運動鏈基本環路集新的定義及其生成方法

孫亮波　洪熙熙　劉小翠　劉新

摘要：環路是運動鏈結構的固有特征，已有研究和應用多集中在基于環路的構型綜合、同構判定、剛性子鏈消除等方面。給出了基本環路集的新定義，提出了運動鏈的樹狀結構表達及相關理論，以及基于此的基本環路集提取原則，方便快捷地獲得各種運動鏈的基本環路集。案例分析證明，所提方法規則簡單，便于計算機程序化實現，可快速地獲得結構復雜、對稱性高的運動鏈的基本環路集。通過實例證明了上述理論的正確性和有效性。

關鍵詞：基本環路集；樹狀結構；最短環路；環路特性

中圖分類號：TH112

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.09.006

New Definition of Basic Loop Set of Kinematic Chain and Its Generation Method

SUN Liangbo HONG Xixi LIU Xiaocui LIU Xin

Abstract： Loops were an inherent feature of kinematic chain structures， and most of the existing researches and applications were focused on configuration synthesis， isomorphism determination and rigid sub-chain elimination based on loops. A new definition of basic loop set was proposed， and the dendrogram expression of kinematic chain and related theories were proposed， as well as the basic loop set extraction principles based on the holographic matrix expression of inter-component connection relations and complex hinge determination. The proposed method is simple in rules， easy to implement by computer programmatically， and may obtain the basic loop sets of kinematic chains with complex structures quickly， and the correctness and validity of the above theory were proved by examples.

Key words： basic loop set; dendrogram; shortest loop; loop characteristics

0 引言

運動鏈型綜合是機械產品和機構創新設計的基礎，1964年，FREUDENSTEIN等［1］首次將圖論引入機構學，用于表示運動鏈的拓撲結構。借助圖論［2］這一工具，學者們綜合了大量的各種構件數和運動副數的運動鏈［3-4］。描述運動鏈的結構參數不僅有桿件數和運動副數等基本信息，還包括桿件類型、多元構件數量和類型、獨立環路集、最長環路、運動副類型等信息，不同的結構參數組成大量不同的機構，這極大地豐富了機構的結構類型。Symbol`@@其中，運動鏈中獨立環路數、最長環路及其包含的構件個數、最長環路中多元構件的排列、各個環路間的耦合關系等體現了運動鏈的結構特征。學者們提出基本環路集的定義［5］，采用基本環和輔助結構法用于運動鏈生成［6］，后續基于環路提出同構判定方法［7-8］，采用基本環路集解決剛性子鏈判定問題和拓撲圖的自動繪制問題［5，8］。RAO等［9］對運動鏈的環路進行分析，得到了一些概念和定義，以及環路與鉸鏈、構件間的不變關系式。楊廷力等［10］也提出了相關的環路特性理論。總體來說，如同構判定［11-12］、剛性子鏈判定［13］、最長環路［5］、拓撲圖自動生成［7，14-16］等都采用環路或基本環路集進行，因此對于基本環路集，應有更嚴謹和可操作性的定義和生成方法，這將有助于對大量的運動鏈構型綜合進行相應的處理。

對于結構具有一定對稱性的運動鏈，其基本環路集的選取有多種可能。目前，關于基本環路集的自動生成，研究成果較少。DING等［7］給出了基本環路集的數學定義，通過環路的“+，-，×”操作獲得運動鏈的其他環路和最長環路，但是對環路的獲取方法并沒有詳細說明。LIU等［17］提出廣度優先生成樹求得圖的基本回路，該方法生成的基本環路集只是眾多環路集組合中的一種，并且不包含復鉸。

對于結構復雜的多構件運動鏈，基于目測的網孔狀環路的選取是非常困難的。同時，選擇網孔狀的環路作為基本環路集的環路，不適用于計算機自動化程序設計。本文給出了基本環路集的新定義，并與文獻［5］進行了對比分析，提出樹狀結構、含復鉸的運動鏈基本環路集提取方法，對3個實例進行分析，以此來論證所提方法的正確性和可行性。

1 基本環路集的新定義

在研究基本環路集之前，給出2個與環路有關的特性。

（1）環路特性。獨立的環路是運動鏈中某些構件首尾依次相連構成的封閉鏈，因此，獨立環路中不允許出現重復的運動副或構件。對于通過簡單鉸鏈連接的構件，運動副的重復必然伴隨構件的重復；而對于復鉸連接的構件，復鉸處對應不同構件間的連接運動副，因此將復鉸點置于環路中，以甄別和滿足環路特性。

