雙弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)的有關(guān)命題及其逆命題.在此基礎(chǔ)上,筆者從2023屆汕頭一模的解析幾何試題出發(fā),經(jīng)歷推理論證,進(jìn)一步得出雙弦中點(diǎn)所在直線有定斜率或過定點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì).

1 試題再現(xiàn)

如圖1,已知E(m,n)為拋物線x2=2py(p>0)內(nèi)一定點(diǎn),過E作斜率分別為k1,k2的兩條直線,與拋物線交于A,B,C,D,且M,N分別是線段AB,CD的中點(diǎn).

圖1

⑴若m=0且k1k2=-1,求△EMN面積的最小值;

解：⑴(S△EMN)min=p2(過程略).

⑵設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立

評(píng)析：試題以雙直線與拋物線的位置關(guān)系為載體,因試題中涉及的定點(diǎn)、直線、曲線等參數(shù)過多,著重考查運(yùn)算求解,邏輯推理,數(shù)學(xué)建模能力,體現(xiàn)了以數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理,數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)為測(cè)評(píng)導(dǎo)向的命題特點(diǎn);同時(shí)以兩弦中點(diǎn)所在直線為研究對(duì)象,既反映對(duì)解析幾何中大量必備知識(shí)的考查,又打破了常規(guī)高考試題的命題套路,充分體現(xiàn)“四翼”(基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性)的鮮明特點(diǎn),強(qiáng)調(diào)新時(shí)代高考中知識(shí)融會(huì)貫及綜合運(yùn)用等方面的重要性,傳達(dá)出關(guān)注學(xué)生從“解題”到“解決問題”的學(xué)科素養(yǎng)的的培養(yǎng)理念,雙向引導(dǎo)師生在高考備考中加強(qiáng)教學(xué)一體,教考銜接的新方向.

2 背景溯源

經(jīng)歷上述定點(diǎn)問題的推理論證可知:無論定點(diǎn)E在拋物線內(nèi)部或外部,均只影響直線MN所過定點(diǎn)的縱坐標(biāo),且直線MN的斜率只與兩直線的斜率和有關(guān).經(jīng)筆者深入探究,有

命題2 已知E(m,n)為拋物線x2=2py(p>0)內(nèi)(或外)一定點(diǎn),過E作斜率分別為k1,k2的兩條直線,與拋物線交于A,B,C,D,且M,N分別是線段AB,CD的中點(diǎn),若k1k2=λ(λ≠0),則直線MN過定點(diǎn)(0,n-pλ).

3 縱向深化

若改變拋物線的開口方向,則上述命題在新的幾何載體中是否仍有一致性?以拋物線y2=2px(p>0)為例,經(jīng)筆者探究,有

命題4 已知E(m,n)為拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)(或外)一定點(diǎn),過E作斜率分別為k1,k2(k1k2≠0)的兩條直線,與拋物線交于A,B,C,D,且M,N分別是線段AB,CD的中點(diǎn),若k1+k2=λ(λ∈R),則直線MN過定點(diǎn).

證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立

命題5 已知E(m,n)為拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)(或外)一定點(diǎn),過E作斜率分別為k1,k2的兩條直線,與拋物線交于A,B,C,D,且M,N分別是線段AB,CD的中點(diǎn),若k1k2=λ(λ≠0),則直線MN過定點(diǎn).

證明：在②式中令y=0得x=-t1[p(t1+t2)-n]+pt12+m-nt1) =m-pt1t2=m-pλ,故直線MN過定點(diǎn)(m-pλ,0).

可見,開口向上與向右的拋物線在定點(diǎn)或定斜率上的命題上有著前后呼應(yīng)的關(guān)聯(lián)性,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)在知識(shí)蘊(yùn)含的對(duì)稱美、和諧美、簡(jiǎn)潔美和統(tǒng)一美.

4 橫向推廣

將拋物線的載體背景進(jìn)一步類比遷移到圓錐曲線體系,經(jīng)筆者深入探究,有

證：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立

命題10,11,12與橢圓背景中的證明相似,故從略.

5 反思回顧

命題1到命題12的表述均是以斜率和積為定值作條件,以直線過定點(diǎn)或有定斜率為結(jié)論,若將其在條件和結(jié)論上重新排列,經(jīng)筆者研究,得到的逆命題依然成立,故上述命題在邏輯深度上可進(jìn)一步為概括闡述為充要條件,此處不再贅述.

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)在教學(xué)指導(dǎo)中的穩(wěn)步推進(jìn)及“三新”背景下課程改革的不斷實(shí)施,高考試題命制已從能力立意轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)導(dǎo)向,凸顯數(shù)學(xué)核心價(jià)值的引領(lǐng),關(guān)注學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通及綜合運(yùn)用,注重從解題到解決問題等思維品質(zhì)的培養(yǎng),這無疑給廣大一線師生的備考工作提出了不小的挑戰(zhàn).所以身為一線教師,要研透,吃透教材資源及經(jīng)典試題,從專家學(xué)者的高度明晰試題命制的底層邏輯,才能以高觀點(diǎn)的思想正面引導(dǎo)師生的教與學(xué),時(shí)刻提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本源,核心概念等本質(zhì)內(nèi)容掌握效果,從而帶領(lǐng)學(xué)生跳出題海,完成高質(zhì)量的備考工作,在師生解題,研題,賞題的課堂中培育好學(xué)生的核心素養(yǎng).