變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Herglotz 型微分變分原理與守恒律

蔡銘俁，張 毅

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011）

眾所周知，如果一個動力學(xué)方程或一個微分方程存在變分描述，那么它不僅僅在數(shù)學(xué)上有重要的意義，而且具有深刻的物理意義。分析力學(xué)中經(jīng)典的積分變分原理，如Hamilton 原理，只適用于完整保守系統(tǒng)，對于受非勢力的完整系統(tǒng)或非完整系統(tǒng)，由于不能表示為某個泛函的極值，而不再是穩(wěn)定作用量原理[1]。Herglotz 提出的一類廣義變分原理[2]為非保守耗散系統(tǒng)提供了一個變分描述。文獻[3-4]利用Herglotz 原理給出了粘性力作用下弦的振動、聲波在介質(zhì)中的傳播、非線性Schr?dinger 方程等非保守經(jīng)典和量子力學(xué)系統(tǒng)的變分描述，這些系統(tǒng)從經(jīng)典變分原理的角度都不存在變分描述。Georgieva 和Guenther 基于接觸Lagrange 函數(shù)在單參數(shù)變換群下的不變性研究了Herglotz 型Noether 定理[5]。Santos 等將Herglotz 變分問題推廣到高階微商情形[6]，并給出相應(yīng)的Noether 定理。文獻[7-11]給出了相空間、分?jǐn)?shù)階動力學(xué)、含時滯動力學(xué)、時間尺度動力學(xué)的Herglotz 變分原理及其Noether 定理。文獻[12]綜述了Herglotz 變分原理及其Noether 對稱性的研究進展。守恒律不僅可通過對稱性研究[13-14]，也可通過微分變分原理來構(gòu)建[15-16]。基于這個思想，文獻[17-19]通過Herglotz 微分變分原理研究了完整非保守系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)的守恒定理。比較文獻[7]與[20]可以看出，通過Herglotz 微分變分原理可以得到含有規(guī)范函數(shù)項的守恒量，而通過Noether 對稱性給出的守恒量不含規(guī)范函數(shù)項，因此，由Herglotz 微分變分原理有可能找到比利用對稱性更多的守恒量。但是關(guān)于Herglotz 微分變分原理的研究還僅限于常質(zhì)量系統(tǒng)。

變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)主要研究質(zhì)量變化物體的運動與作用在其上力之間的關(guān)系。楊來伍和梅鳳翔[21]系統(tǒng)地介紹了變質(zhì)量系統(tǒng)的分析力學(xué)。變質(zhì)量系統(tǒng)在自然界和工程中有大量的應(yīng)用[22-27]，包括高速滑車試驗、桌面鏈條下墜問題、火箭升空等。因此，研究變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)的守恒律具有重要意義。國內(nèi)外學(xué)者對變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)及其對稱性進行了研究，并取得一系列成果[28-33]。近期，筆者[34]等將Herglotz 變分原理推廣到變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)。與文獻[34]不同，該文將基于Herglotz 微分變分原理進一步研究變質(zhì)量完整系統(tǒng)的守恒律，導(dǎo)出變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Herglotz 型微分變分原理，在此基礎(chǔ)上建立Herglotz 型守恒定理以及逆定理。

1 變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Herglotz 型微分變分原理

假設(shè)變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)由N 個質(zhì)點組成。在時刻t，第i 個質(zhì)點的質(zhì)量為mi（i=1，…，N）；在時刻t+dt，由質(zhì)點分離（或并入）的微粒質(zhì)量為dmi。設(shè)位形由n 個廣義坐標(biāo)qs（s=1，2，…，n）確定，設(shè)mi＝mi（t，qs，），則Herglotz 意義下的Lagrange 函數(shù)為

對式（2）取等時變分

對于變質(zhì)量完整系統(tǒng)，微分和變分運算是可交換的，所以有

方程（6）是關(guān)于δz 的一階微分方程，可解得

考慮到z（b）→extr 以及初始條件（4），得

由于方程（7）對于t∈[a，b]都成立，所以令t=b，得到

由于式（10）的積分區(qū)間適用于所有的[a，b]，所以有

式（11）稱為變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Herglotz 型微分變分原理。

由于系統(tǒng)是完整的，δqs（s=1，2，…，n）相互獨立，所以有

式（12）稱為變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Herglotz 型運動微分方程。

2 Herglotz 型微分變分原理不變性條件

等時變分δqs定義為

非等時變分定義為

引進空間和時間的無限小生成函數(shù)Fs，f，令

這里的ε 為無限小量。因此有

將式（18）代入式（11），整理得

式（21）為變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Herglotz 型微分變分原理不變性條件的變換式。