（2）運動鏈結構特性。對于閉式的可分離或不可分離運動鏈，任意一組基本環路集都可以唯一確定運動鏈的環路結構。

文獻［5］給出了基本環路集的定義1：①環路集的環路數剛好等于其獨立環路數；②運動鏈的所有其他環路都能通過基本環路集里面的環路經過“+”運算得到。

本文給出基本環路集新的定義2：①環路集的環路數等于獨立環路數；②每個環路為包含其中的某個或多個構件的所有環路中的最短環路；③環路集應包含運動鏈中的所有構件。

上述兩種定義如果不加以嚴格甄別是難以區別的。定義1給出了一個廣泛的定義，并且其獲取方式是模糊的；定義2則給出了更嚴格的定義，規定了基本環路集中的每個環路必須是環路中一個或多個構件的最短環路，并且給出了基本環路集的可行的獲取方式。

下例很好地解釋了2種定義的區別。圖1所示兩個同構的8桿10副1自由度運動鏈拓撲圖，根據歐拉定理的獨立環路數計算公式為

L=p-n+1=10-8+1=3

其中，p為運動副個數，n為桿件數。其基本環路集包含3個獨立環路。

該拓撲圖為網狀和非交叉，往往可以直接觀測得到一組基本環路集。如果直接從網狀環路判斷，圖1a得到的基本環路集如下。L1：1-2-3-8-6-7，L2：1-4-5-6-7，L3：3-4-5-6-8， 該環路集分別是2個5構件的環路和1個6構件的環路。由圖1b得到的基本環路集如下（分別對應包含括號中構件的最短環路）。L1：1-2-3-4（構件1，2，3，4），L2：1-4-5-6-7（構件5，6，7），L3：3-4-5-6-8（構件5，6，8），上述3個環路分別是1個4構件環路和2個5構件環路。圖1a中的環路1-2-3-8-6-7可以通過對圖1b中的三個最短環路進行“+”運算得到。

對于結構具有一定對稱性的運動鏈，某個構件i對應的最短環路個數Li是一個確定的數。根據歐拉定理，獨立環路數L是一個較小的數值，這就意味著根據本文給出的基本環路集定義2，基本環路集的選取是從所有構件的最短環路中隨機選取L個環路的操作。

2 基于樹狀結構的基本環路集相關理論和生成方法

在數據結構中，各元素間的從屬關系用樹狀結構表示［18］。本文用改進的樹狀結構來描述機構運動鏈中各構件的連接關系，通過檢索描述運動鏈獲得各構件間的連接關系。當以任一構件作為樹狀結構的根節點時，均可獲得該根節點的連接關系和環路信息。制定一定的規則，可獲得以運動鏈中所有構件作為根結點的最短環路。

2.1 樹狀結構及其環路相關理論

對應圖2a所示運動鏈，圖2b為以構件1作為根節點所對應的樹狀分叉結構關系圖，用線條表示構件間的連接關系?？梢钥闯觯瑯錉罱Y構圖能很好地表達運動鏈中各個構件間的連接關系，但要想編制一定的規則，通過計算機自動獲得所有的環路信息或基本環路集，尤其是在含有復鉸的情況下，是非常困難的。若要獲得包含某個構件的最短回路，即樹狀結構圖中包含根節點的最短回路，則相對容易得多。

由于多元構件和多元復鉸的存在，用樹狀分叉結構表達運動鏈，不同于圖形結構和數據結構，各個節點可以與上層節點、下層節點、同層節點有連接關系。根據構件間的連接關系和樹狀分叉圖，給出以下定義和理論。

根節點：第一層節點為根節點。根節點只有1個。

父節點、子節點和兄弟節點：兩個不在同一層且有直接連接關系的節點，上一層節點為下一層節點的父節點，反之為子節點。同層節點之間有連接關系的，稱為兄弟節點。運動鏈中由于多元構件和多元復鉸的存在，故一個父節點可能有多個子節點，一個子節點也可能有多個父節點，同時一個節點可能有多個同層的兄弟節點。

主鏈：根節點引出的與其子節點間的連接關系或支鏈稱為主鏈。如圖2b所示，樹狀分叉圖的4條主鏈為1-2、1-12、1-13、1-14。

支鏈：根節點與2層及以上子節點構成的連接稱為支鏈。例如圖2b的樹狀分叉圖的兩條支鏈為1-2-5-3-6、1-14-11-10-6。

最短環路：衍生自不同主鏈的支鏈，到達同一個子節點，則構成了環路，其中包含該節點的最少構件數的環路為該根節點的最短環路。

n個長度相等的最短環路（n≥2），可能是不同主鏈經由不同的支鏈構成之間構成的，也可能是相同2個主鏈經由不同的支鏈構成的，上述最短環路全部記錄為該根節點的最短環路。構件2作為根節點，

例如不同主鏈、不同支鏈構成的最短環路有：2-7-4-12-1-2，2-5-3-8-7-2。

構件14作為根節點，相同主鏈、不同支鏈構成的最短環路有：14-11-9-4-13-1-14，14-11-9-4-12-1-14，14-11-9-7-2-1-14。

