圓錐曲線中一類定點定值問題的探索與推廣

廣東省惠州仲愷中學(516229)陳偉流

一、問題提出

已知橢圓C:的離心率過點D(2,0) 的直線l與C交于A,B兩點,當直線l的斜率不存在時,|AB|=4.

(1)求C的方程.

解(1)C的方程為為定值過程略.

評注本題以解析幾何中的定點、定值等熱點問題展開探究求解,以特殊到一般的理性思維考查運算求解,邏輯思維等關鍵能力,滲透了對數學運算,邏輯推理,數學抽象等核心素養的導向考核,體現了解決數學問題上的通性通法,反映了新課標理念下的新高考命題原則,有較強的引領性及典范性.

注意到試題中定點D是并非橢圓的焦點,而定值結果與直線的斜率無關,可知必與該定點密切相關,所以自然而然筆者提出以下具有深度探索意義的問題:

(1)將橢圓載體中的參數一般化后,能否找出定點與定值間滿足的對應關系?

(2)改變定點在橢圓對稱軸上的位置,則定值結果是否仍成立?

(3)將探索載體推廣到圓錐曲線體系,則在雙曲線和拋物線背景中是否仍有相關結論?

二、問題探索

定理1已知橢圓C:=1(a＞b＞0),直線l與C交于A,B兩點,當且僅當直線過定點時,為定值

證當直線l的斜率為0 時,不妨設A(-a,0),B(a,0)且則

當直線l的斜率不為0 時,設A(x1,y1),B(x2,y2),經過定點D(t,0)的直線AB方程為lAB:x=my+t,將其與橢圓方程聯立得(m2b2+a2)y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0,則

故當且僅當b2(a2+t2)=a2(a2-t2),即時,

注意到定理1 成立的決定條件是:關于t的方程有解;若將定點更改在y軸上,則定理1 中的定值結果則無法成立.

證當直線l的斜率存在時,設經過定點D(0,t) 的直線AB方程為lAB:y=kx+t,將其與橢圓方程聯立得(k2a2+b2)x2+2kta2x+a2t2-a2b2=0,則

故當且僅當a2t2+a2b2=b4-b2t2時,為定值,得

故定理1 的橢圓背景中不存在y軸上的定點,滿足為定值.

三、問題推廣

經歷定理1 的探索知:橢圓背景中a＞b的前提決定了關于t的方程有解.基于圓錐曲線知識體系的統一性,將定理1 的探究背景進一步推廣到圓錐曲線體系,在雙曲線及拋物線載背景中,有

定理2已知雙曲線C:直線l與C交于A,B兩點,當且僅當直線過定點為定值

定理3已知雙曲線C:直線l與C交于A,B兩點,當且僅當直線過定點為定值

注由于雙曲線背景中a,b并無嚴格的大小關系,故只需規定有a＞b的前提條件,保證了定點的存在的合理性,進而可使定點與定值在邏輯關系上成為充要條件.因雙曲線背景的證明與定理1 高度類似,此處從略.

定理4已知拋物線C:y2=2px(p＞0),斜率不為0的直線交拋物線于A,B兩點,當且僅當直線過定點D(p,0)時,為定值

證設經過定點D(t,0)的直線AB方程為lAB:x=my+t,將其與拋物線方程聯立得:y2-2pmy-2pt=0,則y1+y2=2pm,y1y2=-2pt,則

故當且僅當t=p,即直線過定點(p,0)時,為定值

解析幾何試題向來以情境復雜多變,結論優美豐富而蘊含極大的探索空間,因此也常常讓廣大師生愛不釋手,樂于鉆研,所以在教學實踐中,教師要勇于帶領學生一步步嘗試觸摸相關問題的知識背景,從知識整體上提升學生對相關結論的深度認知,從而在探索數學本質的過程中,培養好學生的數學運算,邏輯推理,數學抽象等核心素養,促進學生理性思維的形成與發展,進而為高考備考做好保駕護航的精心籌備.