3 Herglotz 型守恒定理

由Herglotz 型微分變分原理不變性條件的變換式（21），可得到如下定理：

定理1對于變質(zhì)量完整系統(tǒng)（12），如果空間和時間的無限小生成函數(shù)Fs，f，以及規(guī)范函數(shù)G 滿足條件

則系統(tǒng)存在守恒量

如取G≡0，那么定理1 退化為：

定理2對于變質(zhì)量完整系統(tǒng)（12），如果空間和時間的無限小生成元Fs，f，以及規(guī)范函數(shù)G 滿足條件

則系統(tǒng)有守恒量

定理2 與文獻[34]中Noether 定理給出的結(jié)果一致。

4 Herglotz 型守恒定理的逆定理

假設(shè)變質(zhì)量完整系統(tǒng)（12）存在守恒量

對等式（26）兩邊同時求導(dǎo)

將式（18）代入式（11），由于ε 是任意的，得到

再令積分式（26）等于守恒量式（23），即

定理3如果已知變質(zhì)量完整系統(tǒng)（12）有一個守恒量式（26），那么通過式（29），（30）可找到時間和空間的生成函數(shù)Fs，f，以及規(guī)范函數(shù)G。

定理3 可稱為變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Herglotz 型守恒量的逆定理。

5 算例

例1一輛質(zhì)量為m 的灑水車在公路上作業(yè)，灑水車初始的質(zhì)量為m0。假設(shè)水的出口相對速度v（v=const）不依賴于車的速度。用p 表示單位時間內(nèi)速度為1 時通過出水口水的質(zhì)量，假設(shè)灑水車受到的阻尼力與速度成正比，比例系數(shù)為c（c=const）。試研究該系統(tǒng)的守恒量。

設(shè)水平坐標(biāo)為q1，出水口出水的質(zhì)量為m1。有

即

系統(tǒng)的Herglotz 型Lagrange 函數(shù)為

將式（33）代入方程（12），可得

其中

首先，通過Herglotz 微分變分原理尋找守恒量，將式（33）代入式（22），有

方程（36）有如下解

將式（37），（38）分別代入式（23），可得

式（39），（40）分別是由式（37），（38）導(dǎo)致的守恒量。

其次，從Noether 對稱性尋找守恒量，該系統(tǒng)的Noether 等式[34]為

方程（41）有解

由式（42）導(dǎo)致的守恒量為式（39）。但作者未找到與守恒量式（40）相應(yīng)的Noether 對稱性。

最后，研究該系統(tǒng)的Herglotz 型守恒量的逆問題。設(shè)系統(tǒng)有守恒量

根據(jù)式（29），（30）可得

因為兩個方程三個未知函數(shù)，所以式（44），（45）的解不唯一，可得到以下的解

由此可見，在變質(zhì)量完整系統(tǒng)中，同一個守恒量可以由不同的生成函數(shù)導(dǎo)致。

例2已知質(zhì)量為m=m0exp（-αt）（α=const）的質(zhì)點，在阻尼力作用下在空間運動。試研究該系統(tǒng)的守恒量。

令q1=x，q2=y，q3=z。該系統(tǒng)的Herglotz 型Lagrange 函數(shù)為

將式（48）代入方程（12），可得

式（49）是系統(tǒng)的運動微分方程。其中

首先，從Herglotz 微分變分原理尋找守恒量。將式（48）代入式（22），有

方程（51）有如下解

將式（52），（53），（54）分別代入式（23），可得

式（55），（56），（57）分別是由式（52），（53），（54）導(dǎo)致的守恒量。

其次，從Noether 對稱性尋找守恒量，該系統(tǒng)的Noether 等式[33]為

方程（58）有解

由式（59），（60）導(dǎo)致的守恒量為式（55）和（56）。但是作者未找到與守恒量式（57）相應(yīng)的Noether 對稱性。

最后，研究該系統(tǒng)的Hergloz 型守恒量的逆問題。設(shè)系統(tǒng)有守恒量

根據(jù)式（29），（30）可得

根據(jù)式（62），（63），可得以下解

6 結(jié)語

不同于以往通過對稱變換建立Herglotz 型Noether 定理從而找到守恒量，文中基于Herglotz 微分變分原理，研究變質(zhì)量完整系統(tǒng)的守恒律。主要結(jié)果如下：一是基于Herglotz 變分問題導(dǎo)出變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Herglotz 型微分變分原理式（11）；二是引進時間和空間的生成函數(shù)，建立Herglotz 型微分變分原理不變性條件的變換式（21）；三是利用Herglotz 型微分變分原理的不變性條件的變換，建立變質(zhì)量完整系統(tǒng)的守恒定理（定理1），得到Herglotz 型守恒量。當(dāng)規(guī)范函數(shù)G≡0 時，定理1 退化為定理2；最后給出守恒定理的逆定理（定理3）。研究表明，對于一個動力學(xué)系統(tǒng)，盡管其獨立的守恒量數(shù)是確定的，但是利用微分變分原理有可能找到通過Noether 對稱性難以找到的守恒量。文中的研究方法和結(jié)果可以進一步推廣到變質(zhì)量非完整系統(tǒng)、含時滯變質(zhì)量系統(tǒng)。