活用幾何意義凸顯直觀想象核心素養
——以2022 年新高考Ⅰ卷導數解答題為例

廣東省東莞市常平中學(523570)蔡心耿

1 題目及解答

題目已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有兩個相同的最值.

(1)求a;

(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

解法1(1)a=1(過程從略);

(2)對于f(x),x∈R,f′(x)=ex-1,當x∈(-∞,0)時,f′(x)＜0,f(x)單調遞減;當x∈(0,+∞)時,f′(x)＞0,f(x)單調遞增,f(x)min=f(0)=1;對于g(x),x∈(0,+∞),g′(x)=當x∈ (0,1) 時,g′(x) ＜ 0,g(x) 單調遞減; 當x∈(1,+∞) 時,g′(x)＞0,g(x) 單調遞增,g(x)min=g(1)=1;

先證f(x)=ex-x與g(x)=x-lnx有唯一交點,即證:ex+lnx-2x=0 在(0,+∞) 有唯一解,令h(x)=ex+lnx-2x,h′(x)=ex+-2 ≥0,故h(x)在(0,+∞)單調遞增,當x=當x=1,h(x)=e-2＞0,故存在唯一x1∈(0,+∞),使得x1-lnx1,因為故(lnx1,b)在f(x)上,故在g(x) 上,且故有從左到右不同三點這三點橫坐標滿足證畢.

解法2(幾何意義1)f(x)=ex-x=|ex-x|(ex＞x) 的幾何意義可看作為曲線y=lnx上一點B(ex,x) 到y=x的水平距離的函數(即距離|BC|),g(x)=x-lnx=|x-lnx|(x＞lnx)的幾何意義可看作為曲線y=ex上一點A(lnx,x)到y=x的水平距離的函數(即距離|AC|),如圖1.

圖1

故原題意等價于證明存在水平距離長度為b＞0 及x1,使得b等于上述兩水平距離,即b=f(x1)=g(x1),且三個點橫坐標成等差數列,即成等差數列.

取x＞0,y=ex上一點A(lnx,x) 到y=x的水平距離為g(x)=|x-lnx|=x-lnx(x＞lnx),y=lnx上一點B(ex,x) 到y=x的水平距離為f(x)=|ex-x|=ex-x(ex＞x),先證x-lnx=ex-x有唯一解.同解法1 證得:存在x=x1是方程ex+lnx=2x在(0,+∞)唯一解,即成等差數列,此時取即b=f(x1)=g(x1),證畢.

解法3(幾何意義2)f(x)=exx的幾何意義可看作為曲線y=ex上一點D(x,ex)到y=x的鉛垂距離函數(即距離|DC|),g(x)=x-lnx的幾何意義可看作為曲線y=lnx上一點E(x,lnx)到y=x的鉛垂距離函數(即距離|CE|),如圖2.

圖2

故原題意等價于證明存在鉛垂距離長度為b＞0 及x1,使得b等于上述兩鉛垂距離,即b=f(x1)=g(x1),且三個點縱坐標成等差數列,即成等差數列.

取x＞0,y=ex上一點D(x,ex)到y=x的鉛垂距離為f(x)=ex-x,y=lnx上一點E(x,lnx)到y=x的鉛垂距離為g(x)=x-lnx,先證x-lnx=ex-x有唯一解.同解法1 證得:存在x=x1是方程ex+lnx=2x在(0,+∞) 唯一解,即成等差數列,此時取即b=f(x1)=g(x1),證畢.

解法4(幾何意義3) 對數函數y=lnx圖像上任意不同的兩點A(ex,x),B(x,lnx)(0 ＜lnx＜x＜ex),如圖3,記兩點的縱坐標增量為Δy=x-lnx=g(x),橫坐標增量Δx=ex-x=f(x),原題意等價于證明存在實數b及x1,使得即割線AB斜率且lnx1,x1,ex1成等差數列.

圖3

評析解法2、解法3 和解法4 分別運用了f(x)與g(x)的不同的幾何意義解題.

有意思的是將圖1 和圖2 兩圖合起來就成了正方形,這與文[1]的證法3 有異曲同工之妙,如圖4.

圖4

解法4 是將f(x) 與g(x) 理解成y=lnx上A(ex,x),B(x,lnx)(x＜ex)兩點連線的因變量增量和自變量增量,進而轉化證明割線斜率值為1,這時“1”也為y=x的斜率,即割線平行y=x.當然,我們也可以將f(x)與g(x)理解成y=ex上兩點D(x,ex)和E(lnx,x)連線的因變量增量和自變量增量,進而轉化證明割線斜率值為1,如圖3.圖3 與圖4 也有貌離神合之妙.

上述利用幾何意義解法體現了數形結合的數學思想方法,凸顯直觀想象的數學核心素養.

2 試題探源

2.1 母題溯源

溯源題目1(2013 年高考江蘇卷) 設函數f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a為實數.

(1) 若f(x) 在(1,+∞) 上是單調減函數,且g(x) 在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范圍.

(2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調增函數,試求f(x)的零點個數,并證明你的結論.

