一道高三模考題的探究尋源

河南省平頂山市第一高級中學(xué)(467000)陳寧楠 米召奎

一道好的數(shù)學(xué)考題,不僅要立足于教材,更要高于教材;命題的設(shè)置不但要注重在知識交匯處命題,而且要立足于考查考生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).我市一道高三模考題就是這樣的一道試題,它既具有基礎(chǔ)性,又具有創(chuàng)新性,試題極具選拔功能.

1 題目與解析

題目已知正實數(shù)a,b滿足=25,則的最小值為()

分析本題是在限制條件下求雙變量最值問題,一般的解法是利用關(guān)系消元,轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解,或者是借助基本不等式求范圍.

且x2+y2=25,所以x2+y2=25 ≥2xy,即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.對于z=4x+3y-xy≥恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)4x=3y,即x=3,y=4 時等號成立.

若令t=則則f(t) ∈ (0,12],只需z≥f(t)max,所以z≥ 12,僅當(dāng)即x=3,y=4 時等號成立,綜上,當(dāng)且僅當(dāng)f(t)=12,即時等號成立.故選C.

2 反思探究

由于目標函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,顯然直接消元轉(zhuǎn)化不容易計算,通過觀察容易知道:可理解為點(3,4)到直線ax+by-1=0 的距離.該直線與坐標軸的交點分別為可知線段AB為定長5.既然賦予其幾何意義,那么能否從圖上得到猜想呢?

2.1 直觀感知

如圖1 所示,對于定長為5 的線段MN,兩端點分別在坐標軸上滑動,作圖觀察,定點P(3,4)到MN的距離為PK,當(dāng)定線段滑動到AB時,即A(3,0),B(0,4)時,點P到線段AB的距離PQ最短,此時

圖1

這樣的直觀感知缺乏嚴密的邏輯推理證明,但是結(jié)論為我們提供了方向,那么該怎么證明呢?

2.2 理性求解

解如圖2,設(shè)∠BAO=θ,則A(5 cosθ,0),B(0,5 sinθ),此時AB方程為:即sinθ·x+cosθ·y-5 sinθ·cosθ=0,點P(3,4) 到線段AB的距離d=|3 sinθ+4 cosθ-5 sinθ·cosθ|.又

圖2

g(t)=2t3+3t2-6t-1,則g′(t)=6t2+6t-6=6(t2+t-1),則當(dāng)時,g′(t) ＜0,g(t) 單調(diào)遞減; 當(dāng)t∈時,g′(t)＞0,g(t)單調(diào)遞增;又g(0)=-1 ＜0,g(1)=-2 ＜0,故

點評這種做法是利用萬能公式,將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),再借助導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,進而求函數(shù)最值,這需要極強的知識儲備和邏輯思維.

3 追根溯源

本題與教材有著緊密的聯(lián)系,正是貫徹了高考命題源于教材、高于教材的理念.它與人教版數(shù)學(xué)(2019 版)選擇性必修一第二章“直線和圓的方程”中第89 頁習(xí)題2.4 第8 題有著很大的相似性:

溯源題目1長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動,求線段AB的中點的軌跡方程,并說明軌跡的形狀.

此題與模考題有相似情境背景,設(shè)置簡單,求滑動線段上特殊點的軌跡問題,而模考題顯然是在此基礎(chǔ)上延伸了一步,求滑動線段上每一點的的軌跡問題.

本模考題中涉及的問題也可追溯到2010 年中科大少年班招生時的一道考題:

溯源題目2設(shè)A、B兩點分別在x軸和y軸上滑動,且|AB|=1,求線段經(jīng)過區(qū)域邊界的方程.

這就很直白了,可以說模考題就是在此題基礎(chǔ)上的改編,這無疑是又將教材中的習(xí)題延伸了一步.

4 背景探析

近年來的高考題往往有高數(shù)的背景,如高數(shù)中的泰勒級數(shù)、帕德放縮、洛必達法則、拉格朗日中值定理等時有出現(xiàn),掌握了這部分知識可以很快給出解答,本題涉及的是高等數(shù)學(xué)中偏微分的一個簡單應(yīng)用,這道考題命制的背景是星形線.星形線的原理是:一條長度為a的線段,兩個端點分別位于x軸和y軸上且可在軸上滑動.那么這條線段可能運動到的每一個位置都是一條曲線的某條切線,而這條曲線就是這些線段的包絡(luò)線.其方程為這個包絡(luò)線像夜空中光芒四射的星星,因此得名星形線,如圖3 所示.知道了這些,我們就可以借助星形線方程尋找最優(yōu)解:

圖3

設(shè)AB方程為:= 1,則y=sinθ(5-對y關(guān)于θ求導(dǎo)得

令y′=0,則x=5cos3θ,代入直線方程,得y=5sin3θ,由x,y消去θ,可得:這就是滑動的線段所經(jīng)過區(qū)域的邊界方程.設(shè)以(3,4)為圓心的圓的方程為:

當(dāng)該圓與滑動線段經(jīng)過區(qū)域邊界相切時,r=.故點(3,4)到滑動線段的最短距離是

歷史上,羅默、伯努利家族、萊布尼茲等大數(shù)學(xué)家都先后研究過星形線C:的性質(zhì).由于其形美觀,常用于生活生產(chǎn)的方方面面,例如折疊式的公共汽車車門的設(shè)計就來自星形線.

5 教學(xué)反思

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相指出,“必須重視,很多習(xí)題潛在著進一步擴展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性……,從解本題到轉(zhuǎn)向獨立地提出類似的問題和解答這些問題,這個過程顯然在擴大解題的‘武器庫’,學(xué)生利用類比和概括的能力在形成;辯證思維的獨立性及創(chuàng)造思維性的素質(zhì)也在發(fā)展.”顯然,這道模考題問題中的條件就是定點到動線段距離的最值問題,通過找滑動線段的包絡(luò)線,將問題轉(zhuǎn)化,變成求兩曲線相切時半徑問題,經(jīng)過上述探究,獲得解決一類問題的方法,習(xí)題潛在的發(fā)展功能和教育功能得到了擴展,學(xué)生的認知能力、辯證思維的獨立性和創(chuàng)造思維性的素質(zhì)也會相應(yīng)地得到了提高.

數(shù)學(xué)是邏輯的科學(xué),教學(xué)時要培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)倪壿嬻w系,同時要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的本源,要回歸課本,挖掘問題的本質(zhì).數(shù)學(xué)課本是實施教學(xué)活動的藍本,教材中例題、習(xí)題頗有典型性與代表性,課本中許多題目都是高考題的母題,這也是教師創(chuàng)造性教學(xué)的基石.對教材中習(xí)題,例題要深度探究,如教材中圓的切線問題,對此進行二次開發(fā),增強習(xí)題的輻射功能,讓一道低起點的圓的切線問題達到較高的立意,不僅是高考導(dǎo)向的所需,也有助于鞏固所學(xué)知識,并有效提升學(xué)生的應(yīng)變能力以及數(shù)學(xué)素養(yǎng).總之,我們在教學(xué)中要回歸教材,重視教材中在知識發(fā)生和發(fā)展中呈現(xiàn)的那些經(jīng)典的思維模式;注意挖掘教材中例題、習(xí)題背后廣泛而深遠的意義,提煉更深層次的公式和結(jié)論,使學(xué)生深化相關(guān)知識.