基于APOS理論促進學(xué)生深度理解概念
——以“圖形的認(rèn)識”教學(xué)為例

江蘇無錫市新吳區(qū)錫梅實驗小學(xué)（214000） 蔡 靜

APOS理論是美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出的數(shù)學(xué)教學(xué)理論。它將學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程科學(xué)地劃分成活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）四個階段，同時指出每個階段對學(xué)生的教學(xué)要求：活動階段是學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動的過程，目的是更好地感知概念、建立表象；過程階段是學(xué)生在經(jīng)歷活動階段后對活動進行思考和反思的過程，目的是抓住概念的本質(zhì)；對象階段是學(xué)生在經(jīng)歷活動和過程這兩個階段后，能夠自己對要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念賦予定義和符號化的過程，目的是達到精致化；圖式階段是學(xué)生將原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的概念與新獲得的概念進行聯(lián)系的過程，目的是形成新的概念圖式。

一、APOS 理論有助于指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)圖形概念的教學(xué)

圖形與幾何在小學(xué)階段包括“圖形的認(rèn)識與測量”“圖形的位置與運動”兩大主題。本文主要研究圖形的認(rèn)識。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，圖形的認(rèn)識主要是對圖形的抽象。具體表現(xiàn)為：學(xué)生經(jīng)歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認(rèn)識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關(guān)系；積累觀察和思考的檢驗，逐步形成空間觀念。

APOS理論是針對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的建構(gòu)學(xué)習(xí)理論，能夠很好地幫助教師規(guī)劃“圖形的認(rèn)識”概念課教學(xué)的順序和過程，對教學(xué)具有指導(dǎo)意義。例如，活動階段，強調(diào)通過學(xué)生外顯的觀察和動手操作或內(nèi)隱的思維活動，實現(xiàn)對概念的自主探究和初步感知；過程階段，強調(diào)反思總結(jié)，實現(xiàn)對概念的理性認(rèn)識；對象階段，強調(diào)通過同化或順應(yīng)，用自己的語言或數(shù)學(xué)語言對圖形進行表征，實現(xiàn)概念的精致化；圖式階段，強調(diào)建構(gòu)總體的知識網(wǎng)絡(luò)，建立圖形與圖形之間、圖形內(nèi)部元素之間的聯(lián)系。通過這四個階段，讓學(xué)生經(jīng)歷動手操作、自主探究、解決問題、創(chuàng)造應(yīng)用等過程，將概念形成與概念同化有機地結(jié)合在一起，揭示概念本質(zhì)屬性，建構(gòu)系統(tǒng)化的概念圖式，達到對概念的深度理解。

二、APOS 理論視角下小學(xué)數(shù)學(xué)圖形概念教學(xué)建議

1.活動階段，現(xiàn)實入學(xué)

（1）創(chuàng)設(shè)真實情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

小學(xué)生對圖形的感知多來源于生活情境。而圖形的原型在生活中的呈現(xiàn)方式會附帶一些無關(guān)數(shù)學(xué)研究的特征，這就需要教師進行選擇，既要創(chuàng)設(shè)真實情境，激發(fā)興趣，又要與圖形的特征緊密相連。如設(shè)計認(rèn)識三角形時，課前可以播放實驗視頻“三根火柴吊起一瓶水，是真的嗎？”。

師：我們來看實驗中這張非常關(guān)鍵的圖（如圖1），這里有你認(rèn)識的圖形嗎？

圖1

生（齊）：三角形。

師：看來大家都知道什么樣的圖形是三角形了，那在生活中還有哪些地方能見到三角形？

（教師引導(dǎo)學(xué)生舉例，并引入本課題）

學(xué)生對生活中的三角形有一定認(rèn)識，導(dǎo)入環(huán)節(jié)如果只是生活中的三角形圖片會比較枯燥，通過實驗視頻導(dǎo)入，能使課堂更加鮮活，同時也為后續(xù)介紹三角形的穩(wěn)定性埋下伏筆。

（2）精準(zhǔn)設(shè)計問題，突出本質(zhì)特征

小學(xué)生掌握圖形的概念需要經(jīng)歷思維過程，教師要合理設(shè)計問題。問題太大，容易造成學(xué)生對概念學(xué)習(xí)浮于表面、無從下手；問題太小，容易造成學(xué)生對概念的認(rèn)識呈離散點狀。對此，教師需要聚焦概念的本質(zhì)特征，精準(zhǔn)設(shè)計問題。如在認(rèn)識三角形的高時，筆者出示研究對象——“人”字梁（如圖2），并設(shè)計三個問題：①如果要測量“人”字梁的高度，你認(rèn)為該從哪里量到哪里？②實際上是量圖中的哪條線段？③量的線段和底邊的線段有什么關(guān)系？

圖2

小組討論，匯報交流。從“‘人’字梁的高”自然抽象出“三角形的高”，使學(xué)生對三角形的高定義的理解水到渠成，也使學(xué)生對高的本質(zhì)特征“點到對邊的垂直線段”形成深刻印象。