2.2 基于樹狀結構圖的基本環路集提取規則

采用樹狀結構表達運動鏈間構件的連接關系，樹的深度即節點的層數，對于一個構件數的耦合運動鏈，其樹狀結構的深度約為3-4，因此檢索得到樹狀結構的計算量相對較小。

以每一個構件作為根節點，檢索到有基本環路生成，即退出檢索，后續進行重復環路剔除、環路分析和選擇。該方法計算和分析量較少，規則和判定條件較為簡單和清晰，可快速獲得運動鏈的基本環路集。以圖1所示運動鏈為例，構件11檢索出的樹狀分叉圖見圖3。

基于圖3的樹狀分叉結構，提取基本環路集的規則和步驟如下。

（1）首先檢索運動鏈中的復鉸以及構成復鉸的構件，若有多個復鉸，則對其進行編號，如J1，J2，…，并標記其連接的構件編號。

在圖3的樹狀分叉圖中，有復鉸J1（4，7，8，9）和復鉸J2（9，10，11）。

（2）根據構件編號，從1開始逐一將每個構件作為樹狀結構的根節點，檢索每個根節點的最短環路。

①檢索獲得與根節點有連接關系的構件，作為第2層子節點，獲得該根節點下的多個主鏈。

檢索第二層子節點為9、10和14，獲得3個主鏈：11-9，11-10，11-14。

②由i-1層子節點i≥3檢索得到與其有連接關系的i層子節點，獲得并記錄這些子節點到根節點的連接關系（即支鏈），比較不同支鏈間i層子節點是否相同，若相同，則獲得最短環路。

若i層無相同子節點，則判斷這些子節點之間有無直接連接關系，否則獲得最短環路。

注意：對于結構具有對稱性的運動鏈，上述兩種情況下均可能有多條等長的最短環路，所以每一種情況均應檢索所有的子節點情況。

檢索圖3第3層子節點1、4、6、7、8，分別對應的支鏈為：11-9-4、11-9-7、11-9-8、11-10-6、11-14-1。各支鏈之間無相同的子節點，子節點4、7、8之間有連接，但是在第3層獲得的支鏈沒有相同的節點，沒有形成閉合環路，因此不予考慮。檢索第4層子節點2、3、12、13，分別對應的支鏈為：11-9-4-12、11-9-4-13、11-9-7-2、11-9-8-3、11-10-6-3、11-14-1-2、11-14-1-12、11-14-1-13。各支鏈間有相同的子節點，根據最短環路定義，不同的主鏈引出的支鏈可以構成最短環路，將構件按編號從小到大排列，獲得對應的4個長度為6的最短環路：1-2-7-9-11-14，1-12-4-9-11-14，1-13-4-9-11-14，3-6-10-11-9-8。

③上述最短環路的最終確定必須滿足環路特性和最短環路特性，否則該最短環路無效。

要滿足最短環路特性，只需要對比每條支鏈的第2個元素（即第2層子節點）是否相同，若不相同，則滿足最短環路特性，即不同主鏈對應的支鏈能構成最短環路。

要滿足環路特性，將兩條支鏈組成環路后，根據之前的檢索信息，將復鉸插入相應的構件之間，檢索復鉸在環路中有無重復出現，若沒有重復出現，則滿足環路特性。

根據環路特性，將復鉸插入上述最短環路中，獲得相應的包含復鉸的環路，即L1：1-2-7-J1-9-J2-11-14，L2：1-12-4-J1-9-J2-11-14，L3：1-13-4-J1-9-J2-11-14，L4：3-6-10-J2-11-J2-9-8。判別復鉸在環路中的重復性，環路L4中具有重復的復鉸，因此根因點11對應有3個最短環路L1、L2、L3。

④若步驟②中i層檢索不到對應最短環路，則繼續檢索下一層，執行步驟②和③，直至最終獲得最短環路。

（3）獲得每個構件作為根節點的最短環路后，將每一個環路按照連接關系和構件編號從小到大排列，并比較這些環路，去掉重復的環路，得到最短環路集合L′。

圖3所示運動鏈中構件1-14的最短環路檢索不再贅述，各最短環路及對應的構件見表1。

由表1可以看出，構件11、14對應有3個最短環路，構件3、7、8對應有2個最短環路，其他構件按對應1個最短環路。除構件7對應的最短環路1-2-7-4-12沒有重復外，其他6個環路均有重復，而該運動鏈的獨立環路數為5。因此，優先選擇重復度大的環路2-5-3-8-7、3-6-10-9-8、1-12-4-13，然后從11、14對應的3個最短環路中隨機選擇2個，如1-2-7-9-11-14、1-12-4-9-11-14，滿足運動鏈結構特性，即所有環路中的構件都出現在上述環路組合中。最終得到包含所有構件的基本環路集為，L1：1-12-4-13， L2：2-5-3-8-7，L3：1-2-7-9-11-14，L4：1-12-4-9-11-14，L5：3-6-10-9-8。

