簡支條件下單軸對稱三角形管翼緣工字形梁彎扭振動理論與有限元驗證

張文福，江 楊，楊 琴

（1.安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230000；2.南京工程學院 建筑工程學院，江蘇 南京 211167）

現在的建筑結構中梁截面主要形式是以工字形截面為主，工程中通常把它當作薄壁構件以減少重量、節約成本。然而工字形截面為開口截面，其扭轉剛度較低，因此抗扭性能較差[1]。而對于閉口構件其抗扭剛度提升許多且不易失穩，為此國外學者提出了空翼緣工字形梁（THFB）的概念。文章將利用板-梁理論對上翼緣為三角形管的工字形梁進行彎扭振動的理論分析和研究。試圖為該類新型鋼梁的動力分析與工程設計提供參考。

近二十年來國內外學者主要集中在對空翼緣工字形梁屈曲以及梁抗彎承載力的研究，對扭轉振動、彎扭振動研究較少。姜良芹等[2]從混凝土強度等級、鋼管翼緣高寬比、腹板厚度等影響參數完成對14 根矩形鋼管高強混凝土上翼緣工字形簡支梁屈曲分析，明確其影響參數對屈曲荷載的影響規律。張文福等[3]基于板-梁理論對集中荷載作用下矩形鋼管混凝土翼緣工字形梁彎扭屈曲分析，獲得了彎扭屈曲下無量綱臨界彎矩解析解。Senthilkumar R 等[4]通過改變空翼緣工字形梁的長度、寬厚比等影響參數研究了變形屈曲對空翼緣梁的影響。陳克珊[5]基于板-梁理論對單軸、雙軸對稱的鋼管混凝土翼緣工字形梁進行彎扭屈曲分析，并給出了單軸對稱鋼管混凝土翼緣工字形梁截面不對稱系數的計算方法。Kanthasamy E 等[6]對邊緣加筋的圓形腹板開口雙對稱矩形空翼緣梁（RHFB）的抗剪能力影響進行了研究，并在強度法的基礎上給出了抗剪能力的新設計公式。Raut K V 等[7]研究不同加勁方式作用下空翼緣梁的抗彎性能，研究了抗彎剛度、失效模式、撓度等參數，在實驗與有限元結果顯示下得出中間腹板加勁有較好的抗彎強度。魏建軍[8]通過試驗對三角形空翼緣梁（THFB）與傳統的H 型鋼的極限承載力進行研究。發現TFHB 比H 型鋼具有更好的抗彎扭性能，并驗證了H 型鋼梁設計公式計算TFHB 極限承載力的適用性。Dissanayake D 等[9]利用Abaqus 有限元軟件從截面高度、截面厚度等幾何參數以及不同鋼種的影響對矩形空翼緣梁、三角形翼緣梁剪切性能的研究，發現不銹鋼空翼緣梁、三角形翼緣梁有較強的抗剪能力。Shao 等[10]對改善空翼緣工字形梁的局部屈曲狀態提出一種加勁壓縮矩形翼緣工字形梁，通過與常規SCHFB 和工字梁比較發現其極限承載力和外延性有顯著提高。Masri等[11]理論分析了三角形翼緣工字形的梁的承載力計算公式。Mahen[12]對三角形翼緣工字形梁研究，發現使用橫向腹板加勁肋可以有效消除橫向扭轉破壞。

在薄壁梁的振動理論和試驗研究方面，近期的主要研究工作包括：張文福等[13]采用Timoshenko 梁的連續化模型來模擬三角形空間桁架梁振動分析，推導得到了桁架梁的等代抗彎剛度和等代抗剪剛度，并給出桁架梁的豎向振動頻率和振型的解析解。韋忠瑄等[14]推導了波形鋼腹板PC 組合箱梁彎曲振動頻率計算公式，并與實驗和有限元進行了對比，但對扭轉振動特性方面的研究相對來說比較少。冀偉等[15]運用了D’Alembert原理，推導出了波形鋼腹板PC 箱梁橋的扭轉振動頻率方程，并根據簡支梁的邊界條件求得了扭轉振動頻率的計算公式，并結合實驗與有限元驗證了該公式的可靠性。劉超星[16]基于能量變分法和Hamilton 原理，推導了波形鋼腹板組合梁的扭轉振動頻率公式得到了扭轉振動頻率的理論解，并與ANSYS 有限元進行了對比，驗證了該理論解的正確性。Xu 等[17]通過引入差分變換法（DTM）來分析彈性邊界條件下旋轉鐵木辛柯梁的自由振動，結果表明：與傳統的瑞利-里茨（R-R）法相比該方法具有更高的精度和計算效率。鮑四元等[18]在梁的兩邊施加橫向約束彈簧和旋轉約束彈簧通過改變彈簧剛度實現任意邊界條件的轉換，并采用改進的傅里葉級數和瑞利-里茲法求解獲得了具有任意邊界條件單跨梁結構的振動頻率解。李偉等[19]采用微分變化法推導圓形變截面棒振動偏微分方程的級數解，并利用有限元軟件分析對比，發現采用微分變換法對求解變截面梁振動的偏微分方程有較高的精度。曾在平等[20]研究了鋼管混凝土翼緣工字形梁與等效截面工字形梁進行振動頻率的對比，發現不同構造形式對鋼管混凝土翼緣工字形梁振動特性的影響。