（3）操作方式多樣，體現(xiàn)手腦并用

操作是學(xué)生認(rèn)識圖形最有效的方法之一。在教學(xué)中，為了更有序、更高效地進行操作，教師可以設(shè)計有步驟、有目的、有成果的操作活動來提高課堂效率。如教學(xué)認(rèn)識長方形和正方形時，可以設(shè)計三個活動來進行操作。

【活動1】

①拿出一張長方形紙片，量一量、折一折、比一比。

②小組討論：長方形的邊和角各有什么特點？

【活動2】

①拿出一張正方形紙片，根據(jù)剛才的方法驗證正方形的邊和角的特點。

②小組討論：正方形的邊和角各有什么特點？

【活動3】

①另外拿出一張長方形紙片，在這個長方形中剪出一個最大的正方形。

②同桌合作，交流方法。

三個活動在設(shè)計上具有層次性、目標(biāo)性，讓學(xué)生在探索的過程中一步一步觸及知識的本質(zhì)。

2.過程階段，強調(diào)反思

（1）堅持學(xué)生主體，自主探索知識

APOS 理論重視學(xué)生主體地位。因此，教師可將學(xué)生的自學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計在教學(xué)環(huán)節(jié)中。如在認(rèn)識梯形時，組織學(xué)生先自學(xué)教材內(nèi)容，并與同桌交流，再請學(xué)生介紹梯形各部分的名稱。筆者隨機將梯形轉(zhuǎn)動一定角度，再請學(xué)生指認(rèn)梯形的上底、下底和腰。學(xué)生總結(jié)：不管怎樣轉(zhuǎn)動，梯形的上底、下底總是平行的，兩條腰不平行。這樣“自學(xué)+匯報+反思”的學(xué)習(xí)方式，鍛煉了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。

（2）注重反省思考，提升理性思維

APOS 理論強調(diào)只有不斷反思，學(xué)生才會對知識有深度的認(rèn)識。如在研究圓的半徑與直徑的關(guān)系時，針對個別學(xué)生提出的“兩條半徑等于一條直徑”，組織學(xué)生討論這樣的說法是否恰當(dāng)。學(xué)生認(rèn)為，從長度的角度來說，兩條半徑的長度等于一條直徑的長度，即d=2r，但從位置的角度來說，這種說法是錯的。再如學(xué)生通過研究提出“直徑是圓內(nèi)最長的線段”，教師可鼓勵學(xué)生利用三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊”（如圖3）進行思辨。

圖3

（3）重視多維互動，促進概念建構(gòu)

APOS 理論注重為學(xué)生創(chuàng)建氛圍良好的學(xué)習(xí)環(huán)境。課堂教學(xué)離不開討論、表達、傾聽等互動方式。如教學(xué)圓柱的表面積時，學(xué)生動手操作，主動探究圓柱的側(cè)面積。在匯報交流時學(xué)生發(fā)現(xiàn)，圓柱的側(cè)面雖有兩種剪法（沿著高線剪、不沿高線剪），但是圓柱的側(cè)面展開圖都可轉(zhuǎn)化成長方形。通過對比觀察圓柱的側(cè)面與展開圖，學(xué)生找到圓柱的底面周長、高與側(cè)面展開圖之間的對應(yīng)關(guān)系。最后，學(xué)生總結(jié)出圓柱的側(cè)面積及圓柱的表面積計算公式。整個過程環(huán)環(huán)相扣，層層遞進，師生互動，生生互動，共同促進了思維的發(fā)展。

3.對象階段，引導(dǎo)深學(xué)

（1）關(guān)注練習(xí)設(shè)計，把握圖形特征

對象階段要求學(xué)生將前兩個階段獲得的新知在頭腦中進行加工和整合（同化或順應(yīng)）。如何推動這樣的加工有效進行？練習(xí)的設(shè)計就顯得尤為重要。教材上的練習(xí)題都是精心設(shè)計的，教師可以充分挖掘其價值，創(chuàng)造性地進行練習(xí)設(shè)計。如在軸對稱圖形的練習(xí)中，將原來單一層次的練習(xí)改編成四個層次的練習(xí)（如圖4）。學(xué)生在這樣有層次的練習(xí)活動中，根據(jù)軸對稱圖形的特點進行聯(lián)想，促進空間觀念自然成長。

圖4

（2）引導(dǎo)說理辨析，觸及圖形本質(zhì)

學(xué)生在認(rèn)識圖形中容易犯的錯誤主要集中在對圖形外觀的認(rèn)識和對本質(zhì)特征的理解上。教師可以多創(chuàng)造一些機會，針對學(xué)生學(xué)習(xí)新概念時可能產(chǎn)生的誤解設(shè)計一些判斷題、選擇題，引導(dǎo)學(xué)生說理辨析，用語言表達自己的思考。這樣能使學(xué)生的思維外顯，讓教師不僅能夠看到學(xué)生思考問題的過程，還能及時地給予指導(dǎo)，同時讓更多的學(xué)生發(fā)表自己的看法，讓學(xué)生在師生交流、生生交流的過程中對自己已有的認(rèn)識進行修正和完善。