（4）若L′=L，則獲得的所有環路構成基本環路集。若L′>L，則在最短環路集合L′中隨機抽取數量等于獨立環路數L的最短環路，根據本文給出的基本環路集新的定義2中的第3條，基本環路集應包含運動鏈所有環路中的所有構件。

若L′

圖4a中到步驟（3）獲得了3個最短環路：1-2-3-4-5，6-7-8-9，10-11-12-13，檢索到2個最短環路1-2-3-4-5與10-11-12-13，構件1與11有連接關系，因此，1-11作為檢索的第一層節點，按照上述規則，可最終檢索出包含1-11的最短環路1-5-4-6-9-10-11，獲得上述5個最短環路集。同理，圖4b中到步驟（3）獲得4個最短環路：1-2-3-4，5-6-7-8-9，10-11-12-13，14-15-16-17-18，檢索到構件4和17有連接關系，以4-17作為第一層節點，可檢索到3-4-17-18-9-5。繼續檢索，以8-10為第一層節點，可檢索到8-9-18-14-13-10，最終可獲得上述6個環路的最短環路集。

以上基本環路集的獲取規則，對于構件數較少或結構不對稱的運動鏈，一般不需要進行步驟（3）操作即可得到與基本環路數對應的基本環路集；而對于構件數較多且結構對稱性高的運動鏈，可能會出現最短環路數多于基本環路數的情況，依據上述優化選擇方法，可大大減少分析對比計算量，快速獲得基本環路集。

3 最短環路集分析實例

3.1 可分離運動鏈的基本環路集

可分離運動鏈大量應用于機械手和機器人，對于可分離運動鏈的基本環路集，獲得復鉸信息，再根據環路特性判定最短環路。

圖6所示的運動鏈，若不考慮復鉸J1，檢索構件1的最短環路會得到1-2-3-4-5的最短環路，注意到復鉸J1連接構件1、2、5、10，因此，將復鉸插入相應的位置后得到的環路為1-J1-2-3-4-5-J1，該環路有復鉸重復出現，不應作為構件1的最短環路。

該可分離運動鏈的最短環路集為：1-6-7-8-9-10，2-3-4-5，分別對應環內所有構件的最短環路。

3.2 具有較大對稱性的運動鏈的環路集

圖7為28構件、具有較大對稱性的運動鏈拓撲圖［19］，根據歐拉公式計算其獨立環路數L=p－n+1=13。如以三元構件1作為根節點，檢索獲得的最短8構件環路有19個，而以二元構件3作為根節點，檢索獲得的最短8構件環路有8個。根據本文的定義和操作規則，限于篇幅，僅直接給出該運動鏈的一組基本環路集：1-2-3-4-5-6-13-14， 1-2-9-8-7-27-25-26，1-14-13-6-5-18-19-26，1-14-13-12-11-24-25-26，1-14-15-22-21-20-19-26，2-3-4-5-18-17-10-9，2-3-4-23-22-21-8-9，4-5-6-13-14-15-22-23，4-5-18-17-10-11-24-23，4-5-18-19-20-21-22-23，7-8-9-10-11-24-25-27，10-11-24-23-22-15-16-17，11-12-28-20-19-26-25-24。

4 討論

（1）基本環路集是運動鏈的重要結構特性，由一組基本環路集可以反向推導出運動鏈的確定結構，運動鏈型綜合過程中的其他關鍵問題（如剛性子鏈消除、拓撲圖和結構圖的自動繪制等），也可在本文的研究基礎上進一步深入或優化研究。

（2）本文提出的基本環路集定義嚴謹，獲取方法簡單，獲取過程中只需要檢索構件之間的連接關系以及環路之間的重復性對比等，易于程序化設計實現，且計算分析量較小。

5 結論

（1）本文提出了基本環路集新的嚴密、生成便利的定義。

（2）提出了表達運動鏈構件間連接關系的樹狀結構圖和相關理論，基于樹狀結構圖和全息矩陣，闡述了基本環路集的生成規則和步驟，進一步提出了具有較多構件或較高對稱性的運動鏈的基本環路集的優化選擇方法。

（3）分析了幾個運動鏈的基本環路集提取方法，通過這些實例證明了本文所提方法具有規則簡單、可靠性好、計算量小，可快速地獲得運動鏈的基本環路集等優點。

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（編輯 陳 勇）

作者簡介：

孫亮波，男，1979 年生，教授、博士。研究方向為機械設計及理論。E-mail：sunlb1979@163.com。

收稿日期：2022-06-01

基金項目：國家自然科學基金（51875418）