從目前查閱的文獻資料可以看出，關于單軸對稱三角形管翼緣工字形梁振動理論和試驗研究方面的研究成果尚未見到。為了使單軸對稱三角形管翼緣工字形梁在實際工程的方便計算和使用，利用“板-梁”理論求出單軸對稱三角形管翼緣工字形梁彎扭變形總應變能和彎扭振動總動能，利用能量變分求解出簡支條件下彎扭振動的頻率解。建立相應的有限元模型并求解與板-梁理論解對比，驗證“板-梁”理論的正確性。

1 研究對象

為了不失一般性，以圖1 所示的單軸對稱三角形管翼緣工字形鋼梁為研究對象。鋼梁的彎扭變形基于板-梁理論來分析。

圖1 截面尺寸圖

已知：鋼的彈性模量為E，剪切模量為G，泊松比為μ；三角形管翼緣中的上翼緣寬度為bf，厚度為tf；三角形管翼緣中的兩塊腹板寬度為bw，厚度為tw；工字形截面的腹板高度為hw，厚度為t；工字形截面下翼緣寬度為bf1，厚度為t。鋼梁的長度為L，三角形管翼緣截面尺寸如圖2 所示。當鋼梁發生彎扭振動變形時，則未知量有橫截面繞剪心的剛性轉角θ（z）以及側向位移u（z），截面彎扭變形圖如圖3 所示，其中三角形管翼緣部分不但會繞自身剪心扭轉，還會受到剛性轉角θ（z）影響產生偏移距離hsθ，三角形管翼緣截面扭轉變形圖如圖4 所示。

圖2 三角形管翼緣截面尺寸圖

圖3 截面彎扭變形圖

圖4 三角形管翼緣截面扭轉變形圖

2 三角形管翼緣工字形梁彎扭變形應變能與彎扭振動動能

2.1 三角形管翼緣扭轉應變能

根據應變能公式

2.1.1 三角形管翼緣截面上翼緣的應變能

其中，ψf為文中假定的待定函數。

2.1.2 三角形管翼緣截面左側腹板應變能

其中，ψw1為文中假定的待定函數，b1為假定的待定系數。

2.1.3 三角形管翼緣截面右側腹板應變能

其中，ψw2為文中假定的待定函數，b2為假定的待定系數。

2.2 截面轉角與橫截面的剛性轉角之間的關系

（1）第一個關系為交點處縱向位移協調條件。

（2）第二個關系為剪力流相等。

兩條件結合可以求得

其中，若令

則有

這便是截面剛性轉角θ 與截面轉角ψf、ψw1、ψw2之間的關系。

2.3 三角形管翼緣截面偏移應變能和彎扭應變能

（1）截面偏移應變能（受剛性轉角θ 的影響產生偏移位移hsθ）

由公式（1）可得到三角形管翼緣截面偏移應變能

（2）截面彎扭應變能（側向位移u 引起）

由公式（1）可得到三角形管翼緣截面彎扭應變能

2.4 工字形腹板、下翼緣彎扭應變能

（1）腹板彎扭應變能

（2）工字形下翼緣彎扭應變能

2.5 單軸對稱三角形管翼緣工字形梁彎扭總應變能

單軸對稱三角形管翼緣工字形梁彎扭變形總應變能為三角形管翼緣梁扭轉總應變能、三角形管翼緣梁（剛性轉角θ 產生的側移）側移應變能、三角形管翼緣梁（側向位移u）彎扭應變能、工字形腹板與下翼緣彎扭應變能之和。

2.6 單軸對稱三角形管翼緣工字形梁彎扭振動總動能

由動能公式

可知動能與n、s、z 方向變化的位移分量有關，分別將變化的位移分量代入公式（4）進行積分計算可得到單軸對稱三角形管翼緣工字形截面彎扭總動能

其中

2.7 彎扭振動總勢能、微分方程與理論解答

2.7.1 總勢能

若令

將上述結果代入如下的歐拉方程，可得到單軸對稱三角形管翼緣工字形梁振動微分方程

2.7.2 微分方程

使用微分算子法

令

可得

對于三角形管翼緣工字形簡支梁除簡支端外，由于其他位置u、θ 不為0，故行列式為0。

可解得第i 階頻率為

其中

3 理論解與有限元的驗證

利用有限元軟件ANSYS 模型，選用Beam189（該單元是基于鐵摩辛柯梁理論建立的）單元進行模擬，Beam189 單元有三個節點，若打開KEYOPT（1）=1 開關，則每個節點有7 個自由度，分別為沿x、y、z 方向的位移自由度、繞x、y、z 方向的轉動自由度以及橫截面的翹曲，該單元適用于線性、大轉動、大應變等問題分析。針對單軸對稱三角形管翼緣工字形梁可能出現局部屈曲等問題，施加了剛周邊命令進行模擬進而建立模型并求解，進入后處理可得到簡支條件下各階頻率與振動模態。簡支條件下彎扭振動第1 階模態圖如圖5（a）所示，第2 階模態圖如圖5（b）所示。

圖5 簡支條件下彎扭振動模態圖

有限元數值模擬驗證中，單軸對稱三角形管翼緣工字形梁參數以及有限元計算的各階頻率與理論解答的對比結果見表1，其中彈性模量為2.06×1011Pa，泊松比為0.3。三角形上翼緣厚度均用t 代替。

表1 單軸對稱三角形管翼緣工字形梁的振動頻率對比

4 結語

（1）基于板-梁理論推導彎扭振動總勢能方程。依據能量變分模型和微分方程模型推導出簡支梁彎扭振動公式。

（2）利用有限元軟件ANSYS 建立相應的有限元模型及計算結果，對文中推導的彎扭振動進行驗證。結果表明，彎扭振動公式的誤差在-2.23%～2.36%之間，證明推導公式的正確性。