（3）聚焦核心素養(yǎng)，發(fā)展空間觀念

空間觀念是一種重要的核心素養(yǎng)表現(xiàn)，要想落實在日常教學(xué)中，教師應(yīng)思考設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)活動和評價任務(wù)。如在圓的認(rèn)識練習(xí)中，將生活與圓的有關(guān)知識聯(lián)系起來。

師（出示圖5）：你們研究半徑的時候，畫過這樣的圖嗎？聯(lián)想一下，生活當(dāng)中你見過類似的物體圖形嗎？

圖5

生1：比薩餅。

生2：切好的蛋糕。

生3：攔腰切檸檬時形成的切面。

生4：從高空看螺旋槳旋轉(zhuǎn)的樣子。

師：同學(xué)們都有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，有的同學(xué)還想到了動態(tài)的圓，真棒！

數(shù)學(xué)來源于生活。課始由生活中的圓形物體抽象得到數(shù)學(xué)中的圓，課中由數(shù)學(xué)中的圓聯(lián)想到生活中鮮活的實例，如此來回呼應(yīng)，讓學(xué)生的思維由具象到抽象，再由抽象到具象，讓學(xué)生真正學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界。

4.圖式階段，注重聯(lián)學(xué)

（1）注重概念聯(lián)系，靈活對比遷移

APOS 理論注重概念之間的聯(lián)系，強調(diào)要充分挖掘?qū)W生的已有知識，通過對比遷移，更好地將新概念納入已有的圖式結(jié)構(gòu)，形成新圖式。如在教學(xué)梯形時，可以設(shè)計“變一變”環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生動態(tài)感受平行四邊形、梯形、三角形之間的聯(lián)系。

師（出示圖6）：怎樣移動點D，使平行四邊形變成梯形？

圖6

（學(xué)生將點D移到和點C齊平的位置）

師：這樣移動后，哪一組邊互相平行？哪兩條是腰？用手勢比畫一下。為什么這樣移動點D，平行四邊形就變成了梯形？

生1：平行四邊形是兩組對邊平行且相等的圖形，移動點D后就只有一組對邊平行，變成了梯形。

（學(xué)生將點D移到接近點A的位置停下）

師：怎么不繼續(xù)往前移了？

生2：再移就變成三角形了。當(dāng)梯形的上底長度變成0時，就成三角形了。

在動態(tài)移動過程中，學(xué)生充分感受到新舊概念之間的動態(tài)聯(lián)系，促進了圖形概念間的相互遷移。

（2）打破知識阻隔，構(gòu)建心理圖式

APOS 理論指出，概念學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)就是要讓學(xué)生建立知識圖式。這需要教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會總結(jié)，幫助學(xué)生在相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容之間建立多樣化的聯(lián)系，形成清晰、穩(wěn)定的知識結(jié)構(gòu)。在方法上，教師可以采取一些結(jié)構(gòu)化的圖式促進知識的聯(lián)系性建構(gòu)，如集合圖、流程演示圖等。如教學(xué)認(rèn)識梯形時，筆者設(shè)計了“猜一猜”環(huán)節(jié)。

師：魔法袋里藏著一個四邊形，你們猜可能是什么圖形？

師：你能用今天學(xué)過的數(shù)學(xué)語言說一句話，使魔法袋里的圖形是梯形嗎？

師：若已知這個圖形有兩組對邊互相平行，猜一猜，可能是什么圖形？

師（出示部分是直角的圖形）：現(xiàn)在你覺得會是什么圖形？

師（課件出示文字“每條邊長度都相等”）：現(xiàn)在你覺得是什么圖形？

（學(xué)生小結(jié)，并畫出如圖7 所示的四邊形的關(guān)系圖示）

圖7

（3）重視知識梳理，提升結(jié)構(gòu)思維

APOS 理論認(rèn)為，無論是單個圖式還是多個圖式的建立，都是為了促進圖式間的遷移。因此，在教學(xué)中，教師可以提問的方式引導(dǎo)學(xué)生對知識進行自我梳理。如“我們今天學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？”“我們是如何學(xué)習(xí)的？”“我們用了哪些方法進行探索？”等問題。利用這些問題引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的、碎片化的知識以一定的邏輯進行整理，使學(xué)生的學(xué)習(xí)變得有序化、結(jié)構(gòu)化。這樣的教學(xué)有利于學(xué)生心理圖式的真實展現(xiàn)，也有利于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

綜上所述，在APOS 理論下的教學(xué)中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師的教學(xué)設(shè)計要聯(lián)系學(xué)生的實際，精心選擇利于教學(xué)數(shù)學(xué)圖形概念的內(nèi)容，使教學(xué)內(nèi)容具有探究性，讓學(xué)生在探究的過程中促進對數(shù)學(xué)圖形概念的學(xué)習(xí)。