例析橢圓中最值求解的六種策略

■安徽省霍邱縣第一中學 朱秀梅

橢圓在解析幾何中占有重要的地位,它是同學們學習的重點、難點,也是高考的必考內容之一。在橢圓中經常出現最值問題,它能很好地考查同學們的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養。解決這類問題可采用以下幾種解題策略,下面分類進行例析。

策略一、利用二次函數的性質求解

例1設橢圓C已知點A(0,1),點P為橢圓C上的點,若|AP|的最大值為2,則a的取值范圍為( )。

思路分析:不妨設點P(x,y),可得出x2=a2(1-y2), 因 此,|AP| =構造函數f(y)=(1-a2)y2-2y+a2+1,問題轉化為函數f(y)在區間[-1,1]上的最大值為4。對實數a進行分類討論,結合二次函數的基本性質可求得實數a的取值范圍。

解析:設點P(x,y),由1),可得x2=a2(1-y2)。

因為|AP|的最大值為2,所以關于y的二次函數f(y)=(1-a2)y2-2y+a2+1在[-1,1]上的最大值為4。因a>1,故二次函數f(y)的圖像開口向下。

策略二、利用均值不等式求最值

例2已知橢圓C:,過點F(1,0)的直線與橢圓C相交于A,B兩點,線段AB的中點為M,則點M的縱坐標的最大值為____。

思路分析:當直線的斜率為0時,可得線段AB的中點M的縱坐標為0。當直線的斜率不為0時,設過F(1,0)的直線為x=ty+1,然后將直線方程與橢圓方程聯立,消去x,利用根與系數的關系可得,顯然當t<0時,yM>0,再利用基本不等式求解即可。

解析:當直線的斜率為0時,直線為y=0,線段AB的中點M的縱坐標為0。

當直線的斜率不為0時,設過F(1,0)的直線為x=ty+1,設A(x1,y1),B(x2,y2)。由得(3t2+4)y2+6ty-9=0。

所以線段AB的中點M的縱坐標yM=

當t=0時,M的縱坐標為0。

策略三、利用換元思想求解

例3設點P(x1,y1)在橢圓=1上,點Q(x2,y2)在直線x+2y-8=0上,則3|x2-x1|+6|y2-y1|的最小值為____。

思路分析:對橢圓進行三角換元,進而代入所求式子,再利用放縮法進行化簡,最后通過輔助角公式結合三角函數的性質得到答案。

策略四、利用轉化思想求解

例4已知橢圓C的焦點分別為F1、F2,|F1F2|=2,若橢圓C上存在點M,使得∠F1MF2=90°,則橢圓C短軸長的最大值是_____。

思路分析:設橢圓C的焦點在x軸上,可得出橢圓C:與圓x2+y2=1有公共點,聯立兩者方程,可得出關于b2的不等式,解出b的取值范圍即可。

解析:不妨設橢圓C的焦點在x軸上,則c=1,a2=b2+1,橢圓C的標準方程為

以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1,聯立可得y2=b4。所以b4=y2=1-x2≤1。

又b>0,可得0

因此,橢圓C短軸長的最大值是2。

策略五、利用對稱思想求解

策略六、利用橢圓的定義求解

例6已知橢圓C的左焦點為F,點M在橢圓C上,點N在圓E:(x-2)2+y2=1 上,則|MF|+|MN|的最小值為( )。

A.4 B.5 C.7 D.8

思路分析:根據橢圓的定義把求|MF|+|MN|的最小值轉化為求|ME|-|MN|的最大值,再利用三角形的兩邊之差小于第三邊即可求得。

解析:易知圓心E為橢圓的右焦點,且a=3

由橢圓的定義知|MF|+|ME|=2a=6,所以|MF|=6-|ME|。

因此,|MF|+|MN|=6-|ME|+|MN|=6-(|ME|-|MN|)。

要求|MF|+|MN|的最小值,只需求|ME|-|MN|的最大值。顯然,當M,N,E三點共線時,|ME|-|MN|取最大值,且最大值為1。

所以|MF|+|MN|的最小值為6-1=5。選B。

綜上,關注橢圓最值的考查方向,有利于我們掌握相關常見題型及其解題策略,能夠有效提升學習備考的針對性、有效性,提高對相關數學知識、思想方法、綜合運用能力,能夠理性思考,從而合理選擇解題方法。