一道雙曲線試題的解法與推廣探究

江蘇省如東縣掘港高級中學(226400)許衛華

雙曲線是一種重要的圓錐曲線,在近年高考或各地模擬考試中,以雙曲線為載體的圓錐曲線解答題考已成為數學命題的一大熱點,體現了高考命題者對雙曲線內容的青睞.下面對一道高三雙曲線聯考題的解法和結論推廣進行探究,供參考.

1 考題呈現

題目(2023 年2 月浙江省七彩聯盟返校聯考第21 題)已知點F為雙曲線Γ:的右焦點,過F的任一條直線l與Γ 交于A,B兩點,直線l1:x=1.

(1)若M(x,y)為曲線Γ 上任一點,且M到直線l1的距離為d,求的值;

(2)若M(-4,6)為曲線Γ 上一點,直線MA、MB分別與直線l1交于D,E兩點,問以線段DE為直徑的圓是否過定點? 若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.

圖1

2 解法探究

首先看第(1)小題的解法.

分析由Γ 的方程得到F的坐標,計算得出|MF|與d后,代入整體求解.

解易得F(4,0).由得y2=3x2-12,所以d=|x-1|,故

點評由于F是Γ 的右焦點,l1是Γ 的右準線,因此該小題本質上考查雙曲線的第二定義.

下面重點來探究第(2)小題的解法.

思路1設出l的橫截距式方程,與Γ 的方程聯立,消去x得到關于y的一元二次方程,利用韋達定理得到A、B兩點縱坐標的和與積,由此得直線MA、MB的方程,將x=1代入方程分別求出點D與點E的坐標.假設以線段DE為直徑的圓過定點,由圖形對稱性可知,定點在x軸上,設定點P(m,0),則依據圓的性質,由得m的值,則以線段DE為直徑的圓是過定點;若m的值求不出,則以線段DE為直徑的圓不過定點.

解法1設l方程為x=ty+4,將其于雙曲線方程聯立,消去x得(3t2-1)y2+24ty+36=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則有

直線MA的方程為令x=1,得所以得同理得

由對稱性知,定點在x軸上,設定點P(m,0),則

思路2在第(1) 小題基礎上,作輔助線,得,然后利用三角形相似和內角平分線性質得FD⊥FE,由此得到以線段DE為直徑的圓過定點F,再由對稱性得到另一個定點.

解法2如圖2,過點A作AA1⊥l1于A1,過點B作BB1⊥l1于B1,過點M作MN⊥l1于N,連接FE,FD.由(1)結論可知

圖2

圖3

又ΔAA1D∽ ΔMND,得所以在ΔAFM中,FD是∠AFM的角平分線,∠AFD=∠DFM.同理在ΔBFM中,FE是∠BFM的角平分線,∠BFE=∠MFE.所以所以FD⊥FE.故以線段DE為直徑的圓過定點F(4,0),根據對稱性可知也過定點(-2,0).

點評該小題考查圓過定點問題.解法1 設出l的方程,通過方程聯立得到兩交點縱坐標的和與積,利用圓的幾何性質,構造向量,利用數量積為0 建立等式,求出定點.其中由對稱性猜測定點位置,從而明確方向,簡化計算,是求解問題的通性通法.解法2 根據條件作輔助線,利用三角形相似、內角平分線性質推證線段垂直,從而找到圓過的定點,求解過簡捷、巧妙,體現了平面幾何在簡化解析幾何計算中的優越性.但解法2 邏輯推理要求高,思維難度大,不易切入.

3 推廣探究

我們在這里將目光放到對第(2)問的推廣探究上.

3.1 延伸推廣

對試題條件和結論的分析看出,F是雙曲線Γ 的右焦點,直線l1是雙曲線Γ 的右準線,M是雙曲線Γ 左支上的一點,其結論是以線段DE為直徑的圓過的定點是焦點F和焦點F關于線段DE的對稱點.由此,我們來思考下面的兩個問題:能否把試題的結論延伸到一般雙曲線的情形?若F是雙曲線Γ 的左焦點,直線l1是雙曲線Γ 的左準線,M是雙曲線Γ 右支上的一點,是否可以得到同樣的結論? 于是將試題推廣為一般情形下雙曲線的兩個結論:

結論1已知點F(c,0)為雙曲線Γ:0,b＞0)的右焦點,直線l1為Γ 的右準線,過F的任一條直線l與Γ 交于A、B兩點.若M為曲線Γ 的左支上一點,直線MA、MB分別與直線l1交于D,E兩點,則以線段DE為直徑的圓過定點(c,0)或

結論2已知點F(-c,0)為雙曲線Γ:0,b＞0)的左焦點,直線l1為Γ 的左準線,過F的任一條直線l與Γ 交于A、B兩點.若M為曲線Γ 的右支上一點,直線MA、MB分別與直線l1交于D,E兩點,則以線段DE為直徑的圓過定點(-c,0)或

結論1 和結論2 的證明可按試題第(2)小題證法2 的過程進行,請讀者自行完成.

3.2 移植推廣

由于橢圓與雙曲線是“姊妹”曲線,能否將雙曲線的上述兩個結論移植到橢圓? 于是有:

結論3已知點F(c,0)為橢圓Γ:b＞0)的右焦點,直線l1為Γ 的右準線,過F的任一條直線l與Γ 在y軸右側交于A、B兩點.若M為曲線Γ 在y軸左側上一點,直線MA、MB分別與直線l1交于D,E兩點,則以線段DE為直徑的圓過定點(c,0)或

證明如圖4,過點A作AA1⊥直線l1,垂足為A1,過點B作BB1⊥直線l1,垂足為B1,過點M作MN⊥直線l1,垂足為N,連接FE,FD.由第二定義可知

圖4

又由ΔAA1D∽ΔMND,得所以所以FD是ΔAFM的∠AFM的外角平分線,∠AFD=∠DFM同理,FE是ΔBFM的∠BFM的外角平分線,∠BFE=∠MFE.所以

所以FD⊥FE.故以線段DE為直徑的圓過定點F(c,0),根據對稱性可知也過定點

結論4已知點F(-c,0)為橢圓Γ:b＞0)的左焦點,直線l1為Γ 的左準線,過F的任一條直線l與Γ 在y軸左側交于A、B兩點.若M為曲線Γ 在y軸右側上一點,直線MA、MB分別與直線l1交于D,E兩點,則以線段DE為直徑的圓過定點(-c,0)或

結論4 的證明可按結論3 的證明過程進行,請讀者自行完成.