2023年全國新課標Ⅱ卷第21題解法賞析、溯源及推廣

■安徽省安慶市洪汪寶名師工作室 洪汪寶

一、試題呈現

雙曲線C的中心為坐標原點,左焦點為離心率為。

(1)求雙曲線C的方程。

(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A1、A2,過點(-4,0)的直線與雙曲線C的左支交于M、N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于P,證明:P在定直線上。

本題是2023 年全國新課標Ⅱ卷第21題,主要考查雙曲線的幾何性質、雙曲線的標準方程、直線與雙曲線的位置關系等幾個知識點。(1)小題是常見的方程問題,可以直接利用待定系數法即可求出雙曲線的標準方程,大部分同學都可以得分;(2)小題是一道定直線問題,也是本題的難點所在,計算量稍大,還帶有一定的技巧性,對同學們的運算求解能力和邏輯推理能力要求較高,體現了基礎性、綜合性、創新性、應用性的考查要求。

二、解法賞析

1.(1)小題的求解過程

2.(2)小題的解法賞析

解法1:由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),設M(x1,y1),N(x2,y2)。

顯然直線MN的斜率不為0,設直線MN的方程為x=my-4,且

(4m2-1)y2-32my+48=0。(*)

于是Δ=64(4m2+3)>0,y1+y2=

解法2:前同解法1得到:

解法3:前同解法1,聯立直線MA1與NA2的方程,消去y得到:

又x1=my1-4,y2=my2-4,代入上式整理得

設kNA2=k,則kMA1=-3k。

所以直線NA2:y=k(x-2),直線MA1:y=-3k(x+2)。

聯立上述兩個方程,消去y得x=-1。

所以點P在定直線x=-1上。

解法6:設直線MN:m(x+2)+ny=1。①

展開整理得y2+16(x+2)-4(x+2)2=0。②

聯立①②,得y2+16(x+2)[m(x+2)+ny]-4(x+2)2=0。

展開得y2+16n(x+2)y+(16m-4)·(x+2)2=0。-1。

于是點P在定直線x=-1上。

解法1 與解法2 在求兩直線交點的橫坐標時,整體消元,得到含y1,y2的非對稱式。處理這樣的非對稱式,解法1 采用直接將根代入;解法2 構造對稱式再利用韋達定理整體代入即可約分;解法3 利用2my1y2=3(y1+y2)整體代入,達到約分的目的;解法4 將消元后的式子兩邊同時平方,并借助雙曲線的標準方程將其化為對稱式,于是可利用韋達定理求解;解法5采用了定比點差法,避免了使用韋達定理,找到直線MA1與NA2斜率之間的關系是其破解的關鍵所在;解法6 借助齊次化得到斜率間的關系,注意齊次化技巧的總結,對同學們的靈活分析問題和解決問題的能力要求比較高。

三、試題溯源

已知A、B分別為橢圓E(a>1)的左、右頂點,G為橢圓E的上頂點,。P為直線x=6上的動點,PA與橢圓E的另一交點為C,PB與橢圓E的另一交點為D。

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明:直線CD過定點。

本題是2020 年全國高考數學Ⅰ卷理科第20 題,文科第21 題。將這兩題進行對比,不難發現,今年的雙曲線試題來源于本題,只不過將橢圓換成了雙曲線,將直線過定點改為證明兩條直線的交點在定直線上。實際上,這兩題都涉及極點與極線。極點與極線問題是近年來高考中的熱點和難點,不僅上述兩題涉及該問題,在2021年全國高考數學乙卷理科第21 題、2022年全國高考數學乙卷理科第21 題都涉及此問題,在今后的學習中同學們要引起足夠的重視。

四、試題推廣

將上述問題一般化,從橢圓和雙曲線兩個方面進行推廣,可以得到以下結論,有興趣的同學可以證明一下。

結論1:設點A,B分別為橢圓的左,右頂點,過x軸上一定點T(t,0)(-a