題型講通法推廣顯本質
——一道競賽題的解法探究及推廣

廣東省深圳市第二實驗學校(518021) 劉選狀

圓錐曲線的最值問題內涵豐富、覆蓋面廣、解法靈活,歷來是數學競賽和強基計劃命題的熱點,更是考查學生的邏輯思維能力,化歸與轉化能力以及數學運算能力的重要考點.本文試就一道圓錐曲線的最值問題進行解法歸納與推廣探究,以期與讀者共享.

1.題目與賞析

題目(2022 年全國高中數學聯合競賽一試A 卷第7 題)在平面直角坐標系中,橢圓Ω:P為Ω 上的動點,A,B為兩個定點,其中B的坐標為(0,3),若ΔPAB的面積的最小值為1,最大值為5,則線段AB的長為____.

解法一(直線方程與橢圓方程聯立) 由題意可知:直線AB的斜率存在,且與橢圓相離,因此,設直線AB的方程為y=kx+3.與直線AB平行,且與橢圓Ω 相切的直線方程為y=kx+b,聯立橢圓方程可得:由Δ=0 可得b2=4k2+1.

評析當直線AB固定時,需要求橢圓Ω 上的點到直線AB的最大距離和最小距離,因此,考慮設與直線AB平行的直線方程,與橢圓Ω 方程聯立,Δ=0,即可解決問題.這也是解決圓錐曲線問題經常用到的方法.

解法二(利用橢圓對稱性)根據橢圓的對稱性可知:橢圓上到直線AB距離最大和最小的兩個點D,E關于原點對稱,因此,設D(x0,y0),E(-x0,-y0),其中y0＜0.則橢圓Ω 在D,E兩點處的切線方程分別為:yy0=直線AB的方程為y=因為直線AB與橢圓相離,因此,由解法一可得再結合橢圓方程Ω:可得因為y0＜0,所以所以,D,E到直線AB距離分別為:

由題意可知

評析由橢圓的對稱性可知:橢圓Ω 上到直線AB的最大距離和最小距離的點是關于原點對稱的,因此,設出這兩點的坐標,通過這兩點的坐標表示出橢圓Ω 上點到直線AB的最大距離和最小距離,進而解決問題.

解法三(橢圓的參數方程)由題意可知:直線AB的斜率存在,因此,設直線AB的方程為:y=kx+3,橢圓Ω 的參數方程為:

則橢圓上的點到直線AB的距離為

因為△PAB的面積的最小值為1,因此,d?=0.再因為

評析利用橢圓的參數方程求出橢圓上點到直線AB的最大距離和最小距離,這樣可以減少計算量.

解法四(仿射變換)設

則在此變換下橢圓Ω 方程變為圓O1的方程:再設:ΔPAB的面積為S,變換之后ΔP1A1B1的面積為S1,則S=2S1,B1(0,3).由題意可知:S1的最大值為,最小值為.設點O1到直線A1B1的距離為d,則

評析利用仿射變換將橢圓變成圓,運用圓的的性質不僅解決了常規方法運算量大、較難處理的問題,還能充分地感受到平面幾何的魅力.利用仿射變換我們還可以給出結論的進一步的推廣.

2.結論推廣

推廣1在平面直角坐標系中,橢圓Ω:(a＞b＞0),P為Ω 上的動點,A,B為兩個定點,其中橢圓外一點B的坐標為(u,t),若ΔPAB的面積的最小值為m(m＞0),最大值為M,設則

(Ⅰ)當直線AB的斜率存在時,

或

其中

(ⅠⅠ)當直線AB的斜率不存在時,

證明設則在此變換下橢圓Ω 方程變為圓O1的方程再設ΔPAB的面積為S,變換之后ΔP1A1B1的面積為S1,則S=abS1,由題意可知:S1的最大值為,最小值為.設點O1到直線A1B1的距離為d,則

(Ⅰ) 若直線AB的斜率存在,則直線A1B1的斜率也存在,因此,設直線A1B1的方程為:則

由(9)式整理得:

此時

(ⅠⅠ)若直線AB的斜率不存在,則直線A1B1的斜率也不存在,因此,設直線A1B1的方程為:則

3.結論應用

(1)令a=2,b=1,u=0,t=3,M=5,m=1,此時,直線AB斜率存在,則因此,由結論1 中的情形(Ⅰ)(ii)可知:即可得到(*)式得結果.

答案:2

圓錐曲線的最值問題是高考、競賽、強基計劃等考試中的常考題目,本題看似困難,實則方法很多,且富有深意.通過對題目的觀察,分析,挖掘,找到了解決此類問題的通法,并且將其推廣得出了一般性結論,凸顯了此類問題的本質.對同一個問題的多種解法,開拓了學生的思維視野,提升了思維品質,將相關知識融合在一起,有利于學生從整體上把握并運用數學知識,這也是數學核心素養的基本要求.