評析這兩道高考題中主體函數f(x)=lnx-ax、g(x)=ex-ax是一致的,只是題設不同:江蘇卷的題目更多考察這兩個含參函數各自性質,而2022 年新高考Ⅰ卷第22題更多考察f(x)與g(x)兩函數圖像之間的性質,如距離與對稱性等,這提示我們在備考中,應當注重真題的研究,同時,注重學生數學核心素養的培養.

2.2 教材探源

第一,新教材必修第一冊中,介紹了基本初等函數y=ax,y=x,y=logax(a＞0 且a?= 1) 三者的關系:y=ax圖像與y=logax圖像關于y=x對稱,并稱y=ax與y=logax(a＞0 且a?= 1)為互為反函數,而且介紹了新教材中y=ax,y=x,y=logax(a＞1)這三個圖像增長速度快慢問題,特別是y=ex,y=x,y=lnx三者增長速度快慢問題,所以作為教師應結合函數圖像,加強對基本概念對比教學,發展學生直觀想象,提升數學核心素養.

第二,上述新教材必修一第一冊從幾何直觀感性角度來介紹y=ex,y=x,y=lnx三者增長速度快慢,而在新教材選擇性必修第二冊的導數章節課后習題從理性代數證明方式給出了lnx,x,ex的大小關系:lnx＜x＜ex(x＞0).

結合上述兩點可知,這三個基本初等函數在教材中出現的頻率頗高,可見這是我們復習備考的重點.總之,2022 新高考Ⅰ卷導數壓軸題很好地踐行“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”命題原則,加大了改革力度,突出了對學生能力與數學學科核心素養的考查.

3 推廣

3.1 橫向推廣

命題1已知函數證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,且從右到左的三個交點的橫坐標成等比數列.

證明f(x)=的幾何意義可看作為曲線y=lnx上一點A(ex,x) 到原點連線的斜率函數,記為幾何意義為曲線y=ex上一點B(lnx,x)到原點連線的斜率的倒數函數,記為即故題意等價于證明存在斜率值為b及x0(x0?=1),使得且三點橫坐標成等比數列,即成等比數列,如圖5.

圖5

先證k1(x)=有唯一解.即證有唯一解.變形得方程exlnx-x2=0 在(0,+∞)有唯一解,顯然x=1 不是上述方程的解.

評析既然是推廣,那么我們也應該從幾何意義來解析,于是我們從f(x)與g(x) 的斜率和斜率倒數的幾何意義出發,除了類比得到成等比數列之外,還有得到比較有趣的結論(參見圖6).

圖6

其一,k1(x0)·k2(x0)=1,且這里的“1”就是y=x的斜率k=1,即直線OB與直線OA關于y=x對稱;

其二,設直線OA交于y=lnx另一點D(x,lnx)(x＜ex),則點B與點D關于y=x對稱; 反之,若點B與點D關于y=x對稱,則O,D,A三點共線.

3.2 縱向推廣

命題2已知函數f(x)=ax-x和g(x)=x-logax,證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

證明1°先證y1=ax與y2=logax,無交點.由于y=ax圖像與圖像關于y=x對稱,兩者為互為反函數,故只需證y=ax與y=x無交點即可,即ax-x=0 無解.

2°f(x)=ax-x的幾何意義為曲線y=logax上一點B(ax,x) 到y=x的水平距離;g(x)=x-logax的幾何意義為曲線y=ax上一點A(logax,x)到y=x的水平距離.故原題意等價于證明存在水平距離長度為b＞0 及x0使得b等于上述兩水平距離,即b=f(x0)=g(x0),且成等差數列,圖像請參考圖1

取x＞0,y1=ax上一點A(logax,x) 到y=x的水平距離為x-logax,y2=logax上一點B(ax,x)到y=x的水平距離為ax-x,需證x-logax=ax-x有解.令先證h′(x)＞0 在(0,+∞)恒成立,即證令令m(x)=-2(lna)2x2+lna·x+1=0,解得x1=

當x∈(0,x2),F′(x)＞0,F(x) 單調遞增,當x∈(x2,+∞),F′(x) ＜0,F(x)單調遞減,故當時,(因為故h′(x)＞0 在(0,+∞)恒成立,h(x)=ax+logax-2x在(0,+∞)單調遞增,當x→0+,h(x)→-∞,當x→+∞,h(x)→+∞,故存在唯一x0∈(0,+∞),使得h(x)=ax+logax-2x=0,即故成等差數列,此時取即b=f(x0)=g(x0),證畢.

注關于的證明:只需證exlna＞x,即證xlna＞lnx,構造函數n(x)=xlna-lnx即可,請讀者自證.

4 結束語

直觀想象是一種特殊的數學能力[2],它通過“形”的想象,研究變化趨勢,預測變化結果,達到指引解決問題的方向、優化運算的目的,同時也是數形結合思想方法上的呈現形式.善于利用圖形等幾何語言對代數知識進行解析,引導學生從幾何角度審視代數的問題,時常會有不一樣的解決問題的途徑.我國著名數學家華羅庚先生曾說過:“數缺形時少直觀,形少數時難如微”,可見數形結合思想方法的